2024北京清華附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京清華附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)2024.2（統(tǒng)練一）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則可以為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.3.工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）A.兩條相交直線確定一個(gè)平面B.兩條平行直線確定一個(gè)平面C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面4.若是奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.5.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，若，，則等于（）A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.7.在無窮項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，則“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件8.已知關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)A和點(diǎn)B互為等差點(diǎn)．已知點(diǎn)Q是圓上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)Q的等差點(diǎn)P，則的取值范圍為（）A. B. C. D.10.平面內(nèi)互不重合的點(diǎn)、、、、、、，若，其中，2，3，4，則的取值范圍為（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.已知，則______.12.雙曲線的離心率為__________.13.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和記為，滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則公差的取值范圍為__________.14.正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，若正方體的棱長是2，則線段的最小值______.15.海水受日月的引力，會發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深（單位：米）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為，其中；然后，假設(shè)某貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減??；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是__________.①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；②若，貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；③若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；④若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大.三、解答題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，.（1）求的最小值；（2）設(shè)，求的取值范圍，17.在三棱柱中，平面平面，為正三角形，D，E分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2），，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使三棱柱唯一確定，求DE與平面所成角的正弦值.條件①：條件②：條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測試，乙進(jìn)行了7次測試，每次測試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀，兩位同學(xué)的測試成績?nèi)缦卤恚旱谝淮蔚诙蔚谌蔚谒拇蔚谖宕蔚诹蔚谄叽纹骄旨?2808286939386乙76818085899686（1）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，求該次測試成績超過90分的概率：（2）從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記樣本中甲進(jìn)行的六次測試成績的方差為，樣本中乙進(jìn)行的七次測試成績的方差為，樣本中甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試成績的方差為，寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求a，b的值：（2）①求證：只有一個(gè)零點(diǎn)；②記的零點(diǎn)為，曲線在處的切線l與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.若，求u的取值范圍.20.已知橢圓，E的離心率，短軸長為4.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）對于給定的點(diǎn)，在E上存在不同的三點(diǎn)A，B，Q，使得四邊形為平行四邊形，且直線AB過點(diǎn)，求t的取值范圍.21.由個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集（其中），記，特別規(guī)定，若集合M滿足：對任意的正整數(shù)，都存在集合M的兩個(gè)子集A，B，使得成立，則稱集合為“滿集”.（1）分別判斷集合與是否為“滿集”，請說明理由；（2）若集合為“滿集”，求的值：（3）若為滿集，，求的最小值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【分析】根據(jù)包含關(guān)系即可求解.【詳解】由，可知：B可以為，故選：D2.【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由可得，所以，故z的虛部為，故選：B3.【答案】A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A4.【答案】C【分析】由為奇函數(shù)可得，代入相應(yīng)解析式解方程即可.【詳解】易知定義域?yàn)?，由為奇函?shù)可得，即，解得.故選：C.5.【答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所?故選：C.6.【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義得到，，然后結(jié)合和三角函數(shù)得到，即可得到.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，過點(diǎn)、分別作、于點(diǎn)、，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，則由拋物線的定義可得，，則，因?yàn)?，所以，則，，解得，所以.故選：D.7.【答案】B【分析】設(shè)出公比為，分且，且，且，且，且，且，及等情況，進(jìn)行分類討論，從而得到答案.【詳解】設(shè)公比為，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)無最大值，無最大值，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，故，所以為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)無最小值，無最大值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，此時(shí)，故，所以為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)無最小值，無最小值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，此時(shí)，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)無最大值，無最小值，當(dāng)時(shí)，，為擺動數(shù)列，且，故，所以隨著的增大，趨向于0，故有最大值，也有最小值，若且，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且隨著的增大，趨向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值，若且，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且隨著的增大，趨向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值，當(dāng)時(shí)，，為擺動數(shù)列，且，故，所以隨著的增大，趨向于正無窮或負(fù)無窮，故無最大值，也無最小值，此時(shí)無最大值，無最小值，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，此時(shí)有最大值，也有最小值，此時(shí)無最大值或無最小值，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，有最大值，也有最小值，此時(shí)有最大值和最小值，綜上，當(dāng)既有最大值，又有最小值時(shí)，既有最大值，又有最小值，必要性成立，故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分條件.故選：B8.【答案】D【分析】先判斷時(shí)不符合題意，再將問題轉(zhuǎn)化為與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，判斷時(shí)單調(diào)不符合題意，最后畫時(shí)的圖象進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，利用解得參數(shù)范圍即可.【詳解】時(shí)，即無解，顯然不符合題意；時(shí)，令，則原方程等價(jià)于，即，令，則與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn).二次函數(shù)的根為a和0，若時(shí)，顯然時(shí)，，且單調(diào)遞增，即單調(diào)，不可能與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)若時(shí)，作出的草圖如圖所示，又，則只需滿足，得.故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的情況)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：分類討論直接求解方程得到方程的根；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.9.【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)等差點(diǎn)的定義可得，利用三角代換，推出，求出其范圍，結(jié)合即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)，由題意知，則，由于點(diǎn)Q是圓上一點(diǎn)，故令，則，由于，故，則，故，故選：C10.【答案】D【分析】由題意首先得在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上面，為的重心，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)為的重心，則，因?yàn)?，所以，即在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上面，設(shè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則，當(dāng)且僅當(dāng)都在線段上，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上面，且在線段上，在線段上，等號成立綜上所述，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到得在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上面，由此即可順利得解.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.【答案】3【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)求項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以.故答案為：3.12.【答案】【分析】首先將方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，求出、，再根據(jù)離心率求出離心率．【詳解】解：因?yàn)椋?，，，即，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定恒成立，再分析判斷，結(jié)合已知等式求解作答.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，而等差數(shù)列的公差，若，由知，數(shù)列單調(diào)遞減，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，與數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列矛盾，因此，由，得，即，解得，則，所以公差的取值范圍為.故答案為：14.【答案】【分析】根據(jù)線線平行證明平面平面，即可分析的軌跡，根據(jù)垂直即可求解最小值.【詳解】設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，如圖，，平面，平面，平面，同理可得平面，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，而平面，故平面，得點(diǎn)的軌跡為線段，且,又,故時(shí)，線段取最小值，此時(shí)故答案為：．15.【答案】①④【分析】根據(jù)船離海底距離為，解三角不等式可判斷①；由船離海底距離，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷②；船離海底距離，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可判斷③、④【詳解】①不卸貨，則吃水恒為2米，船離海底為，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以最多停留時(shí)間為小時(shí)，故①正確；②立即卸貨，吃水深度，且，解得，此時(shí)船離海底，，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，由，，此段時(shí)間都可以停靠，又，，故②錯(cuò)誤；③與④，，，，，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，船底離海底的距離最大.故答案為：①④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出船離海底距離的關(guān)系式，此題綜合性比較強(qiáng)，考查了知識的應(yīng)用能力以及計(jì)算能力.三、解答題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)列方程，解方程得到，然后利用換元法求最小值即可；（2）利用誘導(dǎo)公式和和差公式化簡得到，然后利用同角三角函數(shù)基本公式和換元法求范圍即可.【小問1詳解】，解得，所以，令，則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.【小問2詳解】，令，則，，，所以當(dāng)時(shí)，即取得最小值，為；當(dāng)時(shí)，即取得最大值，為，所以的范圍為.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線線平行即可求證，（2）根據(jù)三棱柱唯一可選擇條件③，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，，則且，在直三棱柱中，且，又E為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】若選條件①：由（1）知且，故，由于，,此時(shí)在中，三邊關(guān)系無法構(gòu)成三角形，故選條件①：，此時(shí)三棱柱不存在，若選條件②：由于為正三角形，,又，故只要滿足三棱柱為直三棱柱即可，故此時(shí)三棱柱不唯一，條件③：由于平面平面，且交線為，又平面，因此平面，平面,故，又，平面,故平面，故三棱柱為直三棱柱，三棱柱唯一，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0,，，，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為；18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）根據(jù)題意，由古典概型的概率計(jì)算公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值有，分別計(jì)算其對應(yīng)的概率，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由方差的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由表格可知，乙第七次的成績?yōu)?，?3次測試中成績超過90分共有次，設(shè)事件表示從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中抽取一次，且成績超過90分，則.【小問2詳解】由表格可知，甲同學(xué)進(jìn)行的6次測試中成績達(dá)到優(yōu)秀有次，沒達(dá)到優(yōu)秀有次，的可能取值有，則，，，則可得分布列為.【小問3詳解】由題意可得，，所以.19.【答案】（1）（2）證明見解析；【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題意得切線方程建立方程，解之即可求解；（2）①由（1），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的定義即可證明；②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線l方程，令可得，結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解.【小問1詳解】由題意知，，所以曲線在處的切線的斜率為，又曲線在處的切線方程為，所以，解得；【小問2詳解】①：由（1）知，，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在R上存在唯一，使得，即函數(shù)在R上存在唯一零點(diǎn).②：由①知，切線的斜率為，又，所以，令，得，設(shè)，則，令或，或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，由①知，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，即，符合題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)等，解題關(guān)鍵是找到的大小關(guān)系．本題中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即為所要求的大小關(guān)系．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率得到，根據(jù)短軸長得到，然后結(jié)合解方程即可；（2）利用點(diǎn)差法和直線過點(diǎn)得到中點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)，得到，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到，最后根據(jù)的范圍求的范圍即可.【小問1詳解】由題意得，又，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，中點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立得，又直線過點(diǎn)，所以，整理得，即中點(diǎn)的軌跡方程為①，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，，代入①式可得②，又點(diǎn)在橢圓上，所以，整理得③，③式代