2024北京清華附中高三（上）統(tǒng)練四數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京清華附中高三（上）統(tǒng)練四數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則（）A． B．{1，2} C．[1，2] D．{1}2．已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C．-i D．i3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，，，，則（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E滿足），．若（x，y∈R），則（）A． B． C． D．6．若是第二象限角，且，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列為無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則“存在最小項(xiàng)”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．9．血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，不正確的是（）A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒10．?dāng)?shù)列滿足，，，該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列論斷中錯(cuò)誤的是（）A． B．C．非零常數(shù)T，，使得 D．，都有二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11．若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．12．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)A（1，a）在角θ的終邊上，其中a為整數(shù)，且，則的一個(gè)取值是______．13．在矩形ABCD中，，，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，則______．14．已知函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足（n=1，2，3，…），則數(shù)列的前100項(xiàng)和是______．15．已知平面內(nèi)點(diǎn)集A={P1，P2，…，Pn}（n>1）．A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等．設(shè)集合．給出以下四個(gè)結(jié)論：①若n=2，則A=M：②若n為奇數(shù)，則A≠M(fèi)：③若n為偶數(shù)，則A=M：④若．則k≤5．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6道小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．（本小題14分）在等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）設(shè)，其中，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．（本小題14分）已知函數(shù)，其中a＞0．且的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及最小正周期：（Ⅱ）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（本小題14分）在△ABC中，．（1）求∠A；（2）若△ABC的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．使△ABC存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求．第（2）問(wèn)得0分：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答．按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求證：對(duì)?a∈R．曲線在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．20．（本小題14分）設(shè)函數(shù)．其中a＞0．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)．對(duì)于，不等式恒成立，求m的取值范圍．21．（本小題15分）已知無(wú)窮數(shù)列，各項(xiàng)都是正整數(shù)，定義集合：，；（Ⅰ）已知，，直接寫(xiě)出集合Da，Db；（Ⅱ）若，，，求證：中有無(wú)窮多個(gè)1；（Ⅲ）若，均為等差數(shù)列，且Da，Db均為無(wú)限集，求證：Da=Db．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】B【分析】求出集合中元素范圍，然后再求交集即可.【詳解】，又則.故選：B.2.【答案】C【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念辨析即可.【詳解】，則z的共軛復(fù)數(shù).故選：C.3.【答案】D【分析】根據(jù)反例可判斷AC，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BD.【詳解】對(duì)于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，顯然滿足，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，綜上可知D正確，故選：D4.【答案】D【分析】根據(jù)的最值，得到，故，求出答案.【詳解】的最大值為1，最小值為，設(shè)的最小正周期為，又，，，，故，即，解得.故選：D.5.【答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量基本定理可得，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】D【分析】通過(guò)誘導(dǎo)公式求出，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可.【詳解】是第二象限角，且，tanα=?12,，故選：D.7.【答案】A【分析】分別從條件到結(jié)論、結(jié)論到條件兩個(gè)方面考慮是否可推出,對(duì)于不能推出的結(jié)論，可通過(guò)舉反例說(shuō)明即可.【詳解】設(shè)數(shù)列an的公比為，由，因“存在最小項(xiàng)”，則，且其單調(diào)遞減或?yàn)槌?shù)列，故得，于是，即“存在最小項(xiàng)”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，因，不妨取，則此時(shí)的符號(hào)不能確定，故無(wú)最小項(xiàng)，即“存在最小項(xiàng)”不是“”的必要條件.綜上可知，“存在最小項(xiàng)”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫(huà)出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫(huà)出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問(wèn)題的有效方法.9.【答案】D【詳解】從圖象可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用該藥物的血藥濃度應(yīng)大于最低有效濃度，藥物發(fā)揮治療作用，A正確；第一次服藥后3小時(shí)與第2次服藥1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，B正確，D錯(cuò)誤；服藥5.5小時(shí)后，血藥濃度小于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，正好能發(fā)揮作用，C正確．故選D．10.【答案】C【分析】由已知可得A正確；由已知遞推關(guān)系化簡(jiǎn)可得B正確；由已知遞推關(guān)系總結(jié)數(shù)列的規(guī)律，再用反證法得到C錯(cuò)誤；由已知遞推關(guān)系找到前項(xiàng)和的規(guī)律再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和可得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，由可得，由可得，由可得，而，所以，設(shè)存在非零常數(shù)，使得，則，矛盾，所以不存在非零常數(shù)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)的和為零，即有接下來(lái)個(gè)項(xiàng)和為零；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)的和與相鄰四項(xiàng)為零，即有接下來(lái)個(gè)項(xiàng)和零；當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)關(guān)鍵在于能理解的意義，即表示數(shù)列中前兩項(xiàng)和為外的到項(xiàng)，到項(xiàng)，到項(xiàng)和分別為零.二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得到不等式，求出x的取值范圍.【詳解】，解得，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故答案：12.【答案】（，，均可）【分析】由求得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)而可得解.【詳解】，即，解得，又，故的值可為、、、、，則，即的值可以是或或.故答案為：（，，均可）.13.【答案】【分析】由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】如圖所示，因?yàn)榫匦沃?，分別是的中點(diǎn)，所以，，所以．故答案為：14.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)，利用為奇數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，可求出，再相加即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，，，，，，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的余弦函數(shù)值和誘導(dǎo)公式，考查了數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了分組求和，屬于基礎(chǔ)題.15.【答案】①③④【分析】先證明，得到①③正確，②錯(cuò)誤，然后在和的情況下推導(dǎo)出矛盾，從而得到，即④正確.【詳解】由于A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等，故所有個(gè)向量?jī)蓛刹幌嗟?這表明對(duì)任意的，當(dāng)且僅當(dāng)，有.將其轉(zhuǎn)換為更通俗的語(yǔ)言就是：對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)是集合里除了以外的點(diǎn)中到的距離最短的點(diǎn).所以，對(duì)每個(gè)，顯然存在另一個(gè)到距離取到最小值的點(diǎn)，則此時(shí)就有，從而，這就直接說(shuō)明了.所以①③正確，②錯(cuò)誤；對(duì)于④，假設(shè)，.由于，故兩兩不同，且對(duì)每個(gè)，點(diǎn)都是中除外到距離最短的點(diǎn).特別地，都是到各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).不妨設(shè)，并記為點(diǎn)，則是到各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).對(duì)兩個(gè)不同點(diǎn)，記直線的傾斜角為.假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，則，這與是到的距離最短（不包括本身）的點(diǎn)矛盾.所以兩兩不相等，不妨設(shè).由于，，故，，所以.故，同理.而對(duì)，有或，故.所以，這意味著，矛盾.這表明假設(shè)不成立，所以，④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)集合新定義的理解，以及三角形中邊長(zhǎng)的大小關(guān)系與角度的大小關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)，即所謂的“大邊對(duì)大角”.三、解答題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式可解得，，從而可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求出，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則有解得，.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】.因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.17.【答案】（1）;.（2）【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的解析式，由已知條件求得函數(shù)的最小值為，計(jì)算即可得解；（2）原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小值為，所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由，知，因?yàn)?，所以，由于在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，所以，即.18.【答案】（1）（2）選②或③，【分析】（1）利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果；（2）條件①，由，角可以是銳角或鈍角，不滿足題設(shè)中的條件，故不選①；條件②，利用條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；條件③，利用正弦定理，先把角轉(zhuǎn)邊，再結(jié)合條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所?【小問(wèn)2詳解】選條件①：由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因?yàn)?，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所?選條件③：因?yàn)?，所以，由，得到，又，?1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再證明其經(jīng)過(guò)定點(diǎn)即可；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域分和兩種情況討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助于零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【小問(wèn)1詳解】由求導(dǎo)可得，，依題意，，故曲線y=fx在點(diǎn)處的切線為，即，因，故有，解得，即切線恒過(guò)點(diǎn)，得證；【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?，由?）已得：，，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.由，而，因（下面證明），故，即，由零點(diǎn)存在定理可得，fx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即fx在上只有一個(gè)零點(diǎn)；下證：.設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.由，因，則，而，故，又，因在上單調(diào)遞增，故f(a+1)>a?1a>2?即，由零點(diǎn)存在定理可得，fx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即fx在上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).20.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)可得，令，可得或，分，，討論可求單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得，進(jìn)而分類討論可求取值范圍．【小問(wèn)1詳解】由fx可得，令，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，若，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f'x≥0，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，若，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，fx=由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以，由成立，所以①成立，故時(shí)，可得對(duì)于，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立，若時(shí)，也有①