2024北京理工大附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京理工大附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.-33.已知直線，直線，且，則（）A. B.1 C. D.44.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則（）A.5 B.4 C.3 D.25.在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.6.已知平面向量，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.7.若，，則A. B. C. D.8.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“"是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若對任意的，恒成立，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列10.在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.在的展開式中，的系數(shù)為______．12.已知雙曲線的一條漸近線上一點(diǎn)為，則雙曲線離心率為______．13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且成等差數(shù)列，則__________；__________．14.已知函數(shù)，，其中.若，使得成立，則____．15.已知數(shù)列，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④，使得．其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，，再從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：邊上的高為；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，平面平面，且,，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線BF與平面所成角的正弦值為，求的長；（3）判斷線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18.2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和.某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834（1）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從樣本中隨機(jī)抽取一名男生和一名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式.直接寫出方差和的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，△的面積為2.（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）在軸右側(cè)且平行于軸的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），求的值.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．21.在無窮數(shù)列中，是給定的正整數(shù)，，．（Ⅰ）若，寫出的值；（Ⅱ）證明：數(shù)列中存在值為的項(xiàng)；（Ⅲ）證明：若互質(zhì)，則數(shù)列中必有無窮多項(xiàng)為．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】C【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?故選：C.2.【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù)，，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】依題意，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，，所以.故選：A.3.【答案】B【分析】利用兩條直線平行，斜率相等，截距不相等即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€，，，所以，則直線可化為，由，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不滿足題意；所以.故選：B。4.【答案】D【分析】先由拋物線的焦半徑公式求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到軸，從而得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，如圖：不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，得，又，所以軸，，所以.故選：D.5.【答案】C【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)，則平面，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成角，即，因?yàn)?，所以，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C.6.【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，依次分析選項(xiàng)是否成立，綜合可得答案．【詳解】對于A，，，則不成立，則A錯(cuò)誤；對于B，，因?yàn)?，則B錯(cuò)誤；對于C，向量，，則，則有，即，C正確；對于D，，，因?yàn)?，則與平行不成立，D錯(cuò)誤；故選：C.7.【答案】C【詳解】試題分析：用特殊值法，令，，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)檫x項(xiàng)C正確，故選C．【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.8.【答案】D【分析】由題意得，再結(jié)合必要不充分條件的定義、斜率與傾斜角的關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【詳解】由題意兩直線均有斜率，所以，當(dāng)時(shí)，取，則，但，即充分性不成立；當(dāng)時(shí)，取，則，但，即必要性不成立；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.【答案】A【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和，結(jié)合恒成立，分析的取值范圍，得到與的單調(diào)性，從而得解.【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，為其前項(xiàng)和，由恒成立，得，即恒成立，若，則可能為正也可能為負(fù)，不等式不恒成立；若，則，顯然不等式不成立；所以，則，，顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列；綜上，是遞增數(shù)列，的單調(diào)性不確定.故選：A.10.【答案】C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，分、、三種情況討論，確定截面與各棱的交點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時(shí)平面即為平面，截面面積為；②當(dāng)時(shí)，同①可知截面面積為；③當(dāng)時(shí)，，，，，則，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，不合乎題意.設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點(diǎn)，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為.綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體截面面積最值的求解，解題的關(guān)鍵在于確定截面與各棱交點(diǎn)的位置，這里可以利用空間向量法，將線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零來處理，確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而將截面面積的最值利用函數(shù)的最值來求解.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出通項(xiàng)公式，令即可求的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，則，故，而的展開通項(xiàng)公式為，令，得，則所求的系數(shù)為.故答案為：.12.【答案】【分析】由雙曲線方程可得其漸近線方程,從而得關(guān)于的方程,再結(jié)合離心率公式求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線可化為，且，所以其漸近線方程為，因?yàn)樵谄渲幸粭l漸近線上，所以，則，所以該雙曲線的方程為，則，故，所以該雙曲線的離心率.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)題意，得到，得到為等比數(shù)列，列出方程組，求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，又由成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.14.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，分別求兩邊的范圍，利用子集關(guān)系，得到結(jié)果.【詳解】解：依題意，得：，化簡，得：，因?yàn)?，所以，，即，所以，，因?yàn)?，且，因?yàn)?，有成立，所以，，所以，所以，，所以?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域,考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.【答案】②④【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定①②③，根據(jù)條件遞推得，結(jié)合不等式性質(zhì)可判定④.【詳解】對于①，根據(jù)題意可知，因?yàn)?，所以，即，故①錯(cuò)誤；對于③，則，故，即，所以，即，故③錯(cuò)誤；對于②，依次遞推有，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，故②正確；對于④，因?yàn)?，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故答案為：②④.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析列舉得出，從而可判定②.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）.【分析】選①：（1）在直角中，，再利用即可求得結(jié)果；（2）在直角中，由，得，再利用面積公式即可得解.選②：（1）直接利用即可求得結(jié)果；（2）由正弦定理，求得，再利用面積公式即可得解；選③：（1）由，得，再利用即可得結(jié)果；（2）直接利用三角形面積公式得解.【詳解】選①：邊上的高為（1）設(shè)邊上高為，在直角中，，，（2）在直角中，因?yàn)?，選②：（1），，又，（2），選③：.，又，（2）【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.17.【答案】（1）證明見解析（2）或（3）存在；【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理，可得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用線面角的向量求法即得；（3）利用空間向量確定坐標(biāo)，從而得出其位置.【小問1詳解】因?yàn)?，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，，所以兩兩垂?以A為原點(diǎn)，以，，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令,得，因?yàn)锽F與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得或，所以或；【小問3詳解】假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則，由，得，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，由，得，?得，因?yàn)槠矫?，所以，即，解?所以，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，平面.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為；（3）.【分析】（1）運(yùn)用古典概率公式即可；（2）的取值有0，1，2，分別求得隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率得出分布列，由公式求得其數(shù)學(xué)期望；（3）由表中數(shù)據(jù)可得結(jié)論.【小問1詳解】解：由已知得，清楚垃圾分類后處理方式的有人，所以從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率為；【小問2詳解】解：高中部共有名學(xué)生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，初中部共有名學(xué)生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，則的取值有0，1，2，所以，，，所以的分布列為：X012P所以的數(shù)學(xué)期望為；【小問3詳解】解：.19.【答案】（Ⅰ），離心率為；（Ⅱ）4.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合三角形的面積求得m的值即可確定橢圓方程，然后求解離心率即可；(Ⅱ)由題意首先求得點(diǎn)P的軌跡方程，然后結(jié)合雙曲線的定義和幾何性質(zhì)可得的值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)橛蓹E圓方程知：，，所以所以橢圓的方程為.由，，得，所以橢圓的離心率為.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),不妨設(shè)設(shè)，，由得即又，得，化簡得因?yàn)?，所以，即所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，兩點(diǎn)恰為其焦點(diǎn)，為雙曲線的頂點(diǎn)，且，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解，平面軌跡方程的確定，雙曲線的性質(zhì)與應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.【答案】（1）21.答案見解析（2）；理由見解析【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后求出，從而求解.（2）由（1）知，然后求出導(dǎo)數(shù)，從而可求解.（3）根據(jù)（2）中分類討論的情況，然后求出相應(yīng)的解，從而求出單調(diào)區(qū)間，從而求解.【小問1詳解】由題意知，定義域?yàn)?，所以，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，所以，令，即，解得或，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問3詳解】個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，，，所以所以在區(qū)間無零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，，當(dāng)