2024北京匯文中學(xué)高三（下）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京匯文中學(xué)高三（下）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.一?選擇題（每題4分，共40分）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.已知命題“，有成立”，則為（）A.，有成立 B.，有成立C.，有成立 D.，有成立3.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.4.某生產(chǎn)廠商更新設(shè)備，已知在未來(lái)年內(nèi)，此設(shè)備所花費(fèi)的各種費(fèi)用總和（萬(wàn)元）與滿足函數(shù)關(guān)系，若欲使此設(shè)備的年平均花費(fèi)最低，則此設(shè)備的使用年限為（）A.3 B.4 C.5 D.65.設(shè)，則（）A. B. C. D.6.已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）A. B. C. D.7.已知無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an+1＝an+t（t為常數(shù)），Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項(xiàng)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.9.已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若滿足的整數(shù)恰有2個(gè)，則可取到的值有（）A.有3個(gè) B.有2個(gè) C.有1個(gè) D.不存在二?填空題（每題5分，共25分）11.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________.12.已知拋物線上一點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______；點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．13.在中，，，且的面積為，則________.14.已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的一條漸近線的垂線，為垂足，若，則的離心率為_(kāi)_________.15.如圖，在直角梯形中，E為的中點(diǎn)，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)D不在平面內(nèi)，則下命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_____．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答位寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件．（1）確定的解析式；（2）若圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間上，求a的取值范圍．條件①：的最小值為；條件②：圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為；條件③；的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．17.每年8月8日為我國(guó)的全民健身日；倡導(dǎo)大家健康?文明?快樂(lè)的生活方式，為了激發(fā)學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)興趣，助力全面健康成長(zhǎng)，某中學(xué)組織全體學(xué)生開(kāi)展以體育鍛煉為主題的實(shí)踐活動(dòng)，為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：（1）從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在的概率；（2）從參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在和的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，其中初中學(xué)生的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的初中?高中學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為.寫(xiě)出一個(gè)的值，使得（結(jié)論不要求證明）.18.如圖，在三棱錐中，平面ABQ，，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．19.已知.（1）若，求在處的切線方程；（2）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.20.已知橢圓：的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在橢圓上，線段的垂直平分線分別與線段，軸，軸交于不同的三點(diǎn)，，．（i）求證：點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）若為直角三角形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．21.有限數(shù)列：，，…，．（）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)于任意的，（），；②對(duì)于任意的，，（），，，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)．（1）若，且，，，，求的值；（2）證明：，，不可能是數(shù)列中的項(xiàng)；（3）求的最大值．

參考答案一?選擇題（每題4分，共40分）1.【答案】A【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集與補(bǔ)集的概念求解即可．【詳解】因?yàn)榧?，，?故選：A．2.【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，則為：，有成立，故選：C.3.【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)，解出即可.【詳解】設(shè)，，，解得，所以，故選：B4.【答案】B【分析】由題知，平均話費(fèi)為，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：平均話費(fèi)為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：B．5.【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和，可得，即根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，因?yàn)?，所以，綜上可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.6.【答案】C【分析】由已知條件解出n，令x＝1即可得到答案﹒【詳解】由題知，由組合數(shù)性質(zhì)解得n＝6，∴＝，令x＝1，得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為，故選：C.7.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵an+1＝an+t，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為t，①當(dāng)t≥0時(shí)，若t＝0，a1＝﹣2時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n為減函數(shù)，無(wú)最小項(xiàng)，∴充分性不成立，②當(dāng){an}和{Sn}都有最小項(xiàng)，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1tn2+(a1)n，則或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小項(xiàng)的必要不充分條件，故選：B．8.【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的定義可得，從而可得，進(jìn)而得出，即，求出.【詳解】根據(jù)，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．9.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.10.【答案】A【分析】本題首先可討論當(dāng)時(shí)，根據(jù)得出，然后討論當(dāng)時(shí)，通過(guò)等差數(shù)列求和公式得出，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)保證等式成立的每個(gè)值，只有一個(gè)值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，若整數(shù)恰有2個(gè)，則首先，解得，設(shè)該方程有兩實(shí)數(shù)根，則，若，顯然不合題意，則，則，若，此時(shí)，解得，滿足，符合題意；若，此時(shí)，解得，滿足，符合題意；若，此時(shí)，解得，滿足，符合題意，故可取到的值有或或.故選：A.二?填空題（每題5分，共25分）11.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，即，綜上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?12.【答案】①.②.2【分析】由拋物線方程求其準(zhǔn)線方程，再結(jié)合拋物線定義求點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可得點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為.故答案為：；2.13.【答案】或【分析】首先由面積公式求出，即可求出，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?則，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以；故答案為：或14.【答案】2【分析】根據(jù)條件可得，點(diǎn)坐標(biāo)，由和漸近線垂直斜率之積為，可得，即得離心率為2.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，雙曲線的一條漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，過(guò)作垂直于軸于，則為的中點(diǎn)，故點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€垂直于，所以，得，又在雙曲線中，故得，故，故答案為：215.【答案】②③【分析】①③，作出輔助線，得到，從而得到與不平行，平面；②證明線面垂直，得到線線垂直；④建立空間直角坐標(biāo)系，得到兩平面的法向量，由法向量不為0得到不存在某折起位置，使得平面平面.【詳解】①③，如圖所示：直角梯形中，，又因?yàn)椋?，所以，故四邊形為矩形，因?yàn)镹分別是的中點(diǎn)連接，則與相交于點(diǎn)，故點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，而與相交于點(diǎn)，故與不平行，故與不平行，①錯(cuò)誤，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，③正確；②，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由①知，所以，②正確；④，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，故，因?yàn)?，故，故，故不存在某折起位置，使得平面平面，④錯(cuò)誤.故選：②③三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答位寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.【答案】選擇見(jiàn)解析：（1）；（2）．【分析】求出函數(shù)的最小正周期，可求得的值.（1）選擇①②，求出的值，由條件②可得出關(guān)于的等式結(jié)合的取值范圍，可求得的值，由此可求得函數(shù)的解析式；選擇①③，求出的值，由已知條件可得出，求出的取值范圍，可求得的值，由此可求得函數(shù)的解析式；選擇②③，由條件②可得出關(guān)于的等式結(jié)合的取值范圍，可求得的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）由可求得的取值范圍，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期，．此時(shí)．（1）選條件①②；因?yàn)?，所以．因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以；選條件①③：因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，，因?yàn)?，即，，所以，，解?所以；選條件②③：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，所以．因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，，即，所以．所以；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間上，所以，得，所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個(gè)整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問(wèn)題.17.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）1（或取0）【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可；（2）先寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算關(guān)于的解析式，得到不等式即可得答案.【小問(wèn)1詳解】從該校隨機(jī)抽取名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率為；【小問(wèn)2詳解】由題知，的所有可能值為0，1，2，參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，記事件為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，事件為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，由題意知，事件相互獨(dú)立，且，所以，，，所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：時(shí)間/人數(shù)/類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中1312754內(nèi)初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，內(nèi)高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，，若，則，即解得或，又因?yàn)?，則或.故可?。ɑ?）.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）由中位線定理得EFDC，然后由線面平行判定定理和性質(zhì)定理得出線線平行，從而證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用空間向量法求二面角的余弦值．（3）根據(jù)向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．又因?yàn)镋F平面PCD，DC?平面PCD，所以EF平面PCD．又因?yàn)镋F?平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，所以EFGH，又因?yàn)镋FAB，所以ABGH.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直．以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，則，所以，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則可取設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，由，，得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，所以平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為．【小問(wèn)3詳解】由點(diǎn)到平面的距離公式可得，即點(diǎn)A到平面PCD的距離為.19.【答案】（1）；（2）時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案;（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論k的取值范圍，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得的單調(diào)區(qū)間；（3）由于不等式可變?yōu)?，所以可?gòu)造函數(shù)，利用（2）的結(jié)論可證明故該函數(shù)為上的增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，故在處的切線斜率為，而，所以在處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意得，則，令，即，令，即，時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，故，所以在上單調(diào)遞增，而，則，即，而，故，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明；因?yàn)榭勺冃螢?，由此可?gòu)造函數(shù)，從而利用（2）的結(jié)論證明該函數(shù)為遞增函數(shù)，從而利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.20.【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）．【分析】（1）依題意有，求得，進(jìn)而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）（i）設(shè)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直平分線求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可證得點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）由已知得為等腰直角三角形，所以，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，，有，解得，所以橢圓方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（2）（i）設(shè)，顯然直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為，聯(lián)立，消去y得，，，由韋達(dá)定知，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，，即，，，所以直線的方程為，令，得到，所以．令，得到，所以．所以是，的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（ii）因?yàn)闉橹苯侨切?，且，所以為等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，，即，化?jiǎn)得,，解得，（舍），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)