2024北京和平街一中高三10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京和平街一中高三10月月考數(shù)學(xué)（2024.9.29）（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.設(shè)全集，集合，則集合（）A. B.C. D.2.設(shè)，向量，，且，則（）A. B. C. D.103.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.-1 C.1 D.34.在下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A. B.C. D.5.《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A.64 B.96 C.128 D.1606.如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.7.已知向量，滿足，且其夾角為，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)在和上均有零點(diǎn)，則稱為函數(shù)的一個(gè)“折點(diǎn)”.下列四個(gè)函數(shù)存在“折點(diǎn)”的是（）A. B.C. D.9.把液體放在冷空氣中冷卻，如果液體原來的溫度是，空氣的溫度是，則min后液體的溫度可由公式求得．把溫度是的液體放在的空氣中冷卻，液體的溫度冷卻到和所用時(shí)間分別為min，min，則的值約為（）（參考數(shù)據(jù)）A.2.7 B.3.7 C.4.7 D.5.710.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.?∞,1 B. C. D.二、填空題（每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開________.12.已知為遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，，成等差數(shù)列，且，則______.13.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)滿足，則_______；若點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________．14.已知函數(shù)，若在上不具有單調(diào)性，則的取值范圍是_______________.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列的前項(xiàng)和為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③使成立的的最大值為4048；④當(dāng)時(shí)，取得最小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.三、解答題（共6小題，共85分）16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，，其中，若的值域?yàn)?，求和的?17.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.18.在中，，，在從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.某市，兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加信息聯(lián)賽，中學(xué)推薦了3名男生、2名女生.中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參賽.（1）求中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（2）設(shè)表示中學(xué)參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知3名男生的比賽成績分別為76，80，84，3名女生的比賽成績分別為77，，81，若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出的取值范圍（不要求過程）.20.已知函數(shù)，設(shè).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上存在極小值m，（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：．21.已知無窮數(shù)列an，給出以下定義：對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列an為“數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列an為“嚴(yán)格數(shù)列”.（1）已知數(shù)列an，bn的前項(xiàng)和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）證明：數(shù)列an為“數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有”；（3）已知數(shù)列bn為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，，，.求數(shù)列bn的最小項(xiàng)的最大值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】D【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、并集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)槿?，集合，，所以?故選：D2.【答案】C【分析】先根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，則，所以.故選：C.3.【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，所以，解得故實(shí)數(shù)a的值為.故選：A4.【答案】B【分析】通過函數(shù)的奇偶性和值域?qū)x項(xiàng)進(jìn)行排除，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，故為非奇非偶函?shù)，不符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，由于，所以的值域?yàn)?，符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，，故的值域不為.對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，不符合題意.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題.5.【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.6.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：D7.【答案】C【分析】由向量夾角的概念和充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：，且其夾角為；(1)由得：；；又；；即；是的充分條件；(2)由得：；；；；是的必要條件；綜上得，“”是“”的充分必要條件．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量夾角的概念，考查充分條件、必要條件及充要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】D【分析】根據(jù)題意分別判斷每個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)情況，對(duì)A、B直接判斷出沒有零點(diǎn)，C選項(xiàng)通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)可判斷最小值小于零，所以有兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ院瘮?shù)不存在零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在折點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋院瘮?shù)不存在零點(diǎn)，即不存在折點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)函數(shù)，，時(shí)，或；時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在折點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，由于，結(jié)合圖像可知該函數(shù)一定有折點(diǎn)，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的求解方法：（1）通過求解方程的根；（2）將函數(shù)移項(xiàng)變形得，數(shù)形結(jié)合將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題.9.【答案】B【分析】根據(jù)題目給的溫度公式，代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，所以，，所以.故選：.10.【答案】A【分析】先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)特征解不等式組，即可得解.【詳解】由題：函數(shù)，所以，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知函數(shù)求定義域，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式組，注意結(jié)果寫成集合或區(qū)間形式.12.【答案】31【分析】由等差中項(xiàng)可得,由等比中項(xiàng)可得,根據(jù)遞增數(shù)列可得,即可求得公比,進(jìn)而代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】,又,且遞增等比數(shù)列,解得或（舍去）,設(shè)等比數(shù)列的公比為,由,得,,故答案為:31【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義的應(yīng)用,考查等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的應(yīng)用,考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.13.【答案】①.②.[1，2]【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可求出點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，由，可得：，所以，所以，故，點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則,，，，因?yàn)?，，所?故的取值范圍是[1，2].故答案為：；[1，2].14.【答案】【分析】首先分析各段函數(shù)的單調(diào)性，要使在上是增函數(shù)，則，求出的取值范圍，則在上不具有單調(diào)性，即為剛剛求出的的范圍的補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，要使在上是增函數(shù)，則，解得；若在上不具有單調(diào)性，則或，即的取值范圍是.故答案為：15.【答案】①②④【分析】由與的關(guān)系即可判斷①；由等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷②③；由數(shù)列的正負(fù)規(guī)律即可判斷④.【詳解】，，所以，故①正確；因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，公差，所以，因?yàn)?，所以，由，所以，即，故②正確；因?yàn)?，，所以成立的的最大值為，故③不正確；因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題的一般方法有以下兩類：（1）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再通過的符號(hào)研究數(shù)列的單調(diào)性求最值，或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解；（2）不求數(shù)列的前項(xiàng)和，通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)變化規(guī)律找到所有的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，如：利用條件來找最大時(shí)可能的項(xiàng)數(shù)，利用條件來找最小時(shí)可能的項(xiàng)數(shù)，需要注意的是，由于首項(xiàng)的特殊性（無前一項(xiàng)），最值也可能在處就取到.三、解答題（共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡為正弦型三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解；（2）根據(jù)角的取值范圍求出的最大、最小值，再由值域列出方程得解.【小問1詳解】，由，，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1）知，，，又，的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立可解得17.【答案】（1）（2），【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，根據(jù)題意可得，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.18.【答案】（1）選擇條件①；選擇條件②；選擇條件③不合題意.（2）選擇條件①；選擇條件②.【分析】（1）選條件①時(shí)，直接利用余弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件②時(shí)，利用正弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件③時(shí)，由于出現(xiàn)與已知條件中三角形有一解相矛盾，故舍去.（2）選條件①時(shí)，利用勾股定理證明為直角三角形，可求出三角形的面積；選條件②時(shí)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式求出，應(yīng)用三角形面積公式的求出結(jié)果．【小問1詳解】（1）選擇條件①，，由于，，所以，解得；選擇條件②，，由于，，由正弦定理，.選擇條件③，，由正弦定理，得，此時(shí)或，三角形不唯一，不合題意．【小問2詳解】選擇條件①，，由，則，滿足，故為直角三角形，所以；選擇條件②，，在中，，所以.19.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為（3）【分析】（1）A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的對(duì)立事件是A中沒有學(xué)生入選代表隊(duì)，那3名男生和3名女生都是B中學(xué)的學(xué)生，計(jì)算概率后，求對(duì)立事件的概率即可；（2）6名男隊(duì)員中有A，B中學(xué)各3人，所以選3人來自A中學(xué)的人數(shù)X可能取值為0，1，2，3，根據(jù)超幾何分布計(jì)算其概率，列出分布列，求期望；（3）根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，結(jié)合題意即可得出a的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全部從B中學(xué)中抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為.因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為.【小問2詳解】根據(jù)題意得，X的可能取值為0，1，2，3.則，，所以X的分布列為：X0123P因此，X的數(shù)學(xué)期望.【小問3詳解】3名男生的比賽成績分別為76，80，84，平均值為80，方差為，3名女生的比賽成績?yōu)?7，，81，平均值為，所以，即，代入檢驗(yàn)，可知最小為74，最大，故，即的取值范圍.20.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）（ii）；（ii）證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)得到，然后再一次利用求導(dǎo)得出單調(diào)區(qū)間；（2）（i）法一：分類討論：時(shí)無極值，時(shí)，有極大值，再一次分類討論：極大值小于0，極大值大于0，最后得出符合題意的范圍；法二：先求出的最大值，根據(jù)最大值大于0，和小于0分類討論，最后得出符合題意的范圍；（ii）由（i）寫出m的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)即可得證.【小問1詳解】若，則，.所以，則.令，即，解得;令，即，解得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】（ⅰ）法一：因?yàn)?，所?易知在上單調(diào)遞減，.當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以無極值.當(dāng)即時(shí)，由可得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示.x(0,ln(2a))ln(2a)(ln(2a),+∞)h’(x)+0h(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值.①當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以無極值.②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)椋栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，記為.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示.x(0,x0)x0(x0,ln(2a))0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，有極小值.法二：.令，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以無極值.②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)且時(shí)，.又，使.所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有極小值.有極小值時(shí)，的取值范圍是.（ⅱ）由（i）知，..,.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問中（i）的關(guān)鍵在于處理好導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性或最值問題