專題1.1有理數(shù)的引入（高效培優(yōu)講義）（原卷版）

專題1.1有理數(shù)的引入1.正確理解正、負數(shù)及零的意義,會用正、負數(shù)表示具有相反意義的量，會判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù).（重點）2.理解有理數(shù)的有關(guān)概念及其分類，了解集合的概念.（難點）3.通過有理數(shù)的學(xué)習(xí),感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,培養(yǎng)觀察、歸納與概括能力. 1.定義?在生活中存在各種各樣的量，其中有一類量，它們的屬性相同(即同類量)，但表示的意義卻相反，我們把這樣的量叫做具有相反意義的量.具有相反意義的量的“兩要素”：(1)具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等.2.用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量為了更好地區(qū)分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負數(shù)表示.用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量時，一般地，向指定趨勢變化用正數(shù)表示，向指定趨勢的相反趨勢變化用負數(shù)表示.（2425七年級上·浙江臺州·期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其中“方程術(shù)”中明確引進了“負數(shù)”，用正、負數(shù)來表示具有相反意義的量，說明我國是世界上最早使用負數(shù)的國家．如果在一次數(shù)學(xué)測試中，以70分為基準，80分記作分，那么60分應(yīng)記作（

）A．分 B．分 C．分 D．分 1.定義正數(shù)：像3、3.5、500、1.2這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).負數(shù)：像－12、－2.5、－237、－0.7這樣在正數(shù)前加上符號“－”(負)的數(shù)叫做負數(shù).0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).2.數(shù)的符號?一個數(shù)前面的“+”“－”號叫做它的符號，其中“+”號可以省略不寫，而“－”號不能省略不寫.3.符號“+”“－”的雙重含義(1)作為運算符號是加減號；(2)作為性質(zhì)符號是正負號.1.正數(shù)的實質(zhì)是大于0的數(shù)，它可以帶著“+”(正)號，也可以省略“+”號.2.負數(shù)就是在正數(shù)的前面加上“”號的數(shù).3.正數(shù)與負數(shù)的特征：(1)不為0；(2)含“+”“－”號.下列各數(shù)中，正數(shù)有哪些？負數(shù)有哪些？不是負數(shù)的有幾個？ 1.整數(shù)正整數(shù)、0和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，如3、2、0、1、2、3.......3.有理數(shù)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)4.部分常用的數(shù)的名稱(1)正整數(shù):大于0的整數(shù);負整數(shù):小于0的整數(shù)（3）非負數(shù)：正數(shù)和0；非正數(shù)：負數(shù)和0．1.非負整數(shù)是在整數(shù)范圍內(nèi)取非負數(shù)，包括正整數(shù)和0.2.引入負數(shù)后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也相應(yīng)地擴大了,奇數(shù)和偶數(shù)也可以是負數(shù)3.自然數(shù)包括0和正整數(shù)1.有理數(shù)的分類(1)按定義分類(2)按性質(zhì)分類1.不管按什么標準分類，最終都將有理數(shù)分為五類:正整數(shù)、0、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)、2.正有理數(shù)都是正數(shù)，但正數(shù)不一定都是正有理數(shù)2.有理數(shù)分類的三原則(1)分類不重復(fù):所分的冬類應(yīng)當(dāng)互不包含(2)分類無遺漏:所分各類之“和”必須是原來的全部(3)標準要統(tǒng)一:必須按同一分類標準進行分類1.定義把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集.2.數(shù)集的兩種常見形式把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中．（注意：只填序號）正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}；非負整數(shù)集{…}．題型一、相反意義的量典例1（2425七年級上·廣東廣州·期中）下面兩個量中，不具有相反意義的是（

）A．盈利和虧損元 B．浪費水和節(jié)約水此題考查了相反意義的量．根據(jù)相反意義的量的定義進行判斷即可．A、盈利和虧損元，是互為相反意義的量，故選項不符合題意；B、浪費水和節(jié)約水，是互為相反意義的量，故選項不符合題意；C、進三個球和輸三場比賽，不是互為相反意義的量，故選項符合題意；C．題型二、正負數(shù)的定義例2（2425七年級上·河北邢臺·期中）下列四個數(shù)中，屬于負數(shù)的是（

）A．1.2 B．1 C． D．0本題考查負數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是明確負數(shù)的定義，即小于0的數(shù)是負數(shù)．明確正數(shù)，負數(shù)和0的性質(zhì)，逐一分析選項中的數(shù)與0的大小關(guān)系．A、1.2是正數(shù)，A項錯誤；B、1是正數(shù)，B項錯誤；C、小于0，根據(jù)負數(shù)的定義：小于0的數(shù)是負數(shù)，所以是負數(shù)，C項正確；D、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，D項錯誤．C．21（2425七年級上·貴州畢節(jié)·期末）下列四個數(shù)中，是負數(shù)的是（

）A． B．0 C． D．22（2425七年級上·浙江臺州·期末）下列四個有理數(shù)中，負數(shù)的是（

）A．0 B． C．3 D．24（2425七年級上·河南駐馬店·期中）大于的數(shù)是正數(shù)，小于的數(shù)是負數(shù)．題型三、正負數(shù)的實際應(yīng)用例3（2425七年級下·湖南長沙·開學(xué)考試）七年一班某次數(shù)學(xué)測試的平均成績是105分，小明得了110分，記作分，小麗的成績記作分，則小麗本次數(shù)學(xué)測試的成績?yōu)椋?/p>

）A．118分 B．112分 C．108分 D．103分本題考查了正負數(shù)在實際成績表示中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解以平均成績?yōu)榛鶞?，高于平均成績記為正，低于平均成績記為負．先根?jù)小明的成績和記分情況確定記分規(guī)則，再依據(jù)此規(guī)則求出小麗的成績．D．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個34（2425七年級上·山西呂梁·期末）第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎舉行，下表是幾個城市與北京的時差（兩個地區(qū)地方時之間的差別）：（帶“”號的數(shù)表示同一時刻該地區(qū)時間比北京時間早的小時數(shù)）城市紐約倫敦巴黎首爾時差奧運會開幕式的時間是巴黎時間7月26日19時30分，對應(yīng)下列城市的時間是（

）．A．倫敦時間7月26日18時30分 B．北京時間7月27日3時30分C．紐約時間7月26日14時30分 D．首爾時間7月27日5時30分題型四、有理數(shù)的定義例4（2425七年級上·廣東廣州·期中）下列說法中，錯誤的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的兩種分類方法判斷即可．②是分數(shù)，不是整數(shù)，故②正確；③非負有理數(shù)是大于或等于零的有理數(shù)，故③錯誤；④是有理數(shù)，故④錯誤；⑤沒有最小的有理數(shù)，故⑤錯誤；⑥有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，故⑥錯誤；D．A．個 B．個 C．個 D．個42（2425七年級上·河南駐馬店·期末）下列說法正確的是（

）①在和之間沒有正數(shù)；②在0與之間沒有負數(shù)；③在和之間有很多個正分數(shù)；④在和之間沒有正分數(shù)．A．③ B．④ C．①②③ D．③④A．6個 B．5個 C．4個 D．3個A． B． C． D．題型五、0的意義例5（2425七年級上·湖南湘西·期中）下列對“0”的說法正確的個數(shù)是（

）①0是正數(shù)與負數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如；④0是正數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．4本題考查了正數(shù)和負數(shù)，根據(jù)0的意義，逐一判斷即可解答．①因為正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，所以0是正數(shù)與負數(shù)的分界，故①正確；②0除了表示“什么也沒有”，還可以表示其他意義，如等，故②錯誤；③0可以表示特定的意義，如，故③正確；④0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故④錯誤，綜上所述：正確的有①③，共2個，B．51（2324七年級上·河南許昌·開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．0是正數(shù) B．0是負數(shù) C．0是整數(shù) D．0是分數(shù)52（2425七年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）0的發(fā)現(xiàn)被稱為人類偉大的發(fā)現(xiàn)之一．0在我國古代叫做金元數(shù)字，意思是極為珍貴的數(shù)字，下列關(guān)于0在生活中的應(yīng)用的說法，錯誤的是（

）A．是一個確定的溫度 B．海拔表示沒有海拔C．24小時時制中，0點表示一天的開始時刻 D．在二進制中，0是基本的數(shù)字表示53（2425七年級上·云南·期中）下列說法正確的是（）B．不帶“”號的數(shù)都是正數(shù)C．0是自然數(shù)也是正數(shù)D．能寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)54（2223七年級上·河南南陽·期中）下列語句中正確的有(

)個．①不帶“”號的數(shù)都是正數(shù)；②如果是正數(shù)，那么一定是負數(shù)；③不存在既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)；④表示沒有溫度．A．1 B．2 C．3 D．4題型六、有理數(shù)的分類本題考查了有理數(shù)的分類，負分數(shù)的定義，負分數(shù)是小于0的分數(shù)，是有理數(shù)．根據(jù)小于零的分數(shù)是負分數(shù)，可得答案．是負分數(shù)，D．負數(shù)集合：｛______｝…；正整數(shù)集合：｛______｝…；分數(shù)集合：｛______｝…62（2425七年級上·甘肅蘭州·期中）把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里：

整數(shù)集合：{__________________}；負分數(shù)集合：{__________________}；正有理數(shù)集合：{__________________}．63（2425七年級上·福建漳州·期中）把下列各數(shù)填寫在相應(yīng)的集合中．64（2324七年級上·青海西寧·期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里．65（2425七年級上·云南西雙版納·期中）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里．整數(shù)集合：

；負有理數(shù)集合：

；正分數(shù)集合：

；非負整數(shù)集合：

．(1)正有理數(shù)集合：{

…}．(2)負有理數(shù)集合：{

…}．(3)整數(shù)集合：{

…}．題型七、帶“非”字的有理數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個本題考查有理數(shù)，理解有理數(shù)、非負整數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)，非負整數(shù)的定義進行判斷即可．B．71（2425七年級上·甘肅隴南·期末）在、、0、、2、3、4中，非負整數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個72（2425七年級上·山東濟寧·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號里．整數(shù)集合：{

…}負分數(shù)集合：{

…}非負有理數(shù)集合：{

…}正數(shù)：{

…}；非負整數(shù)：{

…}；整數(shù)：{

…}；負分數(shù)：{

…}．正數(shù)集合：{

…}；負數(shù)集合：{

…}；非負整數(shù)集合：{

…}；有理數(shù)集合：{

…}．對有理數(shù)的分類理解不清導(dǎo)致出錯例1下列說法中，正確的是（

）A．有理數(shù)分為整數(shù)、分數(shù)和小數(shù) B．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)C．一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù) D．以上說法都不對有理數(shù)按定義分為整數(shù)和分數(shù),按性質(zhì)分為正有理數(shù)、0和負有理數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】∵有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，∴A錯誤，∵有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，∴一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)，∴B正確，∵有理數(shù)分為正數(shù)、負數(shù)和零，∴C錯誤，1.對有理數(shù)的分類只能按一個標準分,不能相互混淆2.按性質(zhì)分類時易漏掉0.1．[新視角]（2425七年級上·山東臨沂·期中）如圖是一種轉(zhuǎn)盤型密碼，每次開鎖時需要先把表示“”的刻度線與固定盤上的標記線對齊、再按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)帶有刻度的轉(zhuǎn)盤三次，例如，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)個小格記為“”，此時標記線對準的數(shù)是．再順時針旋轉(zhuǎn)個小格記為“”，再逆時針旋轉(zhuǎn)個小格記為“”，鎖可以打開，那么開鎖密碼就可以記為“，，．此時標記線對準的數(shù)是．如果一組開鎖密碼為“，，”要想打開鎖，按上述規(guī)定方式旋轉(zhuǎn)鎖盤，鎖打開時標記線對準的刻度線表示哪個數(shù)？（

）A． B． C． D．2．（2425七年級上·四川成都·期中）下面的五個時鐘顯示了同一時刻國外四個城市時間和北京時間，根據(jù)表中給出的國外四個城市與北京的時差，請你判斷城市代表北京（在A、B、C、D、E五個里面選一個填在橫線上）城市時差/h紐約悉尼倫敦羅馬3．[集合思想]（2425七年級上·吉林白城·階段練習(xí)）所有整數(shù)組成整數(shù)集合，所有負數(shù)組成負數(shù)集合，陰影部分也表示一個集合，則這個集合可以包含的有理數(shù)是（

）5．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：正整數(shù)集：{

…}；正數(shù)集：{

…}；負分數(shù)集：{

…}；負數(shù)集：{

…}；非負整數(shù)集：{

…}；分數(shù)集：{

…}．6．[新趨勢·跨學(xué)科]（2425七年級上·湖南婁底·期末）科學(xué)實驗表明，原子中的原子核與電子所帶電荷是兩種相反的電荷．物理學(xué)規(guī)定：原子核所帶電荷為正電荷，電子所帶電荷為負電荷．氫原子中的原子核與電子各帶一個電荷，其中原子核所帶電荷可記作，則電子所帶電荷應(yīng)記作．7．[數(shù)學(xué)文化]中國古代的算籌計數(shù)法可追溯到公元前5世紀．?dāng)[法有縱式和橫式兩種（如圖所示），以算籌計數(shù)的方法是擺個位為縱，十位為橫，百位為縱，千位為橫……這樣縱橫依次交替，