專題01集合的概念（預(yù)備知識）

專題01集合的概念1、通過具體的實例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2、知道元素與集合之間的關(guān)系，會用符號“”“”表示元素與集合的關(guān)系，能用常用數(shù)集的符號表示有關(guān)集合.3、會根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學(xué)對象的一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強用集合表示數(shù)學(xué)對象的意識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．元素與集合的概念及表示(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系4．常用的數(shù)集及其記法常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集數(shù)學(xué)符合或5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．對點集訓(xùn)一：集合的基本概念典型例題例題1．（2425高一上·廣東清遠·階段練習(xí)）給出下列說法：①所有接近于的數(shù)構(gòu)成一個集合；③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；④所有不大于的自然數(shù)構(gòu)成一個集合；⑤，，，組成的集合含有個元素．其中正確的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【答案】D【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)逐項分析判斷即可.【詳解】對于①：接近于的數(shù)不能確定，所以不能構(gòu)成集合，故①錯誤；對于③：高科技產(chǎn)品不能確定，所以不能構(gòu)成一個集合，故③錯誤；對于④：不大于的自然數(shù)為0，1，2，3，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：D.例題2．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列各組對象可以構(gòu)成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊課本中所有的難題 B．小于8的所有素數(shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點 D．所有小的正數(shù)【答案】B【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的確定性逐項分析判斷即可.【詳解】對于選項A：“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；對于選項B：小于8的所有素數(shù)有2，3，5，7，能構(gòu)成集合；對于選項C：“一些點”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合；對于選項D：沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合．故選：B.精練1．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列給出的對象中能構(gòu)成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的數(shù) C．聰明的人 D．小于3的實數(shù)【答案】D【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合中元素的特性即可判斷.【詳解】只有選項有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成一個集合．故選：.2．（2425高一上·重慶渝北·期中）下列選項中元素的全體可以組成集合的是（

）A．學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生 B．校園中長的高大的樹木C．2007年所有的歐盟國家 D．中國經(jīng)濟較發(fā)達的地區(qū)【答案】C【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】由集合的三要素：確定性，互異性，無序性作出判斷【詳解】A選項，“水平較高”不明確，不滿足確定性，A選項不能組成集合；B選項：“長得高”不明確，不滿足確定性，B選項不能組成集合；C選項：2007年所有的歐盟國家滿足“確定性，互異性，無序性”能構(gòu)成集合；D選項：“較發(fā)達”不明確，不滿足確定性，D選項不能組成集合.故選：C.3．（2425高一上·河南洛陽·階段練習(xí)）以下四組對象，能構(gòu)成集合的是（

）.A．最大的正實數(shù) B．最小的整數(shù)C．平方等于1的實數(shù) D．最接近1的實數(shù)【答案】C【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】利用可構(gòu)成集合的元素的性質(zhì)依次判斷選項即可得解.【詳解】對于A，無法確定最大的正實數(shù)是哪一個數(shù)，故A錯誤；對于B，無法確定最小的整數(shù)是哪一個數(shù)，故B錯誤；對于C，平方等于1的實數(shù)為，可以構(gòu)成集合，故C正確；對于D，無法確定最接近1的實數(shù)是哪一個數(shù)，故D錯誤；故選：C.對點集訓(xùn)二：判斷元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2425高一上·安徽銅陵·期末）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】根據(jù)常用集合的符號和含義作出判斷，得到答案.故選：C例題2．（2425高一上·湖南邵陽·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）【答案】A【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】利用元素與集合之間的關(guān)系對選項逐一判斷可得結(jié)果.故選：A精練1．（2425高一上·甘肅·階段練習(xí)）下列關(guān)系正確的是（

）【答案】D【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】根據(jù)選項中大寫字母代表的數(shù)集，結(jié)合元素與集合的屬于關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】四個選項中的大寫字母分別代表正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集，故選：D【答案】C【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】由元素與集合的關(guān)系即可直接判斷故選：C.A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】依次判斷出各數(shù)所屬于的數(shù)域范圍，再利用元素與集合的關(guān)系判定即可.故選：C.對點集訓(xùn)三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)典型例題A．3 B．1 C．3或1 D．0【答案】A【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)故選：A【答案】2【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出方程求解，結(jié)合集合中元素的互異性檢驗即可.故答案為：2精練A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)故選：BA．2 B．3 C． D．5【答案】BD【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.故選：BD.【答案】【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性即可求解.故答案為：.對點集訓(xùn)四：用列舉法表示集合典型例題【答案】C【知識點】列舉法表示集合故選：C.【知識點】列舉法表示集合、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】利用常用數(shù)集的意義列舉出所有元素即可.精練【答案】C【知識點】列舉法表示集合【分析】解一元二次方程，即可求出集合.故選：C．【答案】B【知識點】列舉法表示集合【分析】根據(jù)集合中的元素特征可得出集合.故選：B.【答案】B【知識點】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】解一元一次不等式，寫出集合中的元素，利用列舉法可得答案.故選：B.對點集訓(xùn)五：用描述法表示集合典型例題【答案】D【知識點】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】根據(jù)給定的集合的公共屬性及各選項中集合表示的數(shù)的特征判斷即得.對于AB，集合AB中的有負數(shù)，AB不是；對于C，集合中沒有，C不是；故選：D例題2．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中的x軸上的點組成的集合；【知識點】描述法表示集合【分析】（1）（2）（3）根據(jù)各項文字描述寫出集合的描述形式即可.精練【答案】D【知識點】描述法表示集合【分析】解不等式即可求解.故選：D.【答案】C【知識點】描述法表示集合【分析】根據(jù)集合中元素的特點用描述法表示即可.故選：C.3．（多選）（2425高一下·河北保定·階段練習(xí)）下列用描述法表示的集合，正確的是（

）【答案】ACD【知識點】描述法表示集合【分析】根據(jù)描述法的特點逐項分析即可.故選：ACD.對點集訓(xùn)六：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)典型例題A． B．1 C． D．0【答案】A【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.故選：A.【答案】【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等分析求解即可.故答案為：.精練A．0 B．C．1 D．2【答案】BD【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)故選：BD.【答案】1【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】利用相等集合的元素關(guān)系，即可求解.故答案為：1．【答案】【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)故答案為：.角度2：已知集合元素個數(shù)求參數(shù)典型例題【答案】B【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)故選：B【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】對進行分類討論，由此求得正確答案.【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)精練【答案】C【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】利用集合元素個數(shù)，結(jié)合方程的解求出.故選：CA． B． C． D．【答案】AD【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)綜上實數(shù)的值可以為，.故選：AD【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【詳解】因為集合中僅含有一個元素，一、單選題A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)題意求出的取值，即可得解.即集合中有個元素.故選：C.A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)【分析】根據(jù)題意，采用列舉法表示集合即可求解.所以集合含有6個元素.故選：C.【答案】D【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】需要注意集合中的元素的形式，本題的A選項和C選項與集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可選出正確答案D.【詳解】集合A的元素表示的是平面直角坐標(biāo)系中一條直線上的點（數(shù)對），選項A和選項C表示的都是只有一個點作為元素的集合，可以首先排除；故選D．【答案】A【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】由集合的概念可得集合C中的元素.故選：A.5．（2425高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個集合B．聯(lián)合國安理會常任理事國能組成一個集合【答案】B【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)題意，利用集合的定義逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，因為很喜歡足球的同學(xué)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個集合，故A錯誤；對于B，因為聯(lián)合國安理會常任理事國有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個集合，故B正確；故選：B.【答案】B【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】通過列舉法表示集合，逐項判斷即可故A，C，D錯誤，B正確故選：B.【答案】C【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)題意列出不等式組即可求出結(jié)果.故選：C.A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)故選：A二、多選題9．（2425高一上·福建泉州·階段練習(xí)）下面四個說法中正確的是（

）D．與表示同一個集合【答案】AB【知識點】列舉法表示集合、判斷是否為同一集合【分析】直接運用集合的含義和集合中元素的性質(zhì)逐項判斷即可．對于D，表示以為元素的集合，故D錯誤．故選：AB．【答案】BC【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合【分析】通過聯(lián)立方程組的方法來求得正確答案.故選：BC三、填空題【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，化方程為一元二次方程，再利用根的情況列式計算得解.由已知集合只有一個元素，【知識點】列舉法表示集合【分析】根據(jù)集合描述，應(yīng)用列舉法表示集合即可.四、解答題13．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出哪些是有限集，哪些是無限集．(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C；【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合、集合的分類【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)描述寫出集合的描述形式，即可判斷有限或無限.【答案】【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】分兩種情況討論，結(jié)合集合元素間的互異性即可求解.A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)故選：A.【答案】②③④【知識點】集合的分類【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，將無限循環(huán)小數(shù)整理為分?jǐn)?shù)性質(zhì)，逐項檢驗，可得答案.故答案為：②③④．(1)寫出一個“二元和諧集”(無需寫計算過程)；(3)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.(2)證明過程見解析【知識點】集合元素