1.1菱形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)

1.1菱形的性質(zhì)與判定（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課是北師大版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第一章“特殊平行四邊形”第一節(jié)菱形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)，內(nèi)容包括：菱形的判定及其證明。2.內(nèi)容解析?本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了菱形的定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的。菱形的判定作為幾何圖形判定的重要內(nèi)容，是對(duì)平行四邊形判定的進(jìn)一步深化，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)正方形的判定以及其他幾何圖形的研究奠定基礎(chǔ)，在教材知識(shí)體系中起到承上啟下的作用。教材通過(guò)設(shè)置一系列探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的過(guò)程，得出菱形的判定定理，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和邏輯思維能力。?基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：菱形判定定理的證明及應(yīng)用。1.通過(guò)觀察生活中的菱形實(shí)例并進(jìn)行幾何圖形抽象，能準(zhǔn)確提煉出菱形的判定要素，歸納出菱形的三種判定方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，提升從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力。?2.通過(guò)參與菱形判定定理的猜想、實(shí)驗(yàn)操作、邏輯推導(dǎo)全過(guò)程，能熟練運(yùn)用全等三角形、平行四邊形等知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，掌握類比、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)，培養(yǎng)科學(xué)探究與理性思維能力。?3.通過(guò)分層練習(xí)、典型例題剖析及小組合作解題，能靈活運(yùn)用菱形判定定理解決幾何證明和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，規(guī)范解題步驟與書寫規(guī)范，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，增強(qiáng)知識(shí)遷移與綜合應(yīng)用能力。4.通過(guò)小組討論、成果展示和課堂總結(jié)活動(dòng)，能清晰表達(dá)與菱形判定相關(guān)的觀點(diǎn)和解題思路，主動(dòng)傾聽并吸收他人見解，發(fā)展數(shù)學(xué)交流與合作素養(yǎng)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度.2.目標(biāo)解析1.在引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，將具體的菱形實(shí)物轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，通過(guò)分析圖形特征，提煉出菱形的判定條件，這一過(guò)程著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜的實(shí)際情境中提取關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)運(yùn)用判定方法解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。2.聚焦于學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷從猜想、實(shí)驗(yàn)到邏輯證明的完整科學(xué)探究流程，在這一過(guò)程中，借助已學(xué)的全等三角形和平行四邊形知識(shí)，對(duì)菱形判定定理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和科學(xué)探究精神，使學(xué)生能夠理性思考問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。3.通過(guò)分層練習(xí)和綜合拓展題，讓學(xué)生在不同難度和類型的題目中，學(xué)會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題情境，準(zhǔn)確選擇合適的菱形判定定理，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題解決中，同時(shí)規(guī)范解題步驟和書寫格式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力，提高學(xué)生知識(shí)遷移和綜合應(yīng)用的水平。4.通過(guò)小組討論、成果展示和課堂總結(jié)等活動(dòng)，為學(xué)生提供表達(dá)和交流的平臺(tái)，讓學(xué)生在與他人的互動(dòng)中，學(xué)會(huì)清晰闡述自己的觀點(diǎn)和解題思路，同時(shí)傾聽他人意見，吸收有益見解，從而培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)交流與合作素養(yǎng)。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)系統(tǒng)掌握了平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法，并且在上一課時(shí)學(xué)習(xí)了菱形的定義和性質(zhì)，知道菱形是特殊的平行四邊形，具備四條邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分等特性。這些知識(shí)儲(chǔ)備為學(xué)習(xí)菱形的判定定理提供了必要的基礎(chǔ)。然而，學(xué)生對(duì)平行四邊形和菱形性質(zhì)的理解多停留在表面記憶，對(duì)于知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系把握不夠深入，在運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行綜合推理時(shí)可能存在困難。九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、分析和歸納能力，在教師引導(dǎo)下能夠通過(guò)觀察圖形、動(dòng)手操作等方式進(jìn)行簡(jiǎn)單的猜想和探究。但在邏輯推理能力方面，大部分學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的演繹證明還不夠熟練，在書寫規(guī)范的幾何證明過(guò)程時(shí)容易出現(xiàn)步驟跳躍、邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐?wèn)題。同時(shí)，在面對(duì)復(fù)雜的幾何圖形時(shí)，學(xué)生提取關(guān)鍵信息、分離基本圖形的能力較弱，難以準(zhǔn)確識(shí)別圖形中隱藏的與菱形判定相關(guān)的條件。1.在講解菱形判定定理證明時(shí)，將復(fù)雜的證明過(guò)程拆解為多個(gè)小步驟。降低證明難度，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建證明邏輯。針對(duì)判定定理的證明，設(shè)計(jì)一題多證的練習(xí)。通過(guò)多種證明方法的對(duì)比和練習(xí)，讓學(xué)生熟悉不同定理和方法的運(yùn)用場(chǎng)景，提升學(xué)生選擇合適證明方法的能力。在課堂教學(xué)中，選取典型例題進(jìn)行詳細(xì)的板書示范，展示規(guī)范的證明書寫格式和邏輯推理過(guò)程。強(qiáng)調(diào)每一步推理的依據(jù)，要求學(xué)生在練習(xí)中模仿書寫。同時(shí)，收集學(xué)生作業(yè)中不規(guī)范的證明案例，在課堂上進(jìn)行分析和糾正，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明書寫習(xí)慣。2.設(shè)計(jì)一系列包含復(fù)雜圖形的題目，讓學(xué)生通過(guò)標(biāo)記、拆解等方式，找出其中的基本圖形，并分析每個(gè)基本圖形與菱形判定條件的關(guān)系。例如，給出一個(gè)包含多個(gè)四邊形和三角形的組合圖形，要求學(xué)生找出可能構(gòu)成菱形的部分，并說(shuō)明判斷依據(jù)。通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，提升學(xué)生從復(fù)雜圖形中提取關(guān)鍵信息的能力。3.組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，在探究菱形判定定理和解決難題的過(guò)程中，讓學(xué)生相互交流、討論。學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生可以幫助其他同學(xué)，共同分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。在小組合作中，學(xué)生能夠感受到團(tuán)隊(duì)的力量，減少因個(gè)人能力不足產(chǎn)生的畏難情緒。同時(shí)，教師及時(shí)給予小組鼓勵(lì)和肯定，營(yíng)造積極向上的學(xué)習(xí)氛圍?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。1.復(fù)習(xí)回顧“上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了菱形的定義和性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們回憶：菱形的定義是什么？一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形作為特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有哪些獨(dú)特性質(zhì)？”邊：四條邊相等；對(duì)角線：互相垂直且平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（2條對(duì)稱軸）。（設(shè)計(jì)意圖：鞏固舊知，建立新舊知識(shí)聯(lián)系，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生好奇心，自然導(dǎo)入新課。）（教學(xué)建議：讓學(xué)生以小組為單位，用思維導(dǎo)圖或表格梳理菱形的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生回答進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)與補(bǔ)充，確保知識(shí)回顧準(zhǔn)確全面。）“性質(zhì)是‘已知圖形是菱形，得出邊、對(duì)角線的特征’，那么反過(guò)來(lái)：如果一個(gè)四邊形滿足某些邊或?qū)蔷€的條件，能否判定它是菱形？（設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生逆向思維，讓學(xué)生根據(jù)性質(zhì)大膽猜想，并用簡(jiǎn)單的教具（如四根等長(zhǎng)小棒、可轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)角線模型）動(dòng)手操作驗(yàn)證猜想，引出判定定理的探究需求。）2.情景引入教師：展示菱形圖案的窗花、伸縮門、菱形地磚等圖片，并提問(wèn)：“工匠制作菱形窗花時(shí)，如何在沒(méi)有定義的情況下，通過(guò)測(cè)量或折疊的方法確保圖形是菱形？”學(xué)生：小組討論并提出方案.例如：測(cè)量四條邊是否相等；測(cè)量對(duì)角線是否互相垂直平分；先制作平行四邊形框架，再調(diào)整對(duì)角線是否垂直。教師：“這些生活中的操作方法，背后蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)原理？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的菱形判定定理?！雹佟叭绾闻卸ㄒ粋€(gè)四邊形是平行四邊形？”（回顧平行四邊形的判定）②“若已知一個(gè)四邊形是平行四邊形，還需添加什么條件能判定它是菱形？”（從平行四邊形到菱形的判定）③“若不知道一個(gè)四邊形是否為平行四邊形，能否直接通過(guò)邊或?qū)蔷€的條件判定它是菱形？”（一般四邊形到菱形的判定）（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題鏈，讓學(xué)生明確判定定理的兩類場(chǎng)景——從平行四邊形出發(fā)、從一般四邊形出發(fā)，為第2課時(shí)的判定定理（定義法、四邊相等、對(duì)角線垂直的平行四邊形）搭建邏輯框架。）（教學(xué)建議：在提出問(wèn)題后，可以讓學(xué)生討論交流，增強(qiáng)學(xué)生的參與感。）探究點(diǎn)菱形的判定根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.除此之外，你認(rèn)為還有什么條件可以判斷一個(gè)平行四邊形是菱形?先想一想，再與同伴交流。小組活動(dòng)1：我們用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.驗(yàn)證猜想：已知:如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD.求證:□ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直線BD是線段AC的垂直平分線，∴BA＝BC，∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).菱形的判定定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.幾何語(yǔ)言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀操作與自主探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和邏輯推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，加深對(duì)定理的理解。）（教學(xué)建議：準(zhǔn)備足夠教具或借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示；小組討論時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，教師參與討論并給予針對(duì)性指導(dǎo)；證明展示環(huán)節(jié)注重引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫。）練一練：1.下列結(jié)論正確的是（B）A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B.對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形C.對(duì)角線互相平分的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線垂直且相等的四邊形是菱形小組活動(dòng)2：議一議：已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD，使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？小剛的方法：如圖，分別以A，C為圓心，以大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD你是怎么做的？你認(rèn)為小剛的作法正確嗎？與同伴進(jìn)行交流.猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.驗(yàn)證猜想：已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA.求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵AB＝CD,AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).菱形的判定定理2：四邊相等的四邊形是菱形.幾何語(yǔ)言：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.（設(shè)計(jì)意圖：菱形判定定理的證明首先可以讓學(xué)生對(duì)菱形的性質(zhì)和判定的關(guān)系有一定的認(rèn)識(shí)，再對(duì)比性質(zhì)定理的證明進(jìn)行，同時(shí)，通過(guò)教師引導(dǎo)和獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生遇到題目時(shí)冷靜思考，找到解題思路的良好習(xí)慣.在分析思路時(shí)，逐步鍛煉學(xué)生的推理論證能力，最后通過(guò)互查的形式讓每個(gè)學(xué)生都能嚴(yán)格的證明，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng).）（教學(xué)建議：鼓勵(lì)學(xué)生多種思路證明，展示不同方法；對(duì)學(xué)生證明過(guò)程中的問(wèn)題及時(shí)糾正，強(qiáng)化證明的嚴(yán)謹(jǐn)性。采取小組合作時(shí)，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的意見，鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)更多的方法來(lái)證明這些定理，在合作中讓學(xué)生相互幫助共同進(jìn)步.）練一練2.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（C） A.AC⊥BD,AC與BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD小組活動(dòng)3：做一做：能用折紙的辦法得到一個(gè)菱形嗎？動(dòng)手試一試.你能說(shuō)說(shuō)小穎這樣做的道理嗎？依據(jù)菱形的判定定理：菱形的判定定理之一是四條邊相等的四邊形是菱形。小穎通過(guò)折紙和裁剪得到的圖形四條邊相等，滿足菱形的判定條件，所以這個(gè)圖形是菱形。典例分析例1已知，如圖，在□ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，OA=2，OB=1.求證：□ABCD是菱形.證明：在△AOB中，∵AB=5，OA=2，OB=1，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形（對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形）例2如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC（平行四邊形的對(duì)邊平行），∴∠EAC＝∠FCA.∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO，∴四邊形AFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用判定定理解決實(shí)際問(wèn)題的方法，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)定理的理解與運(yùn)用。）（教學(xué)建議：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解題；教師巡視了解學(xué)生思路，適時(shí)引導(dǎo)；講解時(shí)注重分析解題思路和方法，強(qiáng)調(diào)規(guī)范答題格式。）1.下列命題中正確的是()A.對(duì)角線相等的四邊形是菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形2.如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形四邊的中點(diǎn)，連接EG與FH交點(diǎn)于O，則圖中的菱形共有（）A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)3.如圖，下列條件能使□ABCD是菱形的是()①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A.①③B.②③C.③④D.①③④4.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，E，則四邊形AFDE是()A.菱形B.長(zhǎng)方形C.正方形D.以上都不對(duì)(2題)(3題)(4題)5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.（1）求證：AF＝DB；（2）求證：四邊形ADCF是菱形.6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求證：四邊形AEFG是菱形.參考答案1.D2.B3.D4.A5.證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵△ABC是直角三角形，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，BD＝CD.在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE,∠FEA＝∠BED,AE＝DE，∴△AFE≌△DBE,∴AF＝BD.（2）由（1）知，AF＝BD,∵BD＝CD,∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形.∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC，∴四邊形ADCF是菱形.6.證明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠ACE=∠ECF，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC.∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAG=∠CFG=∠B，∴GF∥AE.∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，故四邊形AGFE是平行四邊形又∵AG=GF（或AE=EF），∴平行四邊形AGFE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅