2025年普通高校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(北京卷)（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年普通高校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)試題一、選擇題。共10小題，每題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.集合M={x∣2x?1>5},N={1,2,3}，則M∩N=(

)A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.?2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2=2i，則|z|=(

)A.2 B.22 C.43.雙曲線x2?4y2A.32 B.52 C.4.為得到函數(shù)y=9x的

圖象，只需把函數(shù)y=3xA.橫坐標(biāo)變成原來的12倍，縱坐標(biāo)不變 B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)變成原來的13倍，橫坐標(biāo)不變 D.縱坐標(biāo)變成原來的5.已知an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A.?20 B.?18 C.16 D.186.已知a>0,b>0，則(

)A.a2+b2>2ab B.1a7.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意M∈R，存在x0∈D，使得fx0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在0,π4A.8 B.6 C.4 D.39.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間T=klog2N(單位：小時(shí))，其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從106個(gè)單位增加到1.024×109個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024×109A.2 B.4 C.20 D.4010.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12]二、填空題。共5小題，每小題5分,共25分。11.拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則p=

．12.已知(1?2x)4=a0?2a1x+4a213.已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α?β)，cos(α+β)≠cos(α?β)，寫出滿足條件的一組α=

，14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC,AB//RS//EF//CD，AF//ST//BC//ED，若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=52，則該多面體的體積為

．

15.關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，以下說法正確的有

．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)使得f(x)+f(2x)=?x恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)f(x)使得f(x)+f(2x)=?x恒成立；③使得f(x)+f(?x)=cosx恒成立的函數(shù)④使得f(x)?f(?x)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)三、解答題。共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.在?ABC中，cosA=?1(1)求c；(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得?ABC存在，求BC的高．①a=6；②bsinC=102317.四棱錐P?ABCD中，?ACD與?ABC為等腰直角三角形，∠ADC=90°,∠BAC=90°，(1)F為PD的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明：FG//面PAB；(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB與面PCD所成角的正弦值．18.有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．(1)從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有100%的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有85%的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為p1，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為p2，試比較p1與p2的大小19.已知E:x2a2+y(1)求橢圓方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，Mx0,y0x0≠0為橢圓上一點(diǎn)，直線x0x+2y0y?4=0與直線y=2，y=?2交于A，20.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,+∞),f(0)=0,f′(x)=ln(1+x)1+x，l1(1)f′(x)的最大值；(2)?1<a<0，除點(diǎn)A外，曲線y=f(x)均在l1(3)若a>0時(shí)，直線l2過A且與l1垂直，l1，l2分別于x軸的交點(diǎn)為x1與21.A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=xi,yi∣xi∈A,yi∈A，從M中選出(1)若k列的第一項(xiàng)為(3,3)，求第二項(xiàng)．(2)若τ為k列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，xi∈{1,2,7,8}：i為偶數(shù)時(shí)，xi∈{3,4,5,6}；判斷：(3,2)與(3)證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．

參考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.C

9.B

10.D

11.6

12.1；15

13.π2

；

；14.60

15.②③

16.解：(1)因?yàn)閏osA=?13由正弦定理有asinC=csin(2)如圖所示，若?ABC存在，則設(shè)其BC邊上的高為AD，若選①，a=6，因?yàn)閏=6，所以C=A，因?yàn)閏osA=?13而這是不可能的，所以此時(shí)三角形ABC不存在，故BC邊上的高也不存在；若選②，bsinC=102此時(shí)cosB=1?而cos∠DAB=sinB,sin∠DAB=所以cos∠CAD=cos∠CAB?∠BAD所以此時(shí)CA,CD也可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形ABC是存在的，且BC邊上的高AD=10若選③，?ABC的面積是102，則解得b=5，由余弦定理可得a=進(jìn)一步由余弦定理可得cosB,cosC這表明此時(shí)三角形ABC是存在的，且BC邊上的高滿足：S?ABC=1

17.解：(1)取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，∵?ACD與?ABC為等腰直角三角形∠ADC=90不妨設(shè)AD?CD=2,∴AC=AB=2∴BC=4，∵E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，∴FN=1∴GM=1，∵∠DAC=45∴AD//BC，∴FN//GM，∴四邊形FGMN為平行四邊形，∴FG//MN，∵FG?面PAB，MN?面PAB，∴FG//面PAB；(2)∵PA⊥面ABCD，∴以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=2，則A(0,0,0),B(0,2∴設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為n∴取x=1,∴y=?1,z=1,∴設(shè)AB與面PCD成的角為θ則sin即AB與平面PCD成角的正弦值為3

18.解：(1)用頻率估計(jì)概率，從甲校隨機(jī)抽取1人，做對(duì)題目的概率為80100(2)設(shè)A為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則PA=0.8，則設(shè)B為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則PB=0.75，則設(shè)C為“恰有1人做對(duì)”，故PC而X可取0,1,2，PX=0=PAB=0.05故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故EX(3)設(shè)D為“甲校掌握該知識(shí)的學(xué)生”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有100%的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故PD+141?P(D)同理有0.85p2+故p1

19.解：(1)由橢圓可知，2a=4，所以a=2，又e=ca=2故橢圓方程為x2(2)聯(lián)立x0x+2y0y?4=0整理得，2x又x024+y故①式可化簡為8y2?16y0所以直線x0x+2y設(shè)Ax1,y1故設(shè)x2<x聯(lián)立x0x+2y聯(lián)立x0x+2y所以S=2OAOB故S1法二：不妨設(shè)Ax1,y1故設(shè)x2聯(lián)立x0x+2y聯(lián)立x0x+2y則kOA=y1x又x024所以tan=?xtan∠BOM=則tan∠AOM=tan∠BOM所以S1

20.解：(1)設(shè)gx=f′x由g′x=0可得x=e?1，當(dāng)x∈?1,e?1時(shí)，g′當(dāng)x∈e?1,+∞時(shí)，g′x<0所以f′x的最大值為f′(2)因?yàn)閒′a=ln1+a1+a，所以直線l設(shè)?x=fx由(1)可知，f′x在x∈?1,e?1上單調(diào)遞增，而所以，當(dāng)?1<x<a時(shí)，?′x<0，當(dāng)0>x>a時(shí)，?′x>0，?x而當(dāng)x≥0時(shí)，f′x=ln1+x1+x故?x(3)由f′x=ln1+x1+x可設(shè)fx=因?yàn)橹本€l1的方程為y=ln1+a所以直線l2的方程為y=?x1=a?1+a所以2a?=1?ln21+a1+a2l所以2a?x

21.解：(1)根據(jù)題目定義可知，下一項(xiàng)是6,7或7,6；(2)假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在τ中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨設(shè)3,2在4,4之前．顯然，在k列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從3,2到4,4必定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次．但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在中，所以從3,2到4,4必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次．這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在τ中.(3)假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)k列，則n=64．設(shè)T1=x,y則T1和T2都包含32個(gè)元素，且T1中元素相鄰項(xiàng)必定在T如果存在至少兩對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于T2，那么屬于T2的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于所以至多存在一對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于T2如果存在，則這對(duì)相鄰的項(xiàng)的序號(hào)必定形如2m和2m+1，否則將導(dǎo)致屬于T2的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于T1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2，此時(shí)從而這個(gè)序列的前2m項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于T1，第偶數(shù)項(xiàng)屬于T這個(gè)序列的后64?2m項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于T2，第偶數(shù)項(xiàng)屬于T如果不存在相鄰的屬于T2的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在m=0或m=