2024北京理工大附中初三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京理工大附中初三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)2024.9.5一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.方程的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）A.2和3 B.1和 C.2和 D.2和3.已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，則與的值分別為（）A. B. C. D.4.用配方法解方程，配方后可得（）A. B. C. D.5.如果是關(guān)于的方程的一個(gè)根，那么關(guān)于的方程的解是（）A. B. C. D.6.下列所給方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A. B.C. D.7.已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．若，則的值是（）A.或3 B. C.3 D.或78.下列關(guān)于的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）9.把一元二次方程化成一般形式為_________10.若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則m的值為______．11.已知實(shí)數(shù)，是方程的兩根，則的值為______．12.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是_________13.若a是方程的解，計(jì)算：=______.14.定義：是一元二次方程的倒方程．則下列四個(gè)結(jié)論：①如果是的倒方程的解，則；②如果，那么這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解；④如果一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則它的倒方程也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。其中正確的有_________（填正確的序號）三、解答題15.用適合的方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）16.已知關(guān)于的一元二次方程(為實(shí)數(shù)且)．(1)求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)如果此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．17.已知是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．18.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？19.閱讀下列材料：我們知道對于二次三項(xiàng)式可以利用完全平方公式，將它變形為的形式．但是對于一般的二次三項(xiàng)式就不能直接應(yīng)用完全平方公式了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上原式中一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方即，使其湊成完全平方式，再減去，使整個(gè)式子的值不變，這樣就有．例如：．請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）將多項(xiàng)式變形為的形式；（2）當(dāng)分別取何值時(shí)有最小值？求出這個(gè)最小值；（3）若，則與的大小關(guān)系是20.如圖，在?ABCD中，過B點(diǎn)作BM⊥AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)M，過D點(diǎn)作DN⊥AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形BMDN是平行四邊形；（2）已知AF=12，EM=5，求AN的長．21.在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，D是BC邊上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，以AD為邊作正方形ADEF（點(diǎn)E，F(xiàn)都在直線BC的上方），連接BE．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明∠CAD=∠BDE；（2）用等式表示線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）用等式表示線段AD，AB，BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出）．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共24分）1.【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，故不合題意；B、不是整式方程，故不合題意；C、是一元一次方程，故不合題意；D、是一元二次方程，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2.【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的一般形式和二次項(xiàng)系數(shù)以及一次項(xiàng)系數(shù)的定義即可直接得出答案．【詳解】解：整理得，∴二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為2和．故選：C．3.【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握若二次項(xiàng)系數(shù)為1，，是方程的兩根時(shí)，則，．由關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得與的值．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，，，，，．故選：B．4.【答案】A【分析】方程移項(xiàng)，利用完全平方公式化簡得到結(jié)果即可．【詳解】方程，整理得：，配方得：，即，故選A．5.【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的定義以及解一元二次方程，理解題意，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根的定義將代入方程解得，再將代入關(guān)于的方程并解該一元二次方程即可．【詳解】解：將代入方程，可得，解得，將代入關(guān)于的方程，可得，解得．故選：B．6.【答案】D【分析】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】解：A、，故A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．B、，故B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．C、，故C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．D、，故D沒有實(shí)數(shù)根．故選：D7.【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，根據(jù)，，得出，求出，，根據(jù)，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，即，解得：，，∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．8.【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義“一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)”，據(jù)此進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、是二次函數(shù)，故選項(xiàng)A符合題意；B、不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；C、不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)C不符合題意；D、不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意故選：A．二、填空題（每小題3分，共18分）9.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)，掌握一元二次方程的基本形式是解題關(guān)鍵．將方程兩邊展開，然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，即可．【詳解】解：，∴，∴∴．故答案為：．10.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義；把代入方程求出m可能的值，然后根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)一步得出答案．【詳解】解：把代入得：，解得：，∵方程是一元二次方程，∴，∴，∴，故答案為：．11.【答案】-1【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=1，ab=-1，再根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算代入求值.【詳解】∵，是方程的兩根，∴a+b=1，ab=-1，∴===-1，故答案為：-1.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，異分母分式的加減法計(jì)算法則.12.【答案】2【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的范圍，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故答案為：2．13.【答案】0【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整體思想進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a∴故答案為0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：使一元二次方程兩邊成立的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解．也考查了整體思想的運(yùn)用．14.【答案】①②③【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．根據(jù)倒方程的定義和一元二次方程根的定義對①進(jìn)行判斷；利用倒方程的定義和根的判別式的意義對②③進(jìn)行判斷；利用反例對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：的倒方程為，把代入方程得，解得，所以①正確；當(dāng)時(shí)，一元二次方程的根的判別式，也為一元二次方程，此方程的的根的判別式△，所以這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以②正確；一元二次方程無解，則，即，一元二次方程的倒方程為的根的判別式，則它的倒方程也無解，所以③正確；一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，當(dāng)，時(shí)，為一元一次方程，它的倒方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以④錯(cuò)誤．故答案為：①②③三、解答題15.【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用直接開方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可；（5）利用因式分解法解一元二次方程即可．【小問1詳解】或解得，；【小問2詳解】或解得，；【小問3詳解】解得，；【小問4詳解】或解得，；【小問5詳解】或解得，．16.【答案】(1)證明見解析；(2)或．【分析】（1）求出△的值，再判斷出其符號即可；（2）先求出x的值，再由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)求出m的值即可．【詳解】(1)依題意，得，，．∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)∵，∴，．∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且是正整數(shù)，∴或．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．17.【答案】3【分析】把代入方程，求出，再將代數(shù)式進(jìn)行化簡，利用整體思想進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】19．解：∵是方程的一個(gè)根，∴．∴．原式．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解得定義，以及利用整體思想求代數(shù)式的值．熟練掌握一元二次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．18.【答案】若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【分析】本題可設(shè)每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有臺被感染，第二輪后共有即臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有臺被感染，比較該數(shù)同700的大小，即可作出判斷．【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則經(jīng)過1輪后有臺被染上病毒，2輪后就有臺被感染病毒，依題意，得，解得，（舍去）．所以每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦．由此規(guī)律，經(jīng)過3輪后，有臺電腦被感染．由于，所以若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【點(diǎn)睛】本題只需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問題．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）（2）當(dāng)，時(shí)原式有最小值為15（3）【分析】本題主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式是解答關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式即可求解；（2）利用完全平方公式變形，根據(jù)，來求解；（3）利用作差法和完全平方公式，進(jìn)而得到m與n的大小關(guān)系．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．∵，，∴當(dāng)，時(shí)原式有最小值為15．∴當(dāng)，時(shí)原式有最小值為15；【小問3詳解】解：∵，，∴=a?1∴．故答案為：．20.【答案】（1）詳見解析；（2）13．【分析】（1）只要證明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要證明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根據(jù)勾股定理AN=即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四邊形BMDN是平行四邊形；（2）∵四邊形BMDN是平行四邊形，∴DM=BN，∵CD=AB，CD∥AB，∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，∵∠CEM=∠AFN=90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN=EM=5，在Rt△AFN中，AN===13．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．21.【答案】（1）見解析（2），證明見解析（3）【分析】（1）證明∠CAD和∠BDE都與∠ADC互余即可；（2）過E作EG⊥CB于G，利用△ACD≌△DGE可得CD＝EG，AC＝DG，從而可證明△BGE是等腰直角三角形，即可得到BE＝CD；（3）由AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2?CD2可得AB2＝2（AD2?CD2），再根據(jù)BE＝CD即可得到線段AD，AB，BE之間的數(shù)量關(guān)系．【小問1詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示．證明：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°?∠ADE?∠ADC＝90°?∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°?∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；【小問2詳解】解：．證明：過E作EG⊥CB于G，如圖：∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∵EG⊥CB，∴∠G＝90°＝∠C，