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·PAGE5·廣東省中山市2015屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.1.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則()A.3B.C.5D.2.在△ABC中,已知b=4,c=2,∠A=120°,則()A.2
B.6
C.2或6
D.23.設(shè)a>1>b>0,則下列不等式中正確的是(A)(-a)7<(-a)9(B)b-9<b-7(C)(D)4.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為則拋物線的方程是()A.B.C.D. 5.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是(A)若且,則(第6題圖)正(第6題圖)正視圖側(cè)視圖俯視圖2221(C)若且,則(D)若且,則6.已知某錐體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該錐體的體積為(A)2(B)4(C)6(D)87.的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(A)48(B)﹣48(C)112(D)﹣1128.袋子里有3顆白球,4顆黑球,5顆紅球.由甲、乙、丙三人依次各抽取一個(gè)球,抽取后不放回.若每顆球被抽到的機(jī)會(huì)均等,則甲、乙、丙三人所得之球顏色互異的概率是(A)(B)(C)(D)
21.(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù).(Ⅰ)若,求函數(shù)在[1,e]上的最小值;(Ⅱ)若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,試求實(shí)數(shù)的取值范圍; 16.(本題滿分14分)解:(Ⅰ)由,得,……1分又,代入得,由,得,……3分,………5分得,……7分(Ⅱ),……9分,,則……11分……14分17.(本小題滿分12分)解:(1)設(shè)“從第一小組選出的2人選科目乙”為事件,“從第二小組選出的2人選科目乙””為事件.由于事件、相互獨(dú)立,且,.………………4分所以選出的4人均選科目乙的概率為……………6分(2)設(shè)可能的取值為0,1,2,3.得,,,…9分的分布列為∴的數(shù)學(xué)期望…………13分(19)(本小題滿分14分)解:(Ⅰ)由題意,,得.…………3分,,,兩式相減,得數(shù)列為等比數(shù)列,.…………7分(Ⅱ).當(dāng)為偶數(shù)時(shí),=.……………10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí),(法一)為偶數(shù),……………13分(法二).……………13分……………14分18.(本題滿分15分)解:(Ⅰ)證明:因?yàn)镸為等邊△ABC的AC邊的中點(diǎn),所以BM⊥AC.依題意CD⊥AC,且A、B、C、D四點(diǎn)共面,所以BM∥CD.…………3分又因?yàn)锽M平面PCD,CD平面PCD,所以BM∥平面PCD.…………5分PABCDM(第18題圖)FE(Ⅱ)因?yàn)镻ABCDM(第18題圖)FE所以CD⊥平面PAC,故PD與平面PAC所成的角即為∠CPD.……………7分不妨設(shè)PA=AB=1,則PC=.由于,所以CD=.……………9分(方法一)在等腰Rt△PAC中,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥PC于點(diǎn)E,再在Rt△PCD中作EF⊥PD于點(diǎn)F.因?yàn)镸E⊥PC,ME⊥CD,所以ME⊥平面PCD,可得ME⊥PD.又EF⊥PD,所以∠EFM即為二面角C-PD-M的平面角.……………12分易知PE=3EC,ME=,EF=,PABCDM(第18題圖)PABCDM(第18題圖)xyz即二面角C-PD-M的正切值是.……………15分(方法二)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AC為x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.則P(0,0,1),M(),C(1,0,0),D.則,,.若設(shè)和分別是平面PCD和平面PMD的法向量,則,可?。?,可?。?2分所以,故二面角C-PD-M的余弦值是,其正切值是.……………15分21.(本題滿分14分)解:(Ⅰ)設(shè)右焦點(diǎn)(其中),依題意,,所以.……………3分所以,故橢圓Γ的方程是.……………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F(xiàn)(1,0).將通過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程代入橢圓Γ的方程,可得,其判別式.特別地,對(duì)于直線,若設(shè),則,.………………10分又設(shè),由于B、D位于直線的異側(cè),所以與異號(hào).因此B、D到直線的距離之和21.(本小題滿分14分)解:(1),……………1分依題設(shè),有,即,……………2分解得……………3分.……………4分(2)方程,即,得,………5分記,則.……6分令,得………7分當(dāng)變化時(shí),、的變化情況如下表:∴當(dāng)時(shí),F(xiàn)(x)取極小值;當(dāng)時(shí),F(xiàn)(x)取極大值…………8分作出直線和函數(shù)的大致圖象,可知當(dāng)或時(shí),它們有兩個(gè)不同的交點(diǎn),因此方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,………9分(3),得,又。,.…10分由,得,………11分,即………12分又………13分即,故的整數(shù)部分為.…………l4分
.………12分綜合可得,四邊形ABCD的面積.因?yàn)?,所以,于是?dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以當(dāng),即時(shí),四邊形ABCD的面積取得最大值.……………15分22.(本題滿分14分)解:(Ⅰ)時(shí),,求導(dǎo)可得……
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