第23講　解三角形-2026高考數(shù)學(xué)大一輪全面復(fù)習(xí)資料（提高版）解析版

第23講解三角形鏈教材夯基固本激活思維1.(人A必二P44練習(xí)T2改)在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，則角A的大小為(A)A.120° B.90°C.60° D.45°【解析】由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，所以A＝120°.2.(人A必二P44練習(xí)T1(2)改)在△ABC中，設(shè)b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，則a＝(A)A.5 B.4C.3 D.10【解析】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝52＋(5eq\r(3))2－2×5×5eq\r(3)×cos30°＝25，解得a＝5.3.(人A必二P48練習(xí)T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則c＝_eq\r(2)＋eq\f(\r(6),3)_．【解析】在△ABC中，因?yàn)閎＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，則由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2sin75°,sin60°)＝eq\f(2×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\r(2)＋eq\f(\r(6),3).4.(人A必二P48練習(xí)T3)在△ABC中，已知cosA＝eq\f(4,5)，B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(3)，則a＝_eq\f(6,5)_，c＝_eq\f(3＋4\r(3),5)_.【解析】由cosA＝eq\f(4,5)，可知A為銳角，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(3,5).由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(3)×\f(3,5),sin\f(π,3))＝eq\f(\f(3\r(3),5),\f(\r(3),2))＝eq\f(6,5).sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋4\r(3),10)，由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\f(6,5)×\f(3＋4\r(3),10),\f(3,5))＝eq\f(3＋4\r(3),5).5.(人A必二P54習(xí)題T22改)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0，則A＝_eq\f(π,3)_；若a＝2，△ABC的面積為eq\r(3)，則b＋c＝_4_．【解析】由acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC－sinB－sinC＝0.因?yàn)閟inB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以eq\r(3)sinA－cosA－1＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，故A＝eq\f(π,3).由題得△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4①.而a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝2，故b2＋c2＝8②，由①②得b＝c＝2，所以b＋c＝4.聚焦知識(shí)1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容_eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)_＝2Ra2＝_b2＋c2－2bccosA_；b2＝_a2＋c2－2accosB_；c2＝_a2＋b2－2abcosC_變形形式①a＝_2RsinA_，b＝_2RsinB_，c＝_2RsinC_；②sinA＝_eq\f(a,2R)_，sinB＝_eq\f(b,2R)_，sinC＝_eq\f(c,2R)_(其中R是△ABC外接圓的半徑)；③a∶b∶c＝_sinA∶sinB∶sinC_；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝_eq\f(b2＋c2－a2,2bc)_；cosB＝_eq\f(a2＋c2－b2,2ac)_；cosC＝_eq\f(a2＋b2－c2,2ab)_解斜三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角2.三角形常用面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝_eq\f(1,2)absinC_＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；(4)S△ABC＝eq\f(abc,4R)＝2R2sinAsinBsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；(5)S△ABC＝eq\r(p(p－a)(p－b)(p－c))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)(a＋b＋c))).3.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)_一解__兩解__一解__一解__無(wú)解_4.解三角形的實(shí)際應(yīng)用(1)仰角和俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線_上方_叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線_下方_叫俯角(如圖(1)). 圖(1) 圖(2)(