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第十三章三角形
13.3三角形的內(nèi)角與外角13.3.2三角形的外角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解三角形的外角的概念.2.理解三角形的外角性質(zhì).3.熟練掌握并運(yùn)用三角形外角性質(zhì)解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)理解三角形的外角性質(zhì).熟練掌握并運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)解決實(shí)際問題.難點(diǎn)重點(diǎn)復(fù)習(xí)導(dǎo)入鄰補(bǔ)角的概念:如圖,∠1和∠2有一條公共邊OC,它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線(∠1和∠2互補(bǔ)),具有這種關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的性質(zhì):∠1+∠2=180°.CABO12問題:如果延長(zhǎng)△ABC的邊AB至點(diǎn)D,那么該延長(zhǎng)線BD與相鄰的邊BC形成的∠CBD具有什么樣的性質(zhì)呢?BCAD新課講授1.三角形的外角定義如圖,把△ABC的一邊BC延長(zhǎng),得到∠ACD,像這樣,三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫作三角形的外角.ACBD問題1:三角形的外角和相鄰的內(nèi)角之間的大小關(guān)系?問題2:三角形的外角具備什么特征?三角形的外角和相鄰的內(nèi)角之和為180°.①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上;②一條邊是三角形的一條邊;③另外一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線.ABC畫一畫
畫出△ABC的所有外角,共有幾個(gè)呢?每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角.每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè),且這2個(gè)角為對(duì)頂角.如圖,△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系?三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∠BCD與∠ACB互補(bǔ).如圖,△ABC的外角∠BCD與其與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A,∠B)有什么關(guān)系?三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°,∴∠A+∠B=∠BCD.D證明:過C作CE平行于AB,ABC12∴∠1=∠B,(兩直線平行,同位角相等)∠2=∠A,(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知:如圖,△ABC,求證:∠ACD=∠A+∠B.驗(yàn)證結(jié)論2.三角形的內(nèi)角和定理的推論三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.新課講授例題解讀1.圖中∠1的大小等于(
)A.40°
B.50°
C.60°
D.70°D2.如圖,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,則∠ECD等于()A.40°
B.45°
C.50°
D.55°解析:∵∠A=60°,∠B=40°,∴∠ACD=∠A+∠B=100°.∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=50°.ABCDEC3.如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數(shù).∵∠BEC是△AEC的一個(gè)外角,∴∠BEC=∠A+∠ACE,∵∠A=42°,∠ACE=18°,∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個(gè)外角,∴∠BFC=∠ABD+∠BEF,∵∠ABD=28°,∠BEC=60°,∴∠BFC=88°.解:FACDEB4.如圖,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個(gè)外角,它們的和是多少?解:由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,得∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°,得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.小結(jié)三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊,另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線性質(zhì)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和1.如圖,_________是△ABC的一個(gè)外角.∠ACD隨堂小測(cè)2.(2024·貴陽期末)如圖,已知△ABC,點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上,∠A=50°,∠B=30°,則∠BCD的度數(shù)是 ()A.30°B.50°C.80°D.100°【變式】如圖,△ABC的外角∠DAC=95°,∠B=55°,則∠C的度數(shù)為 ()A.55°B.50°C.45°D.40°CD3.(教材P16習(xí)題T1變式)在如圖所示的三角形中,x的值是____.4.如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線.若∠B=35°,∠ACE=60°,則∠A的度數(shù)為____.6085°5.如圖,AE∥BD,∠1=95°,∠2=28°,求∠C的度數(shù).解:∵AE∥BD,∴∠ADB=∠1=95°.又∵∠ADB=∠C+∠2,∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.6.如圖,這是一臺(tái)起重機(jī)的工作簡(jiǎn)圖,前后兩次吊桿位置OP1,OP2與吊繩的夾角分別是30°和70°,則吊桿前后兩次的夾角∠P1OP2的度數(shù)為 ()
A.60°B.50°C.40°D.30°C7.如圖,點(diǎn)D,E分別在線段BC,AC上,連接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,則∠1的度數(shù)為____.8.(教材P15例4變式)如圖,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個(gè)外角.若∠ACD=125°,則∠BAE+∠CBF的度數(shù)為____.70°235°9.如圖,已知D為△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF⊥AB于點(diǎn)F,且交AC于點(diǎn)E,∠A=30°,∠D=55°.求∠ACD的度數(shù)和∠FEC的度數(shù).解:∵DF⊥AB,∴∠BFD=∠AFE=90°,∴∠B=90°-
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