2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編：等比數(shù)列（人教B版）

2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

等比數(shù)列（人教B版）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）若等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“=2"-l,則公比4=（）

A.■-B.—C.2D.—2

22

2.（2024北京房山高二下期末）已知數(shù)歹！J｛qJ滿足4+1=-2?！埃遥?1,則%=（）

A.；B.4C.-3D.-8

3.（2024北京石景山高二下期末）已知數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)列，其前"項(xiàng)和為S"，貝甘花"+2=凡”是

“$2"=。”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024北京房山高二下期末）已知數(shù)列A：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項(xiàng)是2。,接

下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,2、再接下來(lái)的三項(xiàng)是2。,”于，依此類推.S,是數(shù)列A的前〃項(xiàng)和，若S,=21reN*）,

則〃的值可以等于（）

A.16B.95C.189D.330

5.（2024北京順義高二下期末）對(duì)于數(shù)列｛q｝,若存在V>0,使得對(duì)任意”cN*,有

\a2-al\+\a3-a2\+---+\an+l-an\<M,則稱｛%｝為“有界變差數(shù)列”.給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若等差數(shù)列｛%｝為“有界變差數(shù)列"，則｛4｝的公差d等于0;

②若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝為“有界變差數(shù)列”，則其公比q的取值范圍是（0,1）;

③若數(shù)列｛%｝是“有界變差數(shù)列"，｛%｝滿足％=￡,則｛%％｝是“有界變差數(shù)列”；

④若數(shù)列優(yōu)｝是“有界變差數(shù)列"，｛%｝滿足％=2〃，則|彳1是“有界變差數(shù)列”；

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2024北京順義高二下期末）碳14是透過(guò)宇宙射線撞擊空氣中的氮14原子所產(chǎn)生.碳14原子經(jīng)過(guò)P

衰變轉(zhuǎn)變?yōu)榈?由于其半衰期達(dá)5730年，經(jīng)常用于考古年代鑒定.半衰期（Half-life）是指放射性元素

的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時(shí)所需要的時(shí)間.對(duì)北京人遺址中某塊化石鑒定時(shí)，碳14含量約為原來(lái)的1%,則

這塊化石距今約為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2a0.3010）

A.40萬(wàn)年B.20萬(wàn)年C.4萬(wàn)年D.2萬(wàn)年

7.（2024北京懷柔高二下期末）若｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，其前“項(xiàng)和為S“，/>0,則“0<q<l"

是“S”單調(diào)遞增，，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（北京懷柔高二下期末）等比數(shù)列;，

8.2024-1,2,T,,則數(shù)列的第七項(xiàng)為（）

A.32B.—32C.64D.-64

9.（2024北京西城高二下期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q=-1,32Ho=3應(yīng)，則％=

4W0專

D。A

10.（2024北京西城高二下期末）在等比數(shù)列｛4｝中，若q=1,%=4,則的%=（）

A.4B.6C.2D.±6

11.（2024北京大興高二下期末）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，公比為*K52<0,則（

A.數(shù)列｛5｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列9.｝是遞減數(shù)列

C.數(shù)列｛S2J是遞增數(shù)列D.數(shù)列｛52〃｝是遞減數(shù)列

12.（2024北京大興高二下期末）若數(shù)列c,9是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為（）

A.-3B.3

C.-9D.9

aa

13.（2024北京延慶高二下期末）已知數(shù)列｛%｝滿足，V/ZeN*,g"一3=」，?4?-l=112n=?，該數(shù)列

的前〃項(xiàng)和為5“，則下列論斷中錯(cuò)誤的是（）

A.“31=1B.%024=一1

C.三非零常數(shù)T,使得。5=4D.VweN*,都有邑”=-2

14.（2024北京西城高二下期末）在數(shù)列｛a“｝中，%=2,若存在常數(shù)C（CHO）,使得對(duì)于任意的正整

數(shù)加，w等式am+n=am+can成立，則（）

A.符合條件的數(shù)列｛4｝有無(wú)數(shù)個(gè)B.存在符合條件的遞減數(shù)列｛4“｝

C.存在符合條件的等比數(shù)列｛4｝D.存在正整數(shù)M當(dāng)”>N時(shí)，a?>2024

15.（2024北京西城高二下期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，則”｛q,｝是遞增數(shù)歹廣是“｛S,J是遞增

數(shù)歹U”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

16.（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）已知等比數(shù)列｛%｝中，血詈=8,4=32,則%=（）

A.16B.4C.2D.1

17.（2024北京人大附中高二下期末）已知等比數(shù)列｛%｝滿足。i=-1,%=8,則〃7等于（）

A.32B.-32C.64D.-64

二、填空題

18.（2024北京石景山高二下期末）已知數(shù)歹|｛%+1｝是等比數(shù)列，且4=3,a3=l,則％=.

19.（2024北京海淀高二下期末）己知數(shù)歹是公比為2的等比數(shù)列，若q=0,則

q+a2-\----1-an=.

20.（2024北京懷柔高二下期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具

有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.例如圖（1）是一個(gè)

邊長(zhǎng)為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖

（2）,如此繼續(xù)下去，得到圖（3）,則第三個(gè)圖形的邊數(shù)；第〃個(gè)圖形的周長(zhǎng).

21.（2024北京順義高二下期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝,%=g，%=2,則%=；

｛%｝前〃項(xiàng)積T?的最小值為.

22.（2024北京延慶高二下期末）已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，

?1?3=16，$3=14,則％=;記看=卬/…%（〃=1，2,…），若存在他eN*使得T,最大，

則"o的值為.

三、解答題

23.（2024北京房山高二下期末）若數(shù)列｛%｝滿足:對(duì)任意〃eN*,都有則稱｛%｝是'P數(shù)

列”.

⑴若%=2”1,2=2-,判斷伍/，電｝是否是“尸數(shù)列，，；

（2）已知｛%｝是等差數(shù)列,%=2,其前“項(xiàng)和記為S,，若｛%｝是“P數(shù)列”，且S“<3〃2+2〃恒成立，求公差

4的取值范圍；

（3）已知他“｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，q=1,記2=§?=&旦，若他“｝是“尸數(shù)列”，電｝不是“P數(shù)

3n

列”，｛%｝是“P數(shù)列”，求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式.

24.（2024北京石景山高二下期末）若數(shù)列｛%｝對(duì)任意的“eN*,均滿足/+2-%+i>，則稱｛4｝為

“速增數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，判斷數(shù)列｛%｝是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列｛〃,｝為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)僅eZ（〃eN*）,4=1,4=3,4=2024,求正整數(shù)%的最大值.

25.（2024北京西城高二下期末）設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，q=1,且對(duì)于任意“eN*都有

S”=4+1T成立.

（1）寫出的，g的值，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若等差數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)4=-54,公差”=詈，求數(shù)列也｝的前—項(xiàng)和T.的最小值.

26.(2024北京順義高二下期末)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足q=8,2?&=4,設(shè)2=log".

⑴證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

(2)記數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S”,求的最大值.

27.(2024北京懷柔高二下期末)已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為5“，且g=1。，邑=18.

(1)求等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列也J其前〃項(xiàng)和為7.，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為

已知，設(shè)cn=a“+b”,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式和數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和M,.

條件①：T?=3"-l；

h

條件②：4=2,^=3；

b?

條件③：且“eZ都有照=履「％|成立，bt=2,b3=S3.

28.(2024北京懷柔高二下期末)已知數(shù)集4=｛%,外,…“｝(1<?1<?2<---<??,?>2),若對(duì)任意的

i,j(1<Z<J<?),與2兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P.

%

⑴分別判斷數(shù)集左｛1,2,4｝與數(shù)集C=｛1,3,5,7｝是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)集A具有性質(zhì)P.

①當(dāng)”=3時(shí)，證明q=1,且％,%,生成等比數(shù)列；

②證明：?1+a2+---+a?

29.(2024北京昌平高二下期末)已知無(wú)窮數(shù)列｛4｝,給出以下定義：對(duì)于任意的〃eN*,都有

an+an+2>2an+l,則稱數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的〃eN*,都有。，+*>2%,則稱數(shù)列

｛%｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列｛%｝,他,｝的前〃項(xiàng)和分別為4，Bn,且%=2〃-1,￡=-2"T,試判斷數(shù)列｛A｝,數(shù)列也｝

是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)證明：數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的Z,機(jī)，“eN*,當(dāng)％<加<”時(shí)，有

(n-mj-k)a”N(〃一^)aJ；

(3)已知數(shù)列也｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”，且對(duì)任意的weN*,b,eZ,〃=-8,%8=-8.求數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)的

最大值.

30.(2024北京昌平高二下期末)已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,々=9,邑=39.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)歹U是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和

31.(2024北京第十二中學(xué)高二下期末)已知在等差數(shù)列｛《,｝中，%=19,%+%=73.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若也+為｝是等比數(shù)列，且4=-4,%=-10,求數(shù)列也,｝的前"項(xiàng)和S-

32.(2024北京房山高二下期末)已知｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且%=3,%=5,%=4,

?!4=4.

(1)求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)C?=??+bn,求數(shù)列｛c.｝的前〃項(xiàng)和S,.

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)S.,依次求出生，電，依題即可求得公比.

【詳解】由s“=2"-l,"=1時(shí)，％=1,

幾=2時(shí)，由q+%=1+%=2之一1解得,a2=2f

依題意，q=—=2.

ax

故選：C.

2.B

【分析】利用等比數(shù)列概念及通項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】由%+1=-2%可得嗅=-2為定值，

an

又％=1,所以｛%｝是以％=1為首項(xiàng)，公比4=-2的等比數(shù)列，

2

a3=a1q=4,

故選:B

3.C

【分析】在已知條件下，Sn+2=Sn,邑“=0都與4=-1等價(jià)，由此即可得解.

【詳解】S〃+2=S”。Sn+2-Sn=an+2+an+l=an+l(1+^)-0,

而。用力。，所以S+2=S=<7=-1=邑!D]=0'充分性成立；

n+znJ-z.n1/1\

產(chǎn)(1-力

反過(guò)來(lái)若觸一1_q一Ung=_],若q=i,則一定有邑，=2"4?0,

所以,4=一1,故S,+2=S,+a“+i+a“+2=S“，必要性成立；

也就是說(shuō)，已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則“5“+2="”是"邑”=0”的充分必要條件.

故選：C.

4.B

【分析】將數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1,第一組：2°，第二組：2。，2,第三組：2°,2',22,……，第

左組：2°,21,2?…2一，根據(jù)等比例數(shù)列前"項(xiàng)和公式對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.

【詳解】將數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1,即：

第一組：2°

第二組：2°,21

第三組：2°,2',22

第左組：2°,212%.,2i

根據(jù)等比例數(shù)列前〃項(xiàng)公式，得每組和分別為：

每組含有的項(xiàng)數(shù)分別為N=l+2+3+…+4+以2.

2

所以SN=21_]+22_]+…+2上_]=^^|^_4=21_2_4=21_(左+2)

若S“=2[teN*),即2川—(左+2)=2(reN"),

將選項(xiàng)A代入，若"=16,則％=5,即凡為前5組與第6組的第1個(gè)數(shù)的和，

止匕時(shí)兒=26—(5+2)+1=2'，/eN*無(wú)解；

同理若”=95,貝必=13,此時(shí)S95=214—(13+2)+1+2+4+8=2”,即"i4eN*,符合題意；

同理若“=189,則左=18,此時(shí)$89=59。_吸8=_(19+2)_218=2i8_22=2',：eN*無(wú)解；

同理若〃=330,貝必=25,止匕時(shí)S330=226—(25+2)+1+2+4+8+16=226+4=2,，feN*無(wú)解；

綜上可知，n=95,

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找出數(shù)列的規(guī)律，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行分組，利用等比數(shù)列前九項(xiàng)和公式構(gòu)

造方程，即可求解.

5.C

【分析】對(duì)于①，利用反證法即可判斷；對(duì)于②，討論4=1和0<q<l,并結(jié)合等比數(shù)列求和及性

質(zhì)即可判斷；對(duì)于③④，證明若｛%｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且%2%>0,則是有界變差數(shù)列,

%

即可判斷.

【詳解】對(duì)于①，假設(shè)｛4｝的公差d不等于0,則。向-。,=應(yīng)

故E—aj+砥—⑷+L+|<2?+1—tzn|=n\d\,

所以不存在Af>0,使得對(duì)任意〃wN*,有1%-q|+|q-出|+L+|a“+i-aj,

所以若等差數(shù)列｛風(fēng)｝為“有界變差數(shù)列"，則｛4｝的公差d等于0,故正確①；

對(duì)于②，因?yàn)椋?｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以4>0,<7>0,

E+i一⑷=40一%」=以你一[，

當(dāng)0=1時(shí),\ak+l-ak\=0,X鼠+i-⑷=0，

k=T

任取”>0即可，所以｛q｝為有界變差數(shù)列.

當(dāng)#1時(shí)，力為+1一⑷=(q+%+L+4)14Tl=4)|q一1'

k=\1-9

若0<q<l,則-,

令即可，所以｛%｝為有界變差數(shù)列，

若4>1,則坐答丘1|="4"_1),

當(dāng)n—時(shí)，％(q"-1)—>+co,

顯然不存在符合條件的M,故｛%｝不是有界變差數(shù)列.

綜上，q的取值范圍是(0』，故②錯(cuò)誤;

先證明若卜“｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且得2%>。，則%是有界變差數(shù)列.

yn)

由有界變差數(shù)列的定義可知,

E民+i-xj=民-占|+七-%|+L+,+1-xj<監(jiān),

k=\

EI%I-%|=|%-X|+|%-%|+L+\yn+1-y?\<M2

k=\

因?yàn)槭?11-國(guó)V氏+1-X］卜底-玉）+（退-%）+（x“+i-X”）1

<|X2-X1|+|X3-X2|+L+|x?+1-x?|<Af1,

所以民/(必+㈤.

_|%+1%一%3+J|x“+J“+i一%%+1+當(dāng)+1%一%+1%+1

故心』

y?+iyn13M版I

|%+1（無(wú)田氏+「xj1民+小%+1—％]

民?(陷+|刈|%+「%|

<

_〃_n

ZX+iT（弧+園陌先+「為|（竭,

因此4+14

1<）=1+k=l工

k=T%+l%

所以凡是有界變差數(shù)列.

b?J

1

對(duì)于③，易知。設(shè)z“=二，則%%=—,且Z"NZ]>0,

%Z“

由前面結(jié)論知是有界變差數(shù)列，即｛%%｝是“有界變差數(shù)列”，故正確③;

對(duì)于④，因?yàn)椋?2〃，所以%?%>0,

所以是有界變差數(shù)列，故④正確.

故所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3.

故選:C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③④，先證明若｛%｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且以2%>0,則Z是有界

變差數(shù)列.

6.C

【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列求出第w個(gè)半衰期結(jié)束時(shí)碳14含量為

【詳解】設(shè)第〃個(gè)半衰期結(jié)束時(shí)，碳14含量為%,

由題意可得，第一個(gè)半衰期結(jié)束時(shí)，碳14含量為q=g,第二個(gè)半衰期結(jié)束時(shí)，碳14含量為%=；，

以此類推，｛4｝為以首項(xiàng)4=1,公比為q=g的等比數(shù)列，

所以這塊化石距今約為57305730x6.64=38047.2年，即約為4萬(wàn)年.

故選：C.

7.A

【分析】結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)判斷"0<”卜和"S”單調(diào)遞增，，之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由題意可知｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，

當(dāng)4>0,0<q<l時(shí)，則S“y’),

由于且q"隨〃的增大而減小，故S“單調(diào)遞增,

當(dāng)q>。，q=l時(shí)，S"="q也單調(diào)遞增，推不出0<夕<1,

故"0<q<1”是“S“單調(diào)遞增”的充分而不必要條件,

故選：A

【分析】觀察等比數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此確定第7項(xiàng).

【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為｛可｝,數(shù)列｛%｝的公比為4,

由已知，〃1=;,%=-1,

所以鄉(xiāng)=-2,

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為4=gx(-2廣，

所以%=；、(一2)6=32.

故選：A.

9.C

【分析】設(shè)公比，將等式運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求出心再代入通項(xiàng)公式即可求得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,由32%=318可知g/l(否則320%=155%不成立),

1-/7101-/751

貝U有32xj-=31x1化簡(jiǎn)得，32(1+1)=31,解得，q=~,

1-q1-q2

于是，％="4=_(-g)5=g

故選：c.

10.A

【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以/%=%%=1x4=4.

故選：A.

11.D

【分析】利用作差法及等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到邑,+2-邑，＜0,即可判斷C、D,利用特殊值判斷A、B.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S”，公比為4,顯然4彳0,

右$2＜。，即4+＜。，所以$2“+2—S2n=%”+2+。2"+1=(4+%)q＜0,

所以｛5筋｝是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤、D正確；

若％=1,q=-2,貝ijan=(—2)，滿足％+%=—1＜。，

但是“-SLaLlxH)"'則電｝不具有單調(diào)性，故A、B錯(cuò)誤.

故選：D.

12.B

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列l(wèi),a,6,G9是等比數(shù)列，

所以＞2=1x9,解得6=3或b=-3,

當(dāng)6=—3時(shí)，不滿足卜人二",故舍去；

當(dāng)6=3時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以6=3.

故選：B

13.C

【分析】由已知。31=。4?81=1可得A正確；由已知遞推關(guān)系化簡(jiǎn)

“2024-。2創(chuàng)012-%012-。2506-0506-026253-。253-。464-31可得B正確；由已知遞推關(guān)系息結(jié)數(shù)列的規(guī)律,

再用反證法得到C錯(cuò)誤；由已知遞推關(guān)系找到前〃項(xiàng)和的規(guī)律再結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和可得D正確.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槿?一1=1，所以％=。4?81=1，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)??3=-1，%,=%，

所以。2024="2創(chuàng)012="1012="2506=0506="2倉(cāng)253="253=0464-3二一1,故B正確；

對(duì)于C,由%一3=-1可得％=%=%=…=-1，

由=1可得。3=%=?11='--=1，

由a2n=%可得4=。2=“4=°8=。10=…=-1，

而生=%=%2=a24=…=1,所以W0,

設(shè)存在非零常數(shù)T,W/eN*,使得。5=。.，

貝！JO-T+T=%■=2%=>%=0,矛盾,

所以不存在非零常數(shù)T,VweN*,使得a“+r=a"，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃=1時(shí)，與=昆=4+。2=-1+（-1）=-2,

當(dāng)a=2時(shí)，=5'4=fl1+fl2+<23+a;4=—1—1+1—1=—2,

即"=2時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)%+4的和為零，

即有接下來(lái)22T=2個(gè)項(xiàng)和為零；

當(dāng)〃=3時(shí)，

S聽(tīng)—S?=〃]+%+/+。4+%+。6+47+。8=—1—1+1—1—1+1+1—1——2,

即”=3時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)％+。4的和與相鄰四項(xiàng)。5+。6+%+”8為零，

即有接下來(lái)2^+2*=6個(gè)項(xiàng)和為零；

L

當(dāng)”22時(shí)，?4?-3+?4?-2+?4?-1+?4?=?4?-2+?4?=°，

所以S”=q+g+%■<---F%=-2+0=-2,故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)關(guān)鍵在于能理解邑”=-2的意義，即表示數(shù)列中前兩項(xiàng)和—2為外的3到

4項(xiàng)，5到8項(xiàng)，9到16項(xiàng)和分別為零.

14.D

【分析】賦值可得。.+1=4+。。.=?！?9，然后分c=l,cwl討論可得%=2”,然后逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的正整數(shù)加，〃等式4“+”=為+或”成立，%=2,

所以a?+l=+can,*=am+c%,

所以=4+組,,整理得=（。-1）勾=2（c—l）,

若crl,則?！?2為常數(shù)列，又CK。,此時(shí)不滿足。M+.naa+ca”；

若c=l，則有?！?1=?！?2,即a,,”-4=2,

此時(shí)數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以%=2n.

對(duì)于A,滿足條件的數(shù)列只有一個(gè)：%=2〃，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a?=2n,數(shù)列單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a?=2n,該數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)。"=2〃時(shí)，顯然存在正整數(shù)N,當(dāng)">N時(shí)，an>2024,D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于通過(guò)賦值得?！?=4+。?！?%+9，然后分c=l,cwl即可求

出通項(xiàng)，然后可解.

15.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列遞增數(shù)列分類得出4〈。,1)4>?；?>。，。>1,｛5“｝遞增得出%>0,最后根據(jù)既不充分

也不必要條件判斷即可.

【詳解】｛?｝是等比數(shù)列是遞增數(shù)列，則4(0」〉q>0或4>0應(yīng)>1,

｛sn｝是遞增數(shù)列,s.-/]=an=M>0,即得q>0,4>0；

“｛%｝是等比數(shù)列是遞增數(shù)列”是“｛5“｝是遞增數(shù)列”既不充分也不必要條件.

故選：D.

16.C

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,根據(jù)已知條件求出q的值，進(jìn)而可得出的=*的值.

q

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,則4*=gIXJ=?3=8,解得q=2,

因此，的=今=||=2.

故選：C.

17.D

【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公比%進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為4,

若%=-1,%=8,則有^=上=-8,解得q=-2,

ax

故=%,/=-64,

故選：D.

18.0

&+1+1

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義得到行二行,然后利用己知項(xiàng)的值即可得到結(jié)果.

%+1%+1〃4+1%+1%+14+1

【詳解】由｛4+1｝是等比數(shù)列，知

%+1%+1%+12+1。］+14+1

所以。5=%+iT=d(4+1)-1=亍￡(%+1)-1=￡|，(1+1)-1=°.

故答案為：0.

19.2"-?-1

【分析】將q+%+…+%化為(％+1)+(%+1)+…+(??+!)-?，然后利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?0,所以％+1=1,

因?yàn)閿?shù)列｛4+1｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以4+。2U---卜4

—(4+1)+(%+1)+???++1)—〃

1—2〃

=X-n-\.

故答案為：2n-n-l

20.483x[g]

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，尋找規(guī)律，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】由題知，下個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖形的;，邊數(shù)是上一個(gè)圖形4倍,

因?yàn)榈?個(gè)圖形的邊數(shù)3,所以第2個(gè)圖形的邊數(shù)12,第3個(gè)圖形的邊數(shù)48.

設(shè)第〃個(gè)圖形的周長(zhǎng)為或，則周長(zhǎng)之間的關(guān)系為a=；x46,i("W2),

n-1

所以數(shù)列｛〃｝是首先為3,公比為g的等比數(shù)列，所以ba=3x4

n-1

4

故答案為：48；3x

21.8—/0.015625

64

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得4,4,進(jìn)而可得”“，的，令3,運(yùn)算求解即可得】的最小

值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4>0,

_^2_1_1

由題意可得："3==2解得“蔡,

4c

a5=axq=2q=2

可得巴=：x2i=2i,所以％=23=8；

o

令為=21之1,解得讓4,

所以T〃的最小值為（=T4=a[a2a3=^x^-x^-=-^~,

84264

故答案為：8；.

64

22.43或4

[a,-a.=16fa=2

【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求。2=4,又S3=14,可得廣3解得廣或

[%+〃3=lU=X

即可求得出，分類討論可求q的值，即可求解數(shù)列的各項(xiàng)，即可求解.

【詳解】等比數(shù)列｛?！埃校?>0；由％9=16=蠟，所以出=4,又邑=14,

q=16

所以解得

q+/=1°

%=;時(shí),

若可得q=2,貝甩二qq=2x2=4,

%二X

且q,%…，4的值為2,4,8,16,…，可知數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且各項(xiàng)均大于1,

所以不會(huì)存在%使得ai,g'-rano的乘積最大（舍去）;

俑=811

若1時(shí)，可得q=7，貝U%=8x==4,

%=222

且《,。2,…’“為的值為8,4,2,1,小了，…，

24

可知數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，從第5項(xiàng)起各項(xiàng)小于1且為正數(shù),

前4項(xiàng)均為正數(shù)且大于等于1,

所以存在%=3或9=4,使得8x4x2xl的乘積最大，

綜上，可得％的一個(gè)可能值是3或4.

故答案為：4；3或4

23.⑴數(shù)列｛%｝是“P數(shù)列”；數(shù)列也｝不是“尸數(shù)列”；

⑵。，6]

⑶屐=3"一或。"=4”一

【分析】（1）直接根據(jù)“P數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）由｛%｝是等差數(shù)列結(jié)合（??）是“P數(shù)列”可知公差d>l,結(jié)合等差數(shù)列求和公式用含d的式子表示

S”,進(jìn)一步結(jié)合S“<3/+2〃恒成立即可求解；

（3）由“P數(shù)列”｛%｝的每一項(xiàng)"Q均為正整數(shù)，可得且qeN*,進(jìn)一步可得。用-%單調(diào)遞

增,故將任意性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為4-%，a-偽與1比較大小關(guān)系可得q的范圍，結(jié)合qeN*,4=3或q=4,注

意此時(shí)我們還要分情況驗(yàn)證｛%｝是否是“P數(shù)列”，從而即可得解.

【詳解】（1）對(duì)于數(shù)列｛%｝而言，若見(jiàn)=2〃一1,貝|%+|-4=2〃+1-（2〃—1）=2>：1,

所以數(shù)列｛%｝是“P數(shù)列”；

對(duì)于數(shù)列也｝而言，若切=2"、貝屹一仿=2—1=1,則數(shù)列也｝不是“尸數(shù)列”;

（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列｛?！埃恰笆瑪?shù)列”，所以其公差d>l.

因?yàn)?=2,所以S,=2〃+風(fēng)口”，

2

由題意，得2〃+山工1<3/+2〃對(duì)任意的“eN*恒成立，

2

即（〃-1”<6n對(duì)任意的、三N*恒成立.

當(dāng)”=1時(shí)，恒成立，故4>1；

當(dāng)”22時(shí)，（"-1”<6〃對(duì)任意的〃€可恒成立，即

d<笆對(duì)任意的〃eN*恒成立，

n-l

因?yàn)?"=6+6>6,所以d<6.

n—in—1

所以d的取值范圍是（L6].

（3）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,因?yàn)?=1,所以?！?gi,

因?yàn)椤癙數(shù)列”｛%｝的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，由%+i-?！?gt;1得%+1>%,

所以4>1且qeN*,

因?yàn)閍.+i-a,=g"T（gT）>o,

所以""「%=g>L所以見(jiàn)+「a”單調(diào)遞增，

aa

n+l-n

所以在數(shù)列中，“出-4”為最小項(xiàng)，

而白普,從而在數(shù)列也「2｝中，飛-正土皆■”為最小項(xiàng).

因?yàn)椋?｝是“P數(shù)列”，貝IJ只需所以4>2,

因?yàn)閿?shù)列電｝不是“尸數(shù)列”，則—瓦=*-產(chǎn)1，所以”4,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，即qeN*,所以4=3或4=4,

（1）當(dāng)4=3時(shí)，瓢=3"一，則G3"

n

人八3"i3"2"—1

令3=°"+「呢==？一T=3?麗而，

__〃+12-+1_q〃2"1_3.4/+2

又"-3++?麗旬-前「呼+2)°’

所以｛9｝為遞增數(shù)列，

93

XDj=c2-C1=--3=->1,

所以對(duì)于任意的weN*,都有?！?gt;1,BPc?+1-c?>l,

所以數(shù)列｛g｝為“尸數(shù)列”，符合題意.

(2)同理可知，當(dāng)4=4時(shí)，。"=4"、則qd,

入n4"+14”3/7-1

4O?=C;1+1-C?=---=4

(+13"+23?-1

乂%+iy-r，5+1)(〃+2)一".而可一小+2尸，

所以｛2｝為遞增數(shù)列，

又Z)i=c2-q=8-4=4>1,

所以對(duì)于任意的〃eN*，都有2>1,即c.+「c”>l,

所以數(shù)列｛%｝為“P數(shù)列”，符合題意.

綜上，電=3"一或%=4。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是首先將恒成立任意性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為%優(yōu)-仇與1比較大小得出4

的值，回過(guò)頭去檢驗(yàn)g是否滿足題意即可順利得解.

24.(1)數(shù)列｛%｝是“速增數(shù)列”，理由見(jiàn)解析

(2)63

【分析】(1)根據(jù)“速增數(shù)列”的定義判斷即可；

⑵根據(jù)數(shù)列也｝為“速增數(shù)列"，得％=20242多少可得的答案

【詳解】(1)數(shù)列｛%｝是“速增數(shù)列”，理由如下：

由",=3"-1,則*一。用=3向一3"=2x3”,

"a"—*"

2

因?yàn)?x3">2x3"T=§x3",故見(jiàn)+2-%+i>。用一見(jiàn)，

所以數(shù)列｛%｝是“速增數(shù)列”；

(2)數(shù)列也｝為“速增數(shù)列”，偽=1,b2=3,bk=2024,

任意項(xiàng)acZ(〃cN*),

壯2時(shí),bk=2024=(4-%)+(%-4_2)+?“+。2-偽)+偽

。3+4一1+???+3+2+1,

口門左（左+1）

即2024>-^——L,keZ,

2

當(dāng)左時(shí)，無(wú)化+）

=631=2016,當(dāng)上=64時(shí)，"四+1）=2080,

22

故正整數(shù)人的最大值為63.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“速增數(shù)列”的定義,緊緊圍繞不等式4+2-4用進(jìn)行,當(dāng)人2時(shí),利

用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.

25.（1）%=2"一

（2）-64

【分析】（1）應(yīng)用〃22M.=S“-S,i計(jì)算求解后可表示通項(xiàng)公式；

（2）先求出通項(xiàng)公式再根據(jù)通項(xiàng)判斷正負(fù)，最后應(yīng)用等差數(shù)列前“項(xiàng)和求解確定最值即可.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，H=%-1=>。2=2,

當(dāng)2時(shí),an=Sn—Sn_x=an+l-an,

所以?！?I=24=>4±L=2（"W2）,又&=2,

a?4

所以如=2,所以a“=qx2'i=2"T.

an

（2）因?yàn)榭?_S4=_%+1=_24+1=_15,d=^=2,

所以2=4+（〃—l）d=2〃—17,

因?yàn)?lt;0,n>9,bn>0,

所以T,的最小值為Ts=8（T「）=-64.

26.⑴證明見(jiàn)解析

（2）6

【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法，求出基本量，從而求得｛%｝通項(xiàng)公式，再求得｛2｝通項(xiàng)公式，從而

得證.

（2）從二次函數(shù)的角度理解，求得S”的最大值.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為必

:數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，且為>。，則夕>。，

2

4,&=可=4,；.%=2,a3=<71,q=2

nx4

又%=8,q=；,/.an=al-q~=2一"

=log2a?=4-M

?*.bn+l-bn=[4-H+1]-(4-M)=-l

，數(shù)列{2}是等差數(shù)列，首項(xiàng)4=3,公差d=-L.

(2)由⑴知,bn=4-n

_n{bx+bn)_17

?一一〃T〃,

"222

7

對(duì)稱軸w=],又〃eN*，所以〃取3或4

；.〃=3或4時(shí)，S"最大，最大值為6.

27.（1）。“=2〃+2

（2）勿=2-3力，=〃5+3）+3"-1

【分析】（1）設(shè)出首項(xiàng)和公差，建立方程求解基本量，求出通項(xiàng)公式即可.

（2）條件①利用數(shù)列前〃項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系求出么=2-3鵬，再利用分組求和法求和即可，條件②利

用等比數(shù)列的定義求出勿=2-3”T,再利用分組求和法求和即可，條件③設(shè)出首項(xiàng)和公比，求出

b?=2-y-',再利用分組求和法求和即可.

【詳解】（1）已知等差數(shù)列｛4｝中，滿足%=1。，$3=18.

設(shè)首項(xiàng)為q,公差為d,

%=%+3d=10〃i=4

得到,解得

S3=3%+3d=18d=2

an=2〃+2

(2)選條件①

?.?[=3"-1.，當(dāng)“=1時(shí)，b}=3-1=2,

當(dāng)〃22時(shí),b.=T「Tn_\=(3"-l)-(3"-1-l)=2-3力,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2-3°=2,.?.2=2-3”一

?.如一2r=3

,bn-2.3"廠，

??.{2}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

1

設(shè)%=an+bn=(2n+2)+2-3-的前n項(xiàng)和為，

=4+2-30+6+2-3+8+2-32+---+(2n+2)+2-3"-1

=(4+6+8+…+2〃+2)+2(30+3+32+33+...+3"T)

=44+(2.+2)]+2X13：=H_L

21-3

選條件②

b

,.?〃=2,，=3,二.{2}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

2=2?3"T,設(shè)%=凡+bn=(2n+2)+2?的前〃項(xiàng)和為Mn,

=4+2-3°+6+2-3+8+2-32+---+(271+2)+2-3"-1

=(4+6+8+...+2n+2)+2(3°+3+32+33+---+3"-1)

n[4+(2n+2)l1-3〃

=-1-------^+2x——=n(n+3)+3n-l.

21-3

選條件③

\/7止2且“€2都有片=21為用成立，.?.｛2｝是等比數(shù)列，且設(shè)公比為4,

伍=2

b,=2,仄=S3,,

[b3=S3=bxq"=18

q2=9,q=±3(負(fù)根舍去)，

???｛2｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

么=2?3力，設(shè)c“=凡+bn=(2n+2)+2?的前〃項(xiàng)和為Mn,

=4+2-30+6+2-3+8+2-32+...+(2n+2)+2-3"-1

=(4+6+8+.?-+2n+2)+2(3°+3+32+33+---+3"-1)

_W[4+(2w+2)]1-3"

—i乙人—rl\rlrJ)iJ1?

21-3

28.⑴數(shù)集｛124｝具有性質(zhì)p,｛1,3,5,7｝不具有性質(zhì)尸,理由見(jiàn)解析

(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)P的定義帶入數(shù)值判斷即可；

(2)①根據(jù)題意分析可得4=&=%,即可得結(jié)果；②采用構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方法構(gòu)造一個(gè)新的相等的集合,

Cl?

對(duì)其元素進(jìn)行排序后對(duì)應(yīng)相等可解.

【詳解】⑴數(shù)集｛124｝具有性質(zhì)產(chǎn)，｛1,3,5,7｝不具有性質(zhì)尸，理由如下：

因?yàn)?x1,1x2,1x4,2x2,(都屬于數(shù)集｛1,2,4｝,所以｛1,2,4｝具有性質(zhì)產(chǎn)；

因?yàn)?x5,g都不屬于數(shù)集｛1,3,5,7｝,所以｛135,7｝不具有性質(zhì)尸.

(2)①當(dāng)〃=3時(shí)，A=｛q,%,%｝,1＜生＜。2＜。3.

因?yàn)?＜生＜。3，所以。2。3＞。3，。3。3＞。3，所以〃2。3與。3。3都不屬于A，

因此4_wA,-=1eA,所以〃=1.

a2a3

因?yàn)榍?￡4,所以￡二〃2,

且”=。2,所以”二&=。2,所以成等比數(shù)列.

②因?yàn)锳=｛%,%,…,凡｝具有性質(zhì)P,所以"至少有一個(gè)屬于A,

因?yàn)?<％<。2<一，<?！埃?%>為，????A,因止匕,=leA,q=l.

an

因?yàn)?=%<〃2，所以(左=2,3,4,…幾)，

故當(dāng)左22時(shí)，akanA,—A,(%=2,3,4,???〃)，

又因?yàn)?>”>區(qū)>..?>&>A

4“2”3%-1Q〃