《教無憂》2026屆高三高考總復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)(人教a版)第四章三角函數(shù)、解三角形第11節(jié)三角函數(shù)模型及解三角形的實(shí)際應(yīng)用

第11節(jié)三角函數(shù)模型及解三角形的實(shí)際應(yīng)用課標(biāo)要求1.會(huì)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題,體會(huì)利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)以及方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.【知識(shí)梳理】1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.4.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.不要搞錯(cuò)各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系,從而應(yīng)用正、余弦定理求解.【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.()(2)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為0,π2.((4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是用來確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)α=β;(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.2.(人教A必修二P51T3改編)如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°方向,燈塔B在觀察站南偏東60°方向,則燈塔A在燈塔B()A.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向答案D解析由題可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.3.(人教A必修二P49例10改編)如圖所示,為測量某樹的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測得樹尖P的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)之間的距離為60m,則樹的高度為()A.(303+30)m B.(153+30)mC.(303+15)m D.(153+15)m答案A解析在△ABP中,∠APB=45°-30°=15°,所以sin∠APB=sin15°=22×32-22×1由正弦定理得PB=ABsin30°sin∠=30(6+2)m,所以該樹的高度為30(6+2)sin45°=(303+30)m.4.(蘇教必修二P108T10改編)如圖,在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度,工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A,B到點(diǎn)C的距離AC=BC=1km,且C=120°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為km.

答案3解析在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理ABsinC=得AB=BCsinCsinA=2×1×3考點(diǎn)一三角函數(shù)模型例1(多選)如圖所示,一半徑為4米的水輪,水輪圓心O距離水面2米,已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí),則()A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí),點(diǎn)P距離水面2米C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí),點(diǎn)P在水面下方,距離水面2米D.點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h=4cosπ30答案ABC解析設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h(米)和時(shí)間t(秒)的函數(shù)解析式為h=Asin(ωt+φ)+BA>0,由題意得h解得A故h=4sinπ30t-π6+2=-4cosπ30對(duì)于A,令h=6,即h=4sinπ30t解得t=20,故A正確;對(duì)于B,令t=155,代入h=4sinπ30t解得h=2,故B正確;對(duì)于C,令t=50,代入h=4sinπ30t解得h=-2,故C正確.思維建模三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題;二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題.訓(xùn)練1(多選)(2024·河南名校調(diào)研)錢塘江出現(xiàn)過罕見潮景“魚鱗潮”.“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮,一股是波狀涌潮,另外一股是破碎的涌潮,兩者相遇交叉就會(huì)形成像魚鱗一樣的涌潮.若波狀涌潮的圖象近似函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A,ω∈N*,φ<π3的圖象,而破碎的涌潮的圖象近似f'(x)的圖象.已知當(dāng)x=2π時(shí),A.ω=2B.fπ3=6+C.f'x-D.f'(x)在區(qū)間-π答案BC解析因?yàn)閒(x)=Asin(ωx+φ),所以f'(x)=Aωcos(ωx+φ).因?yàn)楫?dāng)x=2π時(shí),兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn),所以Asin(2ωπ+φ)=Aωcos(2ωπ+φ),因?yàn)锳∈N*,所以tan(2ωπ+φ)=ω,因?yàn)棣亍蔔*,所以tan(2ωπ+φ)=tanφ=ω,因?yàn)閨φ|<π3所以-3<tanφ<3,即-3<ω<3,又ω∈N*,所以ω=1,A錯(cuò)誤.因?yàn)閠anφ=1,所以φ=π4因?yàn)槠扑榈挠砍钡牟ü葹?4,所以Aω=4,所以A=4,所以f(x)=4sinx+π4,f'(xfπ3=4sinπ3+π4=4sinπ3cosf'x-π4=4cosx-所以f'x-π4是偶函數(shù),當(dāng)x∈-π3,0時(shí),x+π所以f'(x)在-π3,0上不單調(diào),考點(diǎn)二解三角形應(yīng)用舉例角度1測量距離問題例2(2025·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A,B兩座炮臺(tái),A在B的正東方.某次演習(xí)時(shí),A向北偏西π2-θ方向發(fā)射炮彈,B向北偏東π2-θ的方向發(fā)射炮彈,其中θ為銳角,觀測回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo),接著A改向向北偏西π2-θ2方向發(fā)射炮彈,彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)M,則B炮臺(tái)與彈著點(diǎn)MA.7公里 B.8公里C.9公里 D.10公里答案D解析設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為C,根據(jù)題意畫出示意圖,如圖.由題意知AC=BC=18公里,AB=14公里,AM=18公里,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△ACD中,cos∠CAB=cosθ=718則cosθ2=1+cosθ在△ABM中,由余弦定理得BM=A=142+即B炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的距離為10公里.角度2測量高度問題例3(2025·上饒調(diào)研)矗立在上饒市市民公園(如圖1)的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意,也象征著上饒四省通衢,連南接北,通江達(dá)海,包容八方.如圖2,某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測量其高度,在和它底部O位于同一水平高度的共線三點(diǎn)A,B,C處測得銅雕頂端P處的仰角分別為π6,π4,π3,且AB=BC=20m,則四門通天的高度為A.156m B.106m C.66m D.56m答案B解析設(shè)OP=h,則OA=3h,OB=h,OC=33h在△ABO中,由余弦定理的推論得cos∠ABO=400+h2-3在△BCO中,由余弦定理的推論得cos∠OBC=400+h2-因?yàn)椤螦BO+∠OBC=π,所以400-2h240h即800-43h2=0,解得h=106所以四門通天的高度為106m.角度3測量角度問題例4已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?參考數(shù)據(jù)解如圖,設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn),緝私艇的速度為每小時(shí)x海里,則BC=0.5x,AC=5,依題意,AB=3,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=5×所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.思維建模解三角形應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件,作為某個(gè)三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形,得到實(shí)際問題的解.訓(xùn)練2(1)為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè),如圖,在某市地面有四個(gè)5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在某江的南岸,距離為103km;基站A,B在江的北岸,測得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,則基站A,B的距離為()A.106km B.30(3-1)kmC.30(2-1)km D.105km答案D解析在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACB=75°,∠ACD=120°,所以∠BCD=45°,∠CAD=30°,∠ADC=∠CAD=30°,所以AC=CD=103,在△BDC中,∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,由正弦定理得BC=103sin75°sin60°=52在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(103)2+(52+56)2-2×103×(52+56)cos75°=500,所以AB=105,即基站A,B之間的距離為105km.(2)(2025·岳陽質(zhì)檢)岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世,自古有“洞庭天下水,岳陽天下樓”之美譽(yù).小明為了測量岳陽樓的高度AB,他首先在C處,測得樓頂A的仰角為60°,然后沿BC方向行走22.5米至D

處,又測得樓頂A的仰角為30°,則樓高AB為米.

答案45解析由題可得∠ACB=60°,CD=22.5,∠ADB=30°,在Rt△ABC中,AC=ABsin∠ACB=2BC=12AC=33在Rt△ABD中,BD=BC+CD=33AB+22.5所以tan∠ADB=ABBD,即33=解得AB=4534,所以樓高AB為45一、單選題1.如圖所示是某彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)的部分圖象,則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.該彈簧振子的振幅為2cmB.該彈簧振子的振動(dòng)周期為1.6sC.該彈簧振子在0.2s和1.0s時(shí)振動(dòng)速度最大D.該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零答案C解析由圖象及簡諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)得,該彈簧振子的振幅為2cm,振動(dòng)周期為2×(1.0-0.2)=1.6s.當(dāng)t=0.2s或1.0s時(shí),振動(dòng)速度為零,該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零.A,B,D正確,C錯(cuò)誤.2.在相距2km的A,B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為()A.6km B.2km C.3km D.2km答案A解析如圖,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴ACsin60°=2∴AC=22×32=63.(2025·湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度,在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D,如圖,現(xiàn)測得∠BCD=45°,∠BDC=105°,CD=100米,在點(diǎn)C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB=28°,則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.4,6≈2.4,tan28°≈0.53)()A.91米 B.101米C.111米 D.121米答案B解析由題知∠CBD=30°,在△BCD中,CDsin∠CBD=因?yàn)閟in∠BDC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+所以BC=CDsin∠BDC=50(6+2),AB=BCtan∠ACB=50(6+2)×tan28°≈101(米).4.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置如圖①所示.由物理學(xué)知識(shí)可知,某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為簡諧運(yùn)動(dòng),其離開平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如圖②,若該阻尼器的擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=5,則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為()A.13s B.23C.1s D.43答案C解析因?yàn)閠1+t2=2,t2+t3=5,t3-t1=T,所以T=3.又T=2πω,所以ω=2π3,則y=sin由y>0.5可得sin2π3t所以2kπ+π6<2π3t+φ<5π6+2kπ,k解得3k+14-32πφ<t<54-32πφ+3k,故3k+54所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.5.(2025·南京模擬)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖①,傘不管是張開還是收攏,傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角,即∠BAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖②,傘完全收攏時(shí),傘圈D已滑動(dòng)到D'的位置,且A,B,D'三點(diǎn)共線,AD'=40cm,B為AD'的中點(diǎn),當(dāng)傘從完全張開到完全收攏,傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm,則當(dāng)傘完全張開時(shí),∠BAC的余弦值是()A.-1725 B.-4C.-35 D.-答案A解析依題意可知,當(dāng)傘完全張開時(shí),AD=40-24=16(cm),因?yàn)锽為AD'的中點(diǎn),所以AB=AC=BD=12AD'在△ABD中,cos∠BAD=AB2+AD所以cos∠BAC=cos2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×252-1=-6.(2025·江西聯(lián)考)《孔雀東南飛》中寫道“十三能織素,十四學(xué)裁衣,十五彈箜篌,十六誦詩書”.箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長,音域?qū)拸V、音色柔美清澈,表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種形制,對(duì)其進(jìn)行繪制,發(fā)現(xiàn)其近似一扇形,在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A,B處分別作切線相交于點(diǎn)C,測得切線AC=99.9cm,BC=100.1cm,AB=180cm,根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為()A.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62答案A解析如圖,由題意可知∠OAC=∠OBC=90°,所以∠AOB+∠ACB=180°.因?yàn)榍芯€AC=99.9cm,BC=100.1cm,根據(jù)切線長定理,不妨取AC=BC=100cm,又AB=180cm,由余弦定理的推論得cos∠ACB=A=1002+1002所以cos∠AOB=cos(180°-∠ACB)=-cos∠ACB=0.62.7.某班課外學(xué)習(xí)小組利用“鏡面反射法”來測量學(xué)校內(nèi)建筑物的高度.步驟如下:①將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?測量出人與鏡子的距離;②將鏡子后移,重復(fù)①中的操作;③求建筑物高度.如圖所示,前后兩次人與鏡子的距離分別為a1m,a2m(a2>a1),兩次觀測時(shí)鏡子間的距離為am,人的“眼高”為hm,則建筑物的高度為()A.aha2-a1C.(a2-a1)答案A解析設(shè)建筑物的高度為x,如圖所示,由△HGF∽△DEF,得HGDE=GFEF?EF=DE·GFHG由△ABC∽△DEC,得ABDE=BCEC?hx所以ah+xa1=xa2,即x(a2-a1)=ah,解得x=aha8.如圖,為了測量某濕地A,B兩點(diǎn)間的距離,觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C,D,E.從D點(diǎn)測得∠ADC=67.5°,從C點(diǎn)測得∠ACD=45°,∠BCE=75°,從E點(diǎn)測得∠BEC=60°.若測得DC=23,CE=2(單位:百米),則A,B兩點(diǎn)間的距離為()A.6百米 B.22百米C.3百米 D.23百米答案C解析根據(jù)題意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,則∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=23.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=2,則∠EBC=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得CEsin∠EBC=則BC=CE·sin∠BECsin∠EBC=在△ABC中,AC=23,BC=3,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,則AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,則AB=3(百米).二、多選題9.(2025·廣州調(diào)研)水車是進(jìn)行灌溉引水的工具,是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明.如圖是一個(gè)半徑為R的水車,一個(gè)水斗從點(diǎn)A(1,-3)出發(fā),沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過t秒后,水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,φA.φ=πB.當(dāng)t∈[0,2]時(shí),函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞增C.當(dāng)t∈[3,5]時(shí),函數(shù)最小值為-2D.當(dāng)t=9時(shí),PA=4答案BD解析因?yàn)镽=12+(-3)2=2得ω=π3,所以f(t)=2sinπf(0)=2sinφ=-3,sinφ=-32由于|φ|<π2所以φ=-π3,f(t)=2sinπ3t-若0≤t≤2,則-π3≤π3t-π3又y=sinx在區(qū)間-π3所以f(t)在[0,2]上單調(diào)遞增,B正確;若3≤t≤5,則2π3≤π3t-π3所以當(dāng)π3t-π3=4π3時(shí),f(t為2×-32=-3,C當(dāng)t=9時(shí),f(9)=2sin3π-π3=2sinπ3=3,22-(3)2=1,所以PA=(-1-1)2+(3+10.某貨輪在A處測得燈塔B在北偏東75°方向,距離為126nmile,測得燈塔C在北偏西30°方向,距離為83nmile.貨輪由A處向正北方向航行到D處時(shí),測得燈塔B在南偏東60°方向,則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°方向D.D處在燈塔B的北偏西30°方向答案AC解析如圖,由題意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AB=126nmile,AC=83nmile,所以B=180°-60°-75°=45°,在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=所以AD=AB·sinBsin∠ADB=126×22在△ACD中,由余弦定理得CD=A=(8=83(nmile),故B錯(cuò)誤;由B項(xiàng)解析知CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以燈塔C在D處的南偏西30°方向,故C正確;由∠ADB=60°,得D處在燈塔B的北偏西60°方向,故D錯(cuò)誤.11.(2024·重慶模擬)解放碑是重慶的地標(biāo)性建筑,眾多游客來此打卡拍照.現(xiàn)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)解放碑的高度進(jìn)行測量,并繪制出測量方案示意圖(如圖所示),A為解放碑的最頂端,B為基座(即B在A的正下方),在步行街上(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測得CD的長為100m.小組成員利用測角儀已測得∠ACB=π6,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù),能計(jì)算出解放碑高度AB的是(A.∠BCD,∠BDC B.∠ACD,∠ADCC.∠BCD,∠ACD D.∠BCD,∠ADC答案ABD解析對(duì)于A,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠BCD,∠BDC,在△BCD中,由正弦定理求得CB,從而求得AB,故A正確對(duì)于B,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠ACD,∠ADC,在△ACD中,由正弦定理求得AC,從而求得AB,故B正確對(duì)于C,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠BCD,∠ACD四個(gè)條件,無法通過解三角形求得AB,故C錯(cuò)誤對(duì)于D,由∠ACB,∠BCD借助直角三角形和余弦定理,用AB表示出CB,BD,AC,AD,然后結(jié)合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列方程,解方程求得AB,故D正確.三、填空題12.(2025·武漢質(zhì)檢)中華人民共和國國歌有84個(gè)字,37小節(jié),奏唱大約需要46s,某校周一舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為102m,如圖所示,旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上,要使國歌結(jié)束時(shí)國旗剛好升到旗桿頂部,升旗手升旗的速度約為m/s.

答案5解析依題意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC=180°-45°-105°=30°.在△AEC中,由正弦定理知CEsin∠EAC=所以AC=102sin30°×sin所以在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=20×32=103因?yàn)閲熳喑蠹s需要46s,所以升旗手升旗的速度約為10346=513.(2025·湘豫名校診斷)一場大雨過后,某市上空出現(xiàn)了圓弧形狀的彩虹,某研究小組欲測量人們?cè)诘孛婵捎^察到的該彩虹(最外環(huán))的弧長,已知彩虹所在圓面垂直于水平面,示意圖如圖所示,彩虹最高點(diǎn)為A,EF為彩虹所在圓面與水平面BCD的交線,點(diǎn)B為EF的中點(diǎn),若在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°,在點(diǎn)D處測得點(diǎn)A的仰角為30°,并測得∠BCD=120°,CD=600m,EF=12003m,則彩虹()所在圓的半徑為m,彩虹()的長度為m.

答案1200800π解析由題意知AB⊥平面BCD,則點(diǎn)A到平面BCD的距離即為AB的長度,設(shè)BC=xm,則AB=xm,故BD=3xm.在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即3x2=x2+6002-2×600x×cos120°,整理得x2-300x-180000=0,解得x=-300(舍去)或x=600.BF=12EF=6003m設(shè)圓弧所在圓的半徑為Rm,如圖,圓心為O,則(R-600)2+BF2=R2,所以R=1200m,所以∠EOF=2π3故彩虹()的長度為2π3×1200=800π(m).14.如圖,某湖有一半徑為100m的半圓形岸邊,現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測中心(大小忽略不計(jì)),在其正東方向相距200m的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備.為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確,在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備,且滿足AB=AC,∠BAC=90°.定義:四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測覆蓋區(qū)域”.設(shè)∠AOB=θ,則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為m2.

答案100005+25000解析在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100,OA=200,∴AB2=OB2+