《教無憂》2026屆高三高考總復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)(人教a版)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

課標(biāo)要求1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【知識梳理】1.向量的有關(guān)概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示,此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的長度(或稱模),記作|AB|.(2)零向量:長度為0的向量,記作0.(3)單位向量:長度等于1個(gè)單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,記作a∥b.規(guī)定:0與任一向量平行.(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則a-b=a+(-b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.中點(diǎn)公式的向量形式:若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn),則OP=12(OA+OB2.OA=λOB+μOC(λ,μ為實(shí)數(shù)),若點(diǎn)A,B,C共線(O不在直線BC上),則λ+μ=1.3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn):一是不僅要考慮向量的大小,更要考慮向量的方向;二是要特別注意零向量的特殊性,考慮零向量是否也滿足條件.【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a,b的方向無關(guān).()(2)若a∥b,b∥c,則a∥c.()(3)向量AB與向量CD是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí),一定有b=λa,反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b=0,則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合,也可以平行,則A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線上.2.(人教A必修二P5T3改編)(多選)下列說法錯誤的是()A.非零向量AB與BA是兩平行向量B.若a=b,b=c,則a=cC.若a與b都是單位向量,則a=bD.若兩個(gè)單位向量平行,則這兩個(gè)單位向量相等答案CD解析易知A,B正確;單位向量a與b的方向均不確定,故C錯誤;兩個(gè)單位向量平行,它們的方向可能相反,兩個(gè)向量不相等,故D錯誤.3.(蘇教必修二P47T17改編)已知a,b是兩個(gè)不共線向量,向量b-ta與12a-32b共線,則實(shí)數(shù)t=答案1解析由題意知,存在實(shí)數(shù)λ,使得b-ta=λ12則t=-12λ,4.(北師大必修二P89例6改編)如圖,點(diǎn)O是?ABCD外一點(diǎn),用OA,OB,OC表示OD=.

答案OA-OB+OC解析由于OD=OC+CD,因此只需將CD用OA,OB表示,而CD=BA=OA-OB,故OD=OC+CD=OC+(OA-OB)=OA-OB+OC.考點(diǎn)一平面向量的概念例1(1)(多選)下列命題正確的有()A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.零向量是唯一沒有方向的向量C.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同D.“若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且AB=DC”?“四邊形ABCD是平行四邊形”答案AD解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行,所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線,故A正確;零向量是有方向的,其方向是任意的,故B錯誤;兩個(gè)向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩個(gè)向量相等;但兩個(gè)向量相等,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn),故C錯誤;A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),AB=DC,即模相等且方向相同,即平行四邊形ABCD對邊平行且相等,反之也成立,故D正確.(2)設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使aa=bb成立的充分條件是(A.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b且|a|=|b|答案C解析因?yàn)橄蛄縜a的方向與向量a方向相同,向量bb的方向與向量b方向相同,且aa所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項(xiàng)A,B,D.當(dāng)a=2b時(shí),aa=2b|故a=2b是aa=bb思維建模平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與aa的關(guān)系:aa是與a訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A.向量AB的長度與向量BA的長度相等B.向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反C.a與b同向,且|a|>|b|,則a>bD.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量,一定是共線向量答案A解析對于A,向量AB與向量BA的長度相等,方向相反,故A正確;對于B,向量a與b平行,且a或b為零向量時(shí),不滿足條件,故B錯誤;對于C,因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?所以任意兩個(gè)向量都不能比較大小,故C錯誤;對于D,兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量,不一定是共線向量,故D錯誤.(2)如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,則與BC相等的向量為()A.BA B.CDC.AD D.OD答案D解析A,B選項(xiàng)均與BC方向不同,C選項(xiàng)與BC長度不相等,D選項(xiàng)與BC方向相同,長度相等.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)(2025·深圳模擬)在△ABC中,D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn),E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn),則AE=()A.-23CA+13CBC.-56CA+12CB D.答案C解析如圖,由題意得CE=23CD,AD=故AE=AC+CE=AC+2=AC+23(AD-AC=13AC+23AD=-13CA+12(CB=-56CA+(2)(2025·大連雙基測試)在△ABC中,若AD=mDB,CD=13CA+λCB,則λ=(A.23 B.1C.-13 D.-答案A解析法一若AD=mDB,則AB=AD+DB=1m可得AD=m1+∴CD=CA+AD=CA+m=CA+m1+m(CB-CA)=11+結(jié)合題意,得11+m=13,m解得m=2,λ=23法二過點(diǎn)D作DM∥BC,DN∥AC,分別交AC,BC于點(diǎn)M,N,∵AD=mDB,∴點(diǎn)D在AB上,又CD=13CA+λ∴M為線段AC上靠近C的三等分點(diǎn),如圖,CD為平行四邊形CMDN的對角線,∴D為線段AB上靠近B的三等分點(diǎn),∴N為線段BC上靠近B的三等分點(diǎn),∴λ=23思維建模平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則;求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來,進(jìn)行比較,求參數(shù)的值.訓(xùn)練2(1)(2025·長沙調(diào)研)已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD=35AB+25AC,A.BD=25BC B.BDC.BD=32BC D.BD答案A解析由AD=35AB+得AB+BD=35AB+得BD=-25AB+得BD=25(-AB+AC)=2(2)(2025·西安模擬)在△ABC中,D在BC上,且BD=2DC,E在AD上,且AD=4AE.若BE=xAB+yAC,則x+y=()A.1312 B.3C.-34 D.-答案C解析因?yàn)锽D=2DC,所以BD=23則AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=1又AD=4AE,所以AE=1=112AB+則BE=AE-AB=-1112AB+又BE=xAB+yAC,所以x=-1112,y=1則x+y=-1112+16=-考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用例3(1)(2025·泰州調(diào)研)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=ke1-4e2(k∈R)共線,則()A.k=0 B.k=±2C.k=2 D.k=-2答案B解析因?yàn)閑1,e2是兩個(gè)不共線的向量,且m=-e1+ke2,n=ke1-4e2(k∈R)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ∈R,使得m=λn,則-1=kλ,k=-4則k=±2.(2)(2025·衡水調(diào)研)已知點(diǎn)O是△ABC的重心,過點(diǎn)O的直線與邊AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn),D為邊BC的中點(diǎn).若AD=xAM+yAN(x,y∈R),則x+y=()A.32 B.2C.2 D.1答案A解析如圖所示,由三角形重心的性質(zhì),可得AOAD=2所以AD=32所以32AO=xAM+y即AO=23xAM+23y易知M,O,N三點(diǎn)共線,可得23x+23y=1,所以x+y=思維建模利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線,即A,B,C三點(diǎn)共線?AB,AC共線.(3)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ為實(shí)數(shù)),若A,B,C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上),則λ+μ=1.訓(xùn)練3(1)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,OA=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,若A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2答案A解析法一因?yàn)镺A=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,所以AB=OB-OA=(4e1+ke2)-(3e1+2e2)=e1+(k-2)e2,AC=OC-OA=(5e1-4e2)-(3e1+2e2)=2e1-6e2,又A,B,C三點(diǎn)共線,所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC,即e1+(k-2)e2=λ(2e1-6e2),所以2λ=1,-6λ法二根據(jù)題意,設(shè)OA=xOB+(1-x)OC,則3e1+2e2=[4x+5(1-x)]e1+[kx-4(1-x)]e2,因?yàn)閑1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,所以4x+5(1-(2)(2025·青島調(diào)研)在△ABC中,BC=3BD,CF=2FA,E是AB的中點(diǎn),EF與AD交于點(diǎn)P.若AP=mAB+nAC(m,n∈R),則m+n=()A.37 B.4C.67答案A解析如圖所示,因?yàn)锽C=3BD,所以BD=13則AD=AB+13(AC-AB)=23AB因?yàn)锳,P,D三點(diǎn)共線,所以AP=λAD=23λAB+13λAC(λ∈因?yàn)镃F=2FA,所以AF=13因?yàn)镋是邊AB的中點(diǎn),所以AE=12因?yàn)镋,P,F三點(diǎn)共線,所以AP=kAE+(1-k)AF=12kAB+1-k3AC(k則2解得k=47,從而m=27,n=故m+n=37等和線等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理:如圖,由三點(diǎn)共線結(jié)論可知,若OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ=1,由△OAB與△OA′B′相似,必存在一個(gè)常數(shù)k,使得OP'=kOP,則OP'=kOP=kλOA+kμOB,又OP'=xOA+yOB(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立(2)平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP',OP'=λOA+μOB(λ,μ∈R),若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值);反之也成立,我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.典例給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,如圖,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是.

答案2解析法一由已知以O(shè)A為x軸的正半軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系(圖略).其中A(1,0),B-12,32,C(cosθ,其中∠則有OC=(cosθ,sinθ)=x(1,0)+y-1即x得x=33sinθ+cosθ,y=233sinx+y=33sinθ+cosθ+233=3sinθ+cosθ=2sinθ+其中0≤θ≤2π3所以(x+y)max=2,當(dāng)且僅當(dāng)θ=π3時(shí)取得

法二如圖,連接AB交OC于點(diǎn)D,設(shè)OD=tOC,由于OC=xOA+yOB,所以O(shè)D=t(xOA+yOB).因?yàn)镈,A,B三點(diǎn)在同一直線上,所以tx+ty=1,x+y=1t由于|OD|=t|OC|=t,當(dāng)OD⊥AB時(shí)t取到最小值12當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1,故1≤x+y≤2.故x+y的最大值為2.法三(等和線法)連接AB,過C作直線l∥AB,則直線l為以O(shè)A,OB為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線,顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時(shí),定值最大,因?yàn)椤螦OB=120°,所以O(shè)C1=OA+所以x+y的最大值為2.訓(xùn)練如圖,在△ABC中,H為BC上異于B,C的任一點(diǎn),M為AH的中點(diǎn),若AM=λAB+μAC,則λ+μ=.

答案1解析由等和線定理可知λ+μ=AMAH=1一、單選題1.化簡2(a-3b)-3(a+b)的結(jié)果為()A.a+4b B.-a-9bC.2a+b D.a-3b答案B解析2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b.2.下列命題中正確的是()A.|a|+|b|=|a-b|?a與b方向相反B.在△ABC中,AB+BC+CA=0C.若兩個(gè)單位向量互相平行,則這兩個(gè)單位向量相反D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向與a,b之一的方向一定相同答案B解析對于A,當(dāng)a,b之一為零向量時(shí),不成立,故A錯誤;對于B,首尾順次相接,B正確;對于C,兩個(gè)單位向量互相平行,這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等,方向相反),故C錯誤;對于D,當(dāng)a+b=0時(shí),零向量的方向是任意的,故D錯誤.3.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為()A.2e1-3e2B.3e1-2e2C.2e1+3e2D.3e1+2e2答案D解析由題意得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2=3e1+2e2.4.(2025·蘭州診斷)已知向量a,b不共線,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c與d方向相反,則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.-1或-答案B解析因?yàn)閏與d方向相反,所以存在k∈R,使得d=kc,且k<0,即a+(2x-1)b=kxa+kb,因?yàn)橄蛄縜,b不共線,則kx整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-12或x又k<0,所以x<0,故x=-125.在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),設(shè)AB=a,AC=b,則AE=()A.12a+14b B.12aC.14a+12b D.14a答案C解析法一因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),所以AE=AC+CE=AC+12CD=AC=14AB+12AC=14法二因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以AD=12又E為CD的中點(diǎn),所以AE=12(AC+AD=12b+12a=6.(2025·佛山質(zhì)檢)在△ABC中,AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段AD與BE交于點(diǎn)F,則CF=()A.13a+23b B.13aC.-13a+23b D.-13a答案B解析如圖所示,由AC=2EC,BC=2DC可得D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),由三角形中線的性質(zhì)可得AF=23又AD=12(AB+AC)=12(a+b所以AF=23×12(a+b)=13(a+因此CF=CA+AF=-b+13(a+b=13a-237.已知D為線段AB上的任意一點(diǎn),O為直線AB外一點(diǎn),A關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為C.若OD=xOB+yOC,則x-y的值為()A.-1 B.0C.1 D.2答案C解析因?yàn)锳關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為C,所以O(shè)C=-OA,又OD=xOB+yOC,所以O(shè)D=xOB-yOA,又因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以x-y=1.8.(2025·鄭州聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD的中點(diǎn),DE與BF相交于點(diǎn)G,則AG=()A.23AB+23ADC.13AB+13AD答案A解析連接BD,GC,如圖所示,由題意可知,G為△BCD的重心,設(shè)AC∩BD=O,則O為AC的中點(diǎn),A,O,G,C四點(diǎn)共線,且AO=OC=3OG,所以AG=23AC=23(AB=23AB+二、多選題9.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,則△ABC不可能是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案AD解析設(shè)D為BC的中點(diǎn),則PB+PC=2PD,由已知得|CB|=|2PD-2PA|=2|AD|,∴△ABC為直角三角形,且∠BAC為直角.10.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是()A.AC-AD=1B.|OA+2OC|=0C.OA=23CDD.AB+BC+CD+DA=0答案ABD解析對于A,AC-AD=DC=12AB,故A對于B,由題知COAO=CDAB=所以O(shè)A+2OC=0,故|OA+2OC|=0,故B正確;對于C,OA=23CA=23(CB+2CD)=23CB+4對于D,AB+BC+CD+DA=0,故D正確.11.下列命題正確的是()A.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,且AB=CD,則AB=CDB.在△ABC中,若O點(diǎn)滿足OA+OB+OC=0,則O點(diǎn)是△ABC的重心C.若a=(1,1),把a(bǔ)向右平移2個(gè)單位,得到的向量的坐標(biāo)為(3,1)D.在△ABC中,若CP=λCA|CA|+CB|CB答案BD解析對于A,如圖,A,B,C,D四點(diǎn)滿足條件,但AB≠CD,故A錯誤;對于B,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,當(dāng)OA+OB+OC=0時(shí),能得到OA=-(OB+OC),所以O(shè)A=-2OD,所以O(shè)是△ABC的重心,故B正確.對于C,向量由向量的方向和模確定,平移不改變這兩個(gè)量,故C錯誤.對于D,根據(jù)向量加法的幾何意義知,以CA|CA|,CB|CB|為鄰邊所得到的平行四邊形是菱形,點(diǎn)P在該菱形的對角線上,由菱形的對角線平分一組對角,得P點(diǎn)在∠ACB三、填空題12.在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CD|=.

答案2解析法一如圖,連接AD,BE,CF,因?yàn)檎呅蜛BCDEF由6個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成,且AB=1,所以|AD|=2,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.法二連接AD,易知AD=2,則|AB+FE+CD|=|ED+FE