有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型（北師大版）

專題2.11有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型

【北師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共36題，共六大題型，每個(gè)題型6題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)有

理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型的理解！

【題型1數(shù)列型規(guī)律探究】

1.(2023春?山東濟(jì)寧?六年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，第

2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，…依此規(guī)律，第〃個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是()

*???

????????

...?????????

?????????

?*,

①②③④

A.(3九一2)個(gè)B.(3n+2)個(gè)C.(5n+1)個(gè)D.(5n—1)個(gè)

【答案】B

【分析】觀察圖形的變化先計(jì)算出前幾個(gè)圖形的小圓的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得第〃個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù).

【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，即5=2x1+3,

第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，即8=2x2+(3+1),

第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，即ll=2x3+(3+2),

依此規(guī)律，第"個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是：2n+[3+(n-D]=3n+2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是先計(jì)算出前幾個(gè)圖形的小圓的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律.

2.(2023春?安徽滁州?七年級(jí)校考期中)某種細(xì)胞開(kāi)始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，

2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)

是()

A.253B.255C.257D.259

【答案】C

【分析】從特殊出發(fā)，歸納得到一般規(guī)律即可完成.

【詳解】解：根據(jù)題意，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，乘U3個(gè)，3=2+1；

2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，剩5個(gè)，5=22+1；

3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，剩9個(gè)，9=23+1；

n個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2〃+1,

當(dāng)〃=8時(shí)，存活個(gè)數(shù)是28+1=257.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)前幾個(gè)的情況得出一般規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.（2023春?河北保定?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示：下列各三角形中的三個(gè)數(shù)均有相同的規(guī)律，由此規(guī)律

最后一個(gè)三角形中，y的值是（）

生生簽

A.380B.382

【答案】B

【分析】根據(jù)已知圖形得出下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由4=lx2+2,

8=2x3+2,

14=3x4+2,

22=4x5+2,

得到規(guī)律：下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，

>=19x20+2=382,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出右邊數(shù)字是左邊數(shù)字與1的和，

下面數(shù)字是上面兩個(gè)數(shù)字乘積與2的和.

4.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)4表示數(shù)1,現(xiàn)將點(diǎn)4沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)4向

左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)第二次將點(diǎn)兒向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)42,第三次將點(diǎn)&向左移動(dòng)9個(gè)

單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)&，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第2021次移動(dòng)到點(diǎn)4021，那么點(diǎn)4021所表示的數(shù)

為（）

A.一3029B.-3032C.-3035D.-3038

【答案】B

【分析】從A的序號(hào)為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.

【詳解】「A表示的數(shù)為1,

；.4=1+(3)xl=2,

：.A2-2+(3)x(2)=4,

；.43=4+(3)x3=5=2+⑶，

：.A4=5+(3)x(4)=7,

：.A5=1+(3)x(5)=8=2+(3)x2,

二4。21=-2+^^x(-3)=-3032,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住序號(hào)為奇數(shù)時(shí)數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.(2023春?江西上饒?七年級(jí)?？计谥?把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：

(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),現(xiàn)用等式AM=(i，j)表

示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3,4),則A2020=()

A.(44,81)B.(44,82)C.(45,83)D.(45,84)

【答案】D

【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個(gè)數(shù)即可求解；

【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個(gè)數(shù)規(guī)律可以表示為：2nl

則1+3+5+7+…+(2nl)=]x2nxn=n2,

當(dāng)n=44時(shí)，n2—1936,

當(dāng)n=45時(shí)，n2=2025,

2020在第45組，且20201936=84,即2020為第45組的第84個(gè)數(shù)；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運(yùn)算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問(wèn)題的常用

方法；

134

6.(2023春?湖南永州?九年級(jí)?？计谥?觀察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律:7=7,72=49,7=343,7=2401,

75=16807,76=117649,.......,貝！)72020的個(gè)位數(shù)字是.

【答案】1

【分析】根據(jù)7的指數(shù)從1到5,末位數(shù)字從7,9,3,1,7進(jìn)行循環(huán)，再用2020除以4得出余數(shù)，再寫

出72。2。個(gè)位數(shù)字.

【詳解】解：t71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,上述的幾個(gè)式子，易知1次方為末

位數(shù)字是7,2次方末位數(shù)字是為9,3次方末位數(shù)字是為3,4次方末位數(shù)字是為1,5次方末位數(shù)字是為

7,

個(gè)位數(shù)字的變化是以7,9,3,1為周期，即周期為4,

2020+4=505,

；.72。2。的個(gè)位數(shù)字為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，觀察出結(jié)果個(gè)位數(shù)字的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

【題型2裂差型規(guī)律探究】

1.（2023春?浙江杭州?七年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為豹勺矩形，接著把

其中一個(gè)面積為:的矩形等分成兩個(gè)面積為：的矩形，再把其中一個(gè)面積為:的矩形等分成兩個(gè)面積為J的矩

形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形所揭示的規(guī)律計(jì)算：1+;+;+;+尚+2+2+++三=________.

24o163Z64128256

【分析】根據(jù)題意及圖形可得;=《，.…依此規(guī)律可進(jìn)行求解.

222442488

【詳解】解：由圖及題意可得：

111,111,11

-=14-,--1-——1-,--1---1-二1-，…；

222442488

依止匕規(guī)律可得：1+-+-+-+—+—+—H——4---=—■；

248163264128256256

故答案為：裂.

256

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減，關(guān)鍵是根據(jù)題意及圖形得到規(guī)律，然后進(jìn)行求解即可.

2.（2023春?福建泉州?七年級(jí)福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：的=*="（1-§；第2個(gè)等式:?2=^=|xg-J）;

第3個(gè)等式：03=備=號(hào)*@_習(xí)；第4個(gè)等式：&4=焉=|*（巳—目；

請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：的==;

（2）用含n的代數(shù)式表示第九個(gè)等式：an==（n為正整數(shù)）;

（3）求CZ]++Cl3H-----+&2018的值.

（4）求」+^+^+^+……+--—的值

5X1010X1515X2020X252015X2020

【答案】（1）,=工*0一工）；（2）--=.....—）；（3）—；（4）金

9x112\911/（2n-l）（2n+l）2\2n-l2n+lJ403710100

【分析】（1）根據(jù)前面4個(gè)等式找到規(guī)律即可得出第5個(gè)等式；

（2）由題意可知：分子為1,分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成分子是1,分母是以這兩個(gè)奇數(shù)為分

母差的一半，由此得出答案即可；

（3）依照上述規(guī)律，相加后，采用拆項(xiàng)相消法即可得出結(jié)果；

（4）模仿上述規(guī)律，相加后，采用拆項(xiàng)相消法即可得出結(jié)果.

【詳解】解：⑴高=\x(W)；

⑵1=1_______

I(2n-l)(2n+l)-2^2n-l271+1)'

(3)%++…+。2018，

2'335403540377

1?1、

-X(1----------)，

2'4037，

2018

4037

1

（4）金+嬴+康+康+…...+2015X2020’

1八111111111-

51010151520202520152020

1,11、

-X(--------------),

5、52020，

1403

-X-------,

52020

403

10100,

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法，并運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)

題”是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?北京?七年級(jí)景山學(xué)校?？计谥校┰谟行┣闆r下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉,

例如：|6+7|=6+7；|7-6|=7-6；|6—7|=—6+7；6—7|=6+7

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：

①|(zhì)7+2|=_；

@l—1+||=_;

⑵用簡(jiǎn)單的方法計(jì)算：ET+ET+ET+盛-嬴?

【答案】（1）①7+2；…兼1

【分析】（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)可得答案;

（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再相互抵消可得答案.

【詳解】解：（1）①：7+2>0,

|7+2|=7+2；

(g)V-|+1<0,

二段+冷，

/八11,11,11,,11

⑵原式=5一與+[z+[m+-+薪-痂

11

22021

2019

4042

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練地掌握運(yùn)算法則和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2023春?河北保定?七年級(jí)校聯(lián)考期中）觀察下列各式:

11

—1x-=—1+-

1111

——X-=-----F-

2323

1111

34-3+4

(1)按照上述規(guī)律，第4個(gè)等式是：_________________________________

(2)第九個(gè)等式是：_________________________

(3)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：(.X￡)+(—：x2)

(4)(-1x-)+(--x-)-I-x(--—x-)=

\八2/\237V34/I202120227------------------

[答案]=+：

4545

」+工

⑵V已nn+1

2

(3)—W

/八2021

(4-赤

【分析】（1）按照上面計(jì)算方法計(jì)算即可得出答案;

(2)根據(jù)題目規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，一;島=—+1

n+1*

(3)按（2）的公式運(yùn)算即可得出答案;

(4)由規(guī)律式子變形，中間部分互相抵消,只剩首項(xiàng)和尾項(xiàng)，即可算出答案.

【詳解】(/1八)----1-X-1=------1--1,—1;

4545

111

(2)------=----------1----------

nn+1nn+1'

1r,(11\1,11,1_11_2

(3)--X-+(-----X-)=---------1-------------1--

56,\67/56675十7-35；

(4)原式=-1+I—I+12021

20二21+二20222022

【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，抽象概括出規(guī)律并能計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)?？计谥校?）［義］=

123

-X-X-=

234-

-1x2-x-3x-4=

2345

x+士(=1123471

猜想：-X-X-X-X........X——=

2345n+1

（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題:

1

①計(jì)算:島T）x（e-1）義（表T）Xxfi-l'jxfi-l

,3,2

②將2020減去它的也再減去余下的點(diǎn)再減去余下的［……,依次類推，最后減去余下的茄篇，則剩余的結(jié)

果是多少?

【答案】（1）;;1;京；（2）①一磊，②1

【分析】（1）約分計(jì)算即可求解;

（2）①先算括號(hào)里面的減法，再約分計(jì)算即可求解；②根據(jù)題意列出算式2020x（1-》x（lX...X

（1一焉），再先算括號(hào)里面的減法，再約分計(jì)算即可求解?

121

【詳解】解:(1)-X

233

1231

-x-X-=

2344

12341

X-X-X-=

23455

1234n1

-x-x-X-Xx___=___

2345n+ln+1

故答案為：111

4；5；n+l；

⑵①島一1)x(/T)x舄.1)X...X(j-1)X(1-1)X(|-1)

999897321

---------X-----X-----X...X-X-X-

1009998432

1

100,

②依題意有:

111

2020x(l--)x(l--)x...x(l-——)

乙O4U4U

122019

=2020x-x-x...x

232020

=1.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，第（2）問(wèn)根據(jù)題意列出算式是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023春?浙江金華?七年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道：11211113211_1

21X21X21X2232X32X32x334

43士；…‘反過(guò)來(lái)’可得：a=1一a111111…，各式相加，可得：6+

3X43X42X3233X434

_41?.11_1_3

—?|一±1—一

士+七2233444

根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題:

⑴貴+嘉+出+短+點(diǎn)+備=

Q）計(jì)算：腺+之+焉+…+1

97X101*

1111

（3）計(jì)算:而乃+石石茄+痂菽6+…+94X97X1。。

【答案】（琮

25

⑵而

⑶氏

【分析】(1)根據(jù)規(guī)律，裂項(xiàng)相減即可求解;

⑵每項(xiàng)提好然后根據(jù)規(guī)瓶裂項(xiàng)相減即可求解;

(3)每項(xiàng)提出；，然后根據(jù)規(guī)律，裂項(xiàng)相減即可求解.

6

11

【詳解】(1)解:十J_..

1x22X33X44x55x66X7

11111111111

=1——+-------4-———+---+-——+

2234455667~~7

1

=1

7

6

7

(2)解:原式=；x(lV+L+A[+…+?—

110025

-X----=------

4101101

1111111

(3)解：原式=*x(高一4X7+4X77X10+7X1010X13+…+94X9797X100.

iXf--------)=

6\4970072425

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)題意，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【題型3新定義型規(guī)律探究】

L(2023春?四川成都?七年級(jí)?？计谥?已知："言=3,/=嗡=處黨=.=15,一,

觀察上面的計(jì)算過(guò)程，尋找規(guī)律并計(jì)算C&=

【答案】165

【分析】對(duì)于4(b<a)來(lái)講，等于一個(gè)分式，其中分母是從1到b的b個(gè)數(shù)相乘，分子是從a開(kāi)始，依次減1,

b個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.

5x4x36X5X4X3

【詳解】解「*=言=3,===10,C1=15,

1x2x31X2X3X4

11x10x9x8x7x6x5x4.._

???%=------------------------=165,

“1X2X3X4X5X6X7X8

故答案為：165.

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用已知得出分子與分母之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

2.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)期末)符號(hào)“廣表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

(1)/(I)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,...；

(2)/(|)=2,/(|)=3)/(J)=4,/(|)=5,....

利用以上規(guī)律計(jì)算：/(-^-)-/(2008)=____.

ZUUo

【答案】1

【分析】直接利用運(yùn)算公式化簡(jiǎn)，即可得出答案.

【詳解】解:<0-7(2008)

ZUUo

=20082007

二1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)字變化規(guī)律，通過(guò)觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，

并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題.

3.(2023春?江西宜春?七年級(jí)統(tǒng)考期中)對(duì)于正數(shù)支，規(guī)定/(X)=W，例如:/(2)=展=|，/⑶=*=［，

11

f?=占=￡f?=壬=J……利用以上規(guī)律計(jì)算：

23

/(短)+，(含)+，島)+……+f(9+/G)+，⑴+，⑵+……+/(2。19)的值為:一.

【答案】2018|

【分析】按照定義式/(%)=忘，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首尾兩兩組合相加，剩下中間的%最后再求和即可.

【詳解】〃短)+f(嘉)+f(表)+-■??+居)+居)+f⑴+f⑵+-■??+f(2019)

=—+—+—+++++-+??-+-+—+—

2020201920184323201820192020

12019.,,1.2018,,,1,2017.,zl,3.A2.1

、202020207v20192019yv201820187、4"、33，2

=2018+-

2

=201屋

2

故答案為：2018|

【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算在有理數(shù)的混合運(yùn)算中的應(yīng)用，讀懂定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?山西臨汾?七年級(jí)校聯(lián)考期中)探究規(guī)律，完成相關(guān)題目.

老師說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※(加乘)運(yùn)算.”

然后老師寫出了一些按照※(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：

(+5)團(tuán)(+2)=+(|5|+|2|)=+7；

(—3)回(—5)=+(|3|+|5|)=+8；

(-3)0(+4)=-(|3|+|4|)=-7；

(+5)團(tuán)(-6)=-(|5|+|6|)=-11；

00(+8)=8；

(-6)00=6.

小明看了這些算式后說(shuō)：“我知道老師定義的※(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則了.“聰明的你也明白了嗎？

(1)歸納※(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則.

兩數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：_；

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算運(yùn)算法則是：

⑵計(jì)算：

①(-5)團(tuán)[0團(tuán)(-3)]；(括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一致)

②[(一4)團(tuán)3]團(tuán)[(一10)團(tuán)(-5)].

【答案】(1)兩數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；0和任何數(shù)進(jìn)行

X(加乘)運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※(加乘)都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

(2)①一8；②一22

【分析】(1)歸納總結(jié)得到加乘法則，寫出即可；

(2)各式利用得出的法則計(jì)算即可求出值.

【詳解】(1)兩數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：兩數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得

負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※(加乘)運(yùn)算運(yùn)算法則是：0和任何數(shù)進(jìn)

行※(加乘)運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※(加乘)都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；

(2)①根據(jù)題中的新定義得：

(-5)0[00(-3)]

=(-5)133

=-(5+3)

=—8；

②根據(jù)題中的新定義得：

[(一4)團(tuán)3]團(tuán)[(一10)團(tuán)(-5)]

=-7015

=-(7+15)

=-22.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

5.(2023春?重慶潼南?七年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料，探究規(guī)律，完成下列問(wèn)題.

甲同學(xué)說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫*(加乘)運(yùn)算.“然后他寫出了一些按照*(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法

貝U進(jìn)行運(yùn)算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(一9)=+10；(—3)*(+6)=—9；(+4)*(—4)=-8；0*

(+1)=1；0*(-7)=7.乙同學(xué)看了這些算式后說(shuō)：“我知道你定義的*(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則了.“聰

明的你也明白了嗎？

(1)請(qǐng)你根據(jù)甲同學(xué)定義的*(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則，計(jì)算下列式子：

(-2)*(-7)=_；(+4)*(-3)=_；0*(-5)=

請(qǐng)你嘗試歸納甲同學(xué)定義的*(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行*(加乘)運(yùn)算時(shí)，

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*(加乘)運(yùn)算，

(2)我們知道有理數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在甲同學(xué)定義的*(加乘)運(yùn)算中還適用嗎？

請(qǐng)你任選一個(gè)運(yùn)算律，判斷它在*(加乘)運(yùn)算中是否適用，并舉例驗(yàn)證.(舉一個(gè)例子即可)

【答案】(1)+9-75同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

(2)加乘運(yùn)算滿足交換律，不滿足結(jié)合律，舉例見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)題干提供的運(yùn)算特例的運(yùn)算特點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，再歸納可得：加乘運(yùn)算的運(yùn)算法則；

(2)對(duì)于加乘運(yùn)算的交換律，可舉例(-3)*(-5),(-5)*(-3),進(jìn)行運(yùn)算后再判斷，對(duì)于加乘運(yùn)算的結(jié)合

律，可舉例[0*(一3)]*(-5),0*[(—3)*(-5)],進(jìn)行運(yùn)算后再判斷即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)加乘運(yùn)算的運(yùn)算法則可得：

(―2)*(—7)=+9；(+4)*(—3)=—7；0*(—5)=5.

歸納可得：

兩數(shù)進(jìn)行*(加乘)運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加.

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*(加乘)運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

(2)解：加法的交換律仍然適用，

例如：(-3)*(-5)=8,(-5)*(-3)=8,

所以(—3)*(—5)=(-5)*(—3),

故加法的交換律仍然適用.

加法的結(jié)合律不適用，

例如：[0*(—3)]*(-5)=3*(-5)=-8,

0*[(-3)*(—5)]=0*(+8)=8,

所以[0*(—3)]*(—5)豐0*[(-3)*(-5)],

故加法的結(jié)合律不適用.

【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，同時(shí)考查的是有理數(shù)的加法運(yùn)算，絕對(duì)值的含義，理解新定義，歸納

總結(jié)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

6.(2023春?北京房山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)將n個(gè)互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組.在這幾個(gè)數(shù)字

前任意添加“+”或“”號(hào)，可以得到一個(gè)算式.若運(yùn)算結(jié)果可以為0,我們就將這個(gè)數(shù)組稱為“運(yùn)算平衡”數(shù)組.

(1)數(shù)組1,2,3,4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組？若是，請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)組中填上相應(yīng)的符號(hào)，并完成運(yùn)算；

1234=

(2)若數(shù)組1,4,6,6是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，則小的值可以是多少？

(3)若某“運(yùn)算平衡”數(shù)組中共含有幾個(gè)整數(shù)，則這n個(gè)整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？

【答案】(1)是，+123+4=0；(2)m=±l,±3,+9,±11；(3)這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這n個(gè)數(shù)字前任

意添加“+”或“”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0.

【分析】(1)根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義即可求解；

(2)根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義得到關(guān)于m的方程，解方程即可；

(3)根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義可以得到n個(gè)數(shù)的規(guī)律.

【詳解】解：(1)數(shù)組1,2,3,4是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，+123+4=0；

(2)要使數(shù)組1,4,6,皿是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，有以下情況：

l+4+6+m=0；l+4+6+m=0；14+6+m=0；l+46+m=0；l+4+6m=0；14+6+m=0；l+46+m=0；l+4+6m=0；146+m=O；

14+6m=0；l+46m=0；146+m=0；14+6m=0,l+46m=0,146m=0；146m=0；共16中情況，

經(jīng)計(jì)算得m=±l,±3,±9,±11；

(3)這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問(wèn)題，理解“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義是解題關(guān)鍵.

【題型4含M型規(guī)律探究】

1.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)期末)觀察下列等式：

(1)I3=I2

(2)13+23=32

(3)I3+23+33=62

(4)13+23+33+43=102

根據(jù)此規(guī)律，第10個(gè)等式的右邊應(yīng)該是a?,貝必的值是()

A.45B.54C.55D.65

【答案】C

【分析】根據(jù)所給的算式，探索其底數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】其底數(shù)之間的關(guān)系為：

(1)1=1

(2)1+2=3

(3)1+2+3=6

(4)1+2+3+4=10

(10)1+2+3+…+10=55

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是探索數(shù)字之間的規(guī)律，關(guān)鍵是要善于觀察，抓住其底數(shù)之間的關(guān)系.

2.(2023?浙江嘉興?七年級(jí)校聯(lián)考期中)數(shù)列：0,2,4,8,12,18,…是我國(guó)的大衍數(shù)列，也是世界數(shù)

學(xué)史上第一道數(shù)列題.該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)可表示為唉，偶數(shù)項(xiàng)表示為

如：第一個(gè)數(shù)為9=0,第二個(gè)數(shù)為9=2,…

現(xiàn)在數(shù)軸的原點(diǎn)上有一點(diǎn)P,依次以大衍數(shù)列中的數(shù)為距離向左右來(lái)回跳躍.

第1秒時(shí)，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為P1；

第2秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳2個(gè)單位，記為P2,此時(shí)點(diǎn)P2所表示的數(shù)為2；

第3秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳4個(gè)單位，記為P3,此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為2；

按此規(guī)律跳躍，點(diǎn)P20表示的數(shù)為.

【答案】110

【分析】通過(guò)總結(jié)規(guī)律和數(shù)軸上表示即可求解.

【詳解】第1秒時(shí)，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為P1;

第2秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳2個(gè)單位，記為P2,此時(shí)點(diǎn)P2所表示的數(shù)為2；

第3秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳4個(gè)單位，記為P3,此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為2；

第4秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳8個(gè)單位，記為P4,此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為6；

第5秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳12個(gè)單位，記為P5,此時(shí)點(diǎn)P4所表示的數(shù)為6；

第6秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳18個(gè)單位，記為P6,此時(shí)點(diǎn)P5所表示的數(shù)為12；

第7秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳24個(gè)單位，記為P7,此時(shí)點(diǎn)P6所表示的數(shù)為12；

P6P4P2PlP3P5P7

ol.lI111,1I1,1111%。

-13-T2-1H0-9-8-7-6-5M-3-2-101234567891011121314

通過(guò)規(guī)律得出以。為軸左右兩邊的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，只要求出一邊即可得出結(jié)論，通過(guò)秒數(shù)為奇數(shù)

1對(duì)應(yīng)0,3對(duì)應(yīng)2,5對(duì)應(yīng)6,7對(duì)應(yīng)12,以此推類得出奇數(shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值為將P21代入得110,所

以P20為110.

答案為110.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律和數(shù)軸，正確找出規(guī)律是關(guān)鍵.

3.(2023春?廣東珠海?八年級(jí)校聯(lián)考期末)觀察下列式子：

0x2+1=12...①

1x3+1=22...②

2x4+1=32...③

3x5+1=42...④

(1)第⑤個(gè)式子，第⑩個(gè)式子;

(2)請(qǐng)用含〃(”為正整數(shù))的式子表示上述的規(guī)律，并證明:

⑶求值：(1+高)(1+六)(1+/(1+左)…⑺赤京).

【答案】(1)4x6+1=52,9x11+1=102；(2)(〃-1)(〃+1)+1=/；(3)

【分析】(1)觀察發(fā)現(xiàn)一個(gè)正整數(shù)乘以比這個(gè)正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個(gè)正整數(shù)加1的平方;

(2)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可；

(3)先通分，然后根據(jù)(2)中結(jié)論解答即可.

【詳解】解：(1)第⑤個(gè)式子為4x6+1=52,第⑩個(gè)式子9x11+1=102,

故答案為4x6+1=52,9xll+l=102；

(2)第〃個(gè)式子為(n-1)(〃+1)+1=/2,

證明：左邊=/-1+1=/,

右邊=/,

...左邊=右邊,

BP(n-1)(n+1)+l=n2.

1x3+12x4+13x5+12016X2018+1

(3)原式=-----------X-----------X-----------■Xx---------------------

1X32X43X52016X2018

2232425220172

------X-------X-------XX...X------------------

1X32X43x54X6-----------2016x2018

2X2017

2018

_2017

1009,

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題.

4.(2023春?四川樂(lè)山?七年級(jí)統(tǒng)考期中)⑴把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線連接起來(lái):

1/(1+抓1號(hào))

11

1*(1+0(1-R

11

14(1+')(')

11

1G(1+/1-])

(2)觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1-*=

(3)利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值：(l1)x(l1)x(li)x...x(i-L)x(1_J_)

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(1+；)(1—；)；(3)券.

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方運(yùn)算分別計(jì)算結(jié)果可得；

(2)根據(jù)以上表格中的計(jì)算結(jié)果可得；

(3)根據(jù)以上規(guī)律，將原式裂項(xiàng)、約分即可得.

【詳解】(1)把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線連接起來(lái)：

11

1-專(1+/1-5)

1/11

11

1/(1+4)(')

1-曰1（1+加11—N1

（2）觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1一七=q+》（i—

故答案為（1+~）（1—；）

（3）原式=（嗎）（1*嗚）（今（1中/…劉琮）（琮）x（1喻）《臉）

101

200

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和乘方運(yùn)算法則及數(shù)字的變化

規(guī)律.

5.（2023春?河南鄭州?七年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谥校╅喿x探究：I2=北衿；12+22=F；12+22+

66

3c?2=-3-x4-x-7；Iy27+2<-?27+372+A472=4-x-5-x-9；...

66

⑴根據(jù)上述規(guī)律，求I?+22+32+42+52的值；

（2）你能用一個(gè)含有n5為正整數(shù)）的算式表示這個(gè)規(guī)律嗎？請(qǐng)直接寫出這個(gè)算式（不計(jì)算）；

⑶根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：112+122+132+142+152.

【答案】⑴55

(3)780

【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計(jì)算即可;

（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可;

（3）原式利用得出的規(guī)律計(jì)算即可求出值.

【詳解】(1)M+22+32+42+52=55；

(2)12+22+……+n="(n+l)(2n+l)

(3)II2+122+132+142+152=(I2+22+……152)-(I2+……102)=1240-460=780.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算及算式規(guī)律，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023春.北京.七年級(jí)北京四中?？计谥校╅喿x材料.

我們知道，l+2+3+...+n上生羅，那么12+22+32+...+!?結(jié)果等于多少呢？

在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22,…；

第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n+...+n,即1?.這樣，該三角形數(shù)陣中共有智2個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)

的和為l2+22+32+...+n2.

窘

行

等

JT行-

室

新

第-1

而

圖2

【規(guī)律探究】

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)

(如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為,

由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(l2+22+32+...+n2)=,因此，

l2+22+32+...+n2=.

【解決問(wèn)題】

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：與魯士手的結(jié)果為_(kāi)____.

1+2+3H-----FlO

【答案】2n+l,"("+D-+1),i+1)(2"+1)；7.

26

【分析】根據(jù)圖1和圖2,歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，利用此規(guī)律確定出所求即可.

【詳解】解：【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)

陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三

個(gè)圓圈中數(shù)的和均2n+l；由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+...+n2)

^(n+1)(2n+l)；因此，y+22+32+…+/=帥+1)3+1)；

26

【解決問(wèn)題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：：二：二：的結(jié)果為7.

1+2+3H-----hll)

故答案為2n+l;03+1)；n(n+l)(2-D

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【題型5定義兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算】

1.(2023春?天津?七年級(jí)?？计谀?現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)a,b滿足a*b=fa或0如

5*3=2x5-3=7,-2x1=-j,若x*3=5,則有理數(shù)x的值為()

A.4B.11C.4或11D.1或11

【答案】A

【分析】對(duì)x的取值分為兩種情況，當(dāng)xN3和x<3分類求解，得出符合題意得答案即可.

【詳解】當(dāng)XN3,則X*3=2X-3=5,X=4；

當(dāng)x<3,則x*3=x-2x3=5,x=ll,但11>3,這與x<3矛盾，所以此種情況舍去.

.,.若x*3=5,則有理數(shù)x的值為4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題目中運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?重慶萬(wàn)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)定義一種新運(yùn)算“⑤”，規(guī)定：a⑤b=2a-3b等式右邊的運(yùn)算

就是加、減、乘、除四則運(yùn)算，例如：20(-3)=2x2-3x(-3)=4+9=13,102=2x1-3x2=

2-6=-4.貝式-1)?[30(—2)]的值是().

A.-2B.-18C.-28D.-38

【答案】D

【分析】根據(jù)新運(yùn)算的運(yùn)算法則，先計(jì)算3(8)(-2),再計(jì)算(-1)(8)[30(-2)]即可得解.

【詳解】解：由題意，得：30(—2)=2x3-3x(—2)=12,

/.(-1)?[30(-2)]=(-1)012=2X(-1)-3X12=-38；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算.理解并掌握新運(yùn)算的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?浙江臺(tái)州?七年級(jí)?？计谥?定義：對(duì)于任意的有理數(shù)a,b(a力b),a十6=+a+b)

⑴探究性質(zhì)：

①例：302=；2?3=；(-3)?2=；(-3)0(-2)=；

②可以再舉幾個(gè)例子試試，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)用含“，b的式子表示出a十6的一般規(guī)律；

(2)性質(zhì)應(yīng)用：

①運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求a―92.5)?16.33J?，(—33.8)?(—4)7的值；

②將-11,-10,-9,-8……，7,8這20個(gè)連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩

個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作。，另一個(gè)記作6,求出a十d10組數(shù)代入后可求得10個(gè)a十b的值，則這10個(gè)值

的和的最小值是.

【答案】⑴①3,3,2,-2；②見(jiàn)解析，一般規(guī)律為a十b=｛設(shè)：：

(2)①16.33；②—10

【分析】(1)①根據(jù)定義a十b=g(|a-b|+a+b),a力b即可求解；②舉例3十(-2),(-2)十(-3),通

過(guò)與以上幾個(gè)比較，可以發(fā)現(xiàn)該運(yùn)算是用來(lái)求大小不同的兩個(gè)有理數(shù)的最大值；

(2)①直接利用規(guī)律進(jìn)行求解；②不妨設(shè)a>6,則代數(shù)式中絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉，代數(shù)式等于a,由此

即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：①a十b=](|a-+a+b),a4b,

3?2=|(|3-2|+3+2)=3,

2十3=|(|2—3|+2+3)=3,

(—3)十2=￡(|—3—2|—3+2)=2,

(-3)?(-2)=j(|-3+2|-3-2)=-2,

故答案為：3,3,2,-2；

②例如：3十(-2)=黃|3+2|+3-2)=3,

(-2)十(-3)=|(|-2+3|-2-3)=-2,

通過(guò)以上例子發(fā)現(xiàn)，該運(yùn)算是用來(lái)求大小不同的兩個(gè)有理數(shù)的最大值，

用a,6的式子表示出一般規(guī)律為a十b=

(b,b>a

(2)解：①f(-92.5)?16.33j?f(-33.8)?(-4)J

=16.33?(-4)

=16.33；

②不妨設(shè)a>b,則代數(shù)式中絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉，

代數(shù)式等于a，

a為偶數(shù)，b=a-1

最小值=(—1。)+(—8)+(—6)+(—4)+(—2)+0+2+4+6+8=-10,

故答案為：—10.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義，把所給代數(shù)式化簡(jiǎn)，找

到新定義的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行求解.

4.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?七年級(jí)統(tǒng)考期中）材料一：對(duì)任意有理數(shù)a,b定義運(yùn)算“⑤"，a?b=a+b-等

如：102=1+2-等，10203=1+2-等+3-等=-2。17.

材料二：規(guī)定二］表示不超過(guò)a的最大整數(shù),如［3.1］=3,［-2］=-2,［—1.3］=—2.

(1)2⑤6=，［—兀］比］=.

(2)求1020304...0202202023的值:

（3）若有理數(shù)相，"滿足m=2［n=3［n+1］,請(qǐng)直接寫出zn（8）+71］的結(jié)果.

【答案】⑴-等，-64

(2)2023

小2053

⑶一―廠

【分析】（1）根據(jù)材料1新定義的運(yùn)算“⑤”的概念即可求出206的值，根據(jù)材料2中的定義即可求出［-回㈤

的值；

（2）根據(jù)新定義函數(shù)把l（8）2（8）3O4...（8）2022（8）2023變形為加減運(yùn)算，再根據(jù)運(yùn)算順序即可求出1③

20304...0202202023的值；

（3）根據(jù)m=2［汨=3［九+1］求出m的值和71的范圍，再求出［m+九］的值，即可得出?n便）