中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型專練：二次函數(shù)中的面積問題（學(xué)生版+解析）

專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y=-無2+px+q的對稱軸為x=—3,過其頂點(diǎn)M的一條

直線y=與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N（-1,1）.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）,則APAW的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2022?湖北?漢川市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線卬、=合+法+。（。#0）與尤軸只有一個(gè)公共

點(diǎn)A（2,0）,與y軸交于點(diǎn)3（0,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長度得拋物線七，則圖

中兩個(gè)陰影部分的面積和為（）

A.4B.2C.6D.8

3.（2022?廣東?江門市新會(huì)東方紅中學(xué)二模）如圖，拋物線y=-（x+m『+4的頂點(diǎn)為P,將拋物線向右平移

3個(gè)單位后得到新的拋物線，其頂點(diǎn)記為設(shè)兩條拋物線交于點(diǎn)C,則△PMC的面積為（）

4.（2019?浙江?瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在8

的左側(cè)），與'軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，連接AP、BP,分別以AP、3P為邊向△A3P

外部作正方形APE。、BPFG,連接跳入AG.點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的過程中，△A3。與△A2G的面積和

的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

5.（2021?貴州銅仁?三模）如圖，拋物線y=一爐+ax+b與直線y=相交于A（4,-3）,8（0,5）兩點(diǎn)，點(diǎn)C

是拋物線的頂點(diǎn).下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（）

（1）AB=4右；（2）拋物線為：y=-尤2+2/5；⑶當(dāng)0<x<4時(shí)，代數(shù)式/一4元的值是負(fù)數(shù)；（4）AABC

的面積為6

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

6.（2022?江蘇.九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是拋物線y=/圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐

標(biāo)大于1,點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,1）,過點(diǎn)A作A8〃x軸交拋物線于點(diǎn)8,過A、B作直線AE、BE分別交無軸

于點(diǎn)。、C,設(shè)陰影部分的面積為S,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為加，貝依關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式為（）

C.S=2mD.S=m2-m

7.（2020.浙江臺(tái)州.九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7一以與1軸交于O,A兩點(diǎn)，

點(diǎn)B為x軸上一點(diǎn)且AB=30,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使得點(diǎn)C恰好落在拋物線上，點(diǎn)尸

為拋物線上一點(diǎn)，連接4P,PC,PCLAC,則ABAC的面積為（）

A.9B.3拒C.672D.3

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y=§（x+3）（x-1）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,

與》軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)坐標(biāo)為則ABC與△ABD的面積之比是（）.

347

A.B.C.D.

47I

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線＞=—2x+c與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),與y軸負(fù)半軸交于

點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M,點(diǎn)D,E分別是的中點(diǎn)，若2。仍與，ACO的面積比為9：10,則c的值為（）

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

10.（2021.河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級期末）如圖，二次函數(shù)產(chǎn)f—2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,交

y軸于點(diǎn)C點(diǎn)。在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△3CD的面積為一27，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是（）.

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

13

11.（2018?山東濟(jì)南?三模）如圖,拋物線y=--x2+x+-與坐標(biāo)軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.CD//AB,

如果直線丫=網(wǎng)-2（心0）平分四邊形的面積，那么上的值為（）

二、填空題

12.（2022?北京市師達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線y=/-4與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

則ABC的面積為.

13.（2022.安徽合肥?九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=3）?+4

（fl<0）的頂點(diǎn)為A,與拋物線y=a?+4交于x軸上方的點(diǎn)8.

（1）點(diǎn)2的橫坐標(biāo)是

（2）過點(diǎn)B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，C,連結(jié)A。，AC,OC,OD,則

四邊形ACOD的面積為

14.（2022?重慶一中九年級階段練習(xí)）如圖，已知A（1,1）,B（3,9）是拋物線y=V上的兩點(diǎn)，在y軸

上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)小PAB的周長最小時(shí)，則此時(shí)△PAB的面積為.

15.（2022?福建?莆田擢英中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=d圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且三點(diǎn)

的橫坐標(biāo)依次為a+1,a,小華用軟件GeoGebra對△ABC的幾何特征進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)△ABC的面

積是個(gè)定值，則這個(gè)定值為.

2

三、解答題

16.(2022.黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖,拋物線y=-26+c與x軸交于點(diǎn)A、

點(diǎn)、B,與y軸交于點(diǎn)C,A點(diǎn)坐標(biāo)為(一L。)，連接AC,若tan/ACO=g.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接4P、BP,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為乙尸的面積為S,求S與，的函數(shù)

解析式：

17.(2023?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，地物線＞=加+法+。與工軸交于4(-1,0),83,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)。(0,-3).

(1)求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為根(0＜加＜3).直接寫出.尸。的面積的最大值.

18.(2021?新疆?烏魯木齊市第十五中學(xué)九年級期中)已知拋物線j=ax2+bx+3(aw0)與x軸交于A(-1,O),

8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)連接AC,BC,求S.c

2

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)E,使得若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19.(2022?廣東?江東鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級期中)如圖，已知二次函數(shù)yn-gd+fex+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(2,0),

2(0，-6)兩點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接54、BC,求△ABC的面積.

20.(2021?新疆?烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y

軸交于點(diǎn)B,拋物線>=-爐+6X+。經(jīng)過A、8兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C,對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E,

拋物線頂點(diǎn)為。.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

⑵①求拋物線的解析式；

②點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得AMAB的面積最大?若存在，請求這個(gè)最

大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，當(dāng)/為何值

時(shí)，以尸、8、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的“直.

21.(2022?山東淄博?九年級期中)如圖，拋物線產(chǎn)蘇+法+:與直線交于點(diǎn)A(TO),?4,1[.點(diǎn)。

是拋物線上A,2兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,2重合)，直線8與y軸平行，交直線48于點(diǎn)C,連接AD,BD.

(1)求拋物線的解忻式；

(2)設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為相，4汨的面積為S,求S關(guān)于相的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的

坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線42上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)以點(diǎn)尸，Q,C,。為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

13

22.(2022.山東濟(jì)南.九年級期中)如圖，已知拋物線>=h+臥+。與x軸交于A(l,0),即,0),與y軸交

3

(2)若點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足SAABP=5SAMC，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

23.(2022.河南洛陽?二模)如圖，拋物線>=-2x+3的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),

與>軸交于點(diǎn)C.

（1）直接寫出A,B,C的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)M為線段A3上一點(diǎn)（點(diǎn)/與點(diǎn)A,點(diǎn)8不重合），過點(diǎn)/作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E,與

拋物線交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作尸?！ń粧佄锞€于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作QNL尤軸于點(diǎn)N,若點(diǎn)P在點(diǎn)。的左側(cè)，

當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí)，求△相M的面積.

3

24.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)、=依2-5光+以。片0）的圖象與無軸交于43兩點(diǎn)，與y

軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-l,0）,點(diǎn)C（0,-2）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AMBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

25.（2020?新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線＞=-/+法+。（b、。為常數(shù)），若此拋物

線與某直線相交于A（T，0）,C（2,3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為。

(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為耳，當(dāng)點(diǎn)乜落在第二象限內(nèi)，且區(qū)屋取得最

小值時(shí)，求〃的值

26.(2022?甘肅?嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模)如圖，已知拋物線＞=-/+/內(nèi)+〃與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)。,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使，PQ)是以CO為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐

標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)￡是線段2C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作無軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四

邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

I3

27.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)、=5/+灰-/與彳軸交于點(diǎn)4-3,0)和點(diǎn)2,以43

為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接。P,過點(diǎn)P作。P的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

(1)試求出二次函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)是否存在這樣的點(diǎn)P,使VP田是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)VPED與正方形A3CD

重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.(2022.全國?九年級專題練習(xí))如圖，已知拋物線y=-尤2+px+q的對稱軸為x=-3,過

其頂點(diǎn)M的一條直線y=履+。與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N(-U).點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),

則APMN的面積為()

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出拋物線的解析式，并

將解析式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：；拋物線y=-1+px+q的對稱軸為了=-3,點(diǎn)N(T,1)是拋物線上的一

點(diǎn)，

―--=-3,-X-p+q=\,

一2

解得：。=-6,q=-4,

y=-%2—6x—4=—(x+3y+5，

軸，且PN=1,

APAfN的面積為：—xlx(^5—1)=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)頂點(diǎn)

坐標(biāo)的求法，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?湖北?漢川市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，拋物線4：y="+bx+c(aw0)與尤

軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A(2,O),與y軸交于點(diǎn)3(0,4),虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4

個(gè)單位長度得拋物線右，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為()

12/52

【答案】D

【分析】連接根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形

ABOM面積求解即可.

【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點(diǎn)連接

?.”,0),3(0,2)

/.OA=2,OB=AM=4,

???拋物線是軸對稱圖形，

圖中兩個(gè)陰影部分的面積和即為四邊形的面積，

AM//OB,AM=OB,

四邊形ABOM為平行四邊形，

S四邊形ABOM=OBOA=4x2=8.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)

圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積.

3.(2022?廣東?江門市新會(huì)東方紅中學(xué)二模)如圖，拋物線y=-(x+〃z)2+4的頂點(diǎn)為P,將

拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新的拋物線，其頂點(diǎn)記為M,設(shè)兩條拋物線交于點(diǎn)C,則

的面積為()

13/52

【答案】c

【分析】根據(jù)題意過C作y軸的平行線，交PM于點(diǎn)H,交X軸于點(diǎn)。，進(jìn)而依據(jù)兩條拋物

線交于點(diǎn)C,聯(lián)立方程得出C,最后利用S/=^PMCH即可求出答案.

【詳解】解：如圖過C作y軸的平行線，交PM于點(diǎn)、H,交無軸于點(diǎn)。，

由題意可得，平移后拋物線的解析式為：y=-（x+m-3）2+4,

：P、M分別為兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，

/.尸（一九4）,M（-根+3,4）,PM=3,HD=4,

:兩條拋物線交于點(diǎn)C,

37

，由一（九+m）+4=—（x+m—3）+4,可得C（］一孫

779

ACD=-,CH=HD—CD=4——=-,

444

???HD//y軸，

：?HD1PM,即。〃為△PMC的高，

11927

??S^MC=-PM-CH=-X3X-=—.

ZZ4o

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)平移的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合思維分析是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?浙江?瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線＞=-/+2工+3與x軸交于&、

8兩點(diǎn)（A在8的左側(cè)），與V軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，連接AP、

14/52

BP,分別以AP、BP為邊向△A8P外部作正方形APE。、BPFG,連接8。、AG.點(diǎn)P從點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的過程中，△A3。與△ABG的面積和的變化情況是（）

C.始終不變D.一直增大

【答案】C

【分析】令i=-/+2》+3=0求出A3的長，過點(diǎn)。作。M_Lx軸于過點(diǎn)尸作PN_Lx軸于

N,過點(diǎn)G作GQLx軸于Q,利用一線三直角的全等模型證明DM=AN,GQ=BN.從而

2

利用三角形的面積公式得出5AABD+SAASG=|AB,從而得解.

【詳解】解：令y=r、2x+3=0,

解得：玉=-1,工2=3,

???A（-1,O）,5（3,0）,

?,.AB=4.

過點(diǎn)。作。軸于過點(diǎn)P作尸軸于N,過點(diǎn)G作GQLv軸于。，

：.AD=PA,ZDAP=90°,

：.ADAM+ZNAP=180°-ZDAP=90°,

又軸,

ZDAM+ZMDA=90°,

：.ZMDA=ZNAP,

VZAMD=ZPNA=9Q°,ZMDA=ZNAPfAD=PAf

15/52

AAMD^APNA,

：.DM=AN.

同理可得：GQ=BN.

：

■SAABDAB-DM,S&ABG=^AB-GQ

2

SAABD+SAABG=-ABDM+-AB-GQ=-ABAN+-ABBN=-AB(AN+BN)=-AB=8

/.AABD與4ABG的面積和始終不變.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與無軸的交點(diǎn),

三角形的面積公式等知識，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構(gòu)造全等模型得出

DM=AN,GQ=3N是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?貴州銅仁.三模)如圖，拋物線,=一/+6+6與直線>=履+。相交于4(4,一3),

3(0,5)兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn).下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)()

(1)AB=4A/5;(2)拋物線為：y=-x2+2x+5；(3)當(dāng)0<x<4時(shí)，代數(shù)式/一4%的值

是負(fù)數(shù)；(4)△ABC的面積為6

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】對于(1),根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式判斷即可；對于(2),根據(jù)待定系數(shù)法求出關(guān)系

式判斷即可；對于(3),先求出直線的關(guān)系式，將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，觀察圖象可得答案；

對于(4),先求出拋物線的對稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)C,M的坐標(biāo)，再將△ABC分成兩個(gè)三角形，

求出面積即可.

【詳解】.(4,-3),B(0,5),

AB=7(4-0)2+(-3-5)2=45s.

16/52

所以(1)正確；

?.,點(diǎn)A(4,-3),B(0,5)在拋物線y=-/+or+b的圖象上,

.1-16+4。+人=-3

*\b=5

，拋物線得關(guān)系式為y=-/+2x+5.

所以(2)正確；

?.,點(diǎn)A(4,-3),B(0,5)在直線產(chǎn)息+b的圖象上,

.f4k+b=-3

"\b^5

[k=-2

解得，＜，

[b=5

???一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x+5.

2

將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，得必y.=—cx+,2小x+5①

y2=-2x+5@

②-①，得＞2-y產(chǎn)f-4x,

當(dāng)0VxV4時(shí)，直線在拋物線的下方，可知

即X2-4X＜0.

所以(3)正確；

拋物線＞=-/+2尤+5的對稱軸是x=d-=—^―=1,

-2a-2x(一1)

當(dāng)時(shí)，y=-l+2+5=6,

：.C(1,6).

當(dāng)x=l時(shí)，y=-2+5=3,

：.M(1,3),則CM=3,

JSAABC=SABCM+SAACM

=—x3x1H——x3x3

22

=6.

所以(4)正確.

正確的有4個(gè).

故選：A.

17/52

【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的關(guān)

系式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形面積的求法等.

6.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是拋物線y=V圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于1,點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,1）,過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)8,過A、

2作直線AE、BE分別交了軸于點(diǎn)C,設(shè)陰影部分的面積為S,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為機(jī)，則S

關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.S=m2B.S—mC.S—2mD.S—nr—m

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知A（m，〃產(chǎn)），B（-m,m2）,E（0,1）,得出AB=2〃z,再由陰影部分

的面積為$=($△ABC_§△ABE)+(%ABD—ABE)即可得解.

【詳解】解：由題意可知，A(〃z,m2),B(-m,m2),E(0,1),AB=2m,

又軸，且過A、8作直線AE、BE分別交x軸于點(diǎn)D、C,所以由

S—(/ABC—%ABE)+—

SuLxZmxm2~—x2mx(m2-l]+—x2mxm2~—x2mx(m2-1

22v722v

S=m3—m3+m+m3—m3+m

S=2m；

18/52

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)系中三角形面積求法，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示

線段的長度是解題關(guān)鍵.

7.（2020?浙江臺(tái)州?九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-N-4x與x軸交

于。，A兩點(diǎn)，點(diǎn)8為x軸上一點(diǎn)且AB=3正，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使

得點(diǎn)C恰好落在拋物線上，點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，連接AP,PC,PC1AC,則AB4c的面

積為（）

C.6五D.3

【答案】D

【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得到△CAMXCMP

為等腰直角三角形，設(shè)求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，進(jìn)而求出PC長，根據(jù)直角三角形面

積公式即可求解

【詳解】解:把y=0代入函數(shù)＞=-x2-4x,得-/-4x=0,

=

解得x10,x2=4,

故點(diǎn)A(-4,0),

過點(diǎn)C作y軸的平行線交過點(diǎn)尸與x軸的平行線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,

在RtAACN中，CN=AC-sinZCAB=ABsin45°=372x=3=AN,

故點(diǎn)C（-1,3）,

VZCW=45°,則△ACN為等腰直角三角形,

19/52

VPC±AC,

.?.ZPCM=45°,

???ACMP為等腰直角三角形，

設(shè)尸M=CM=m，則點(diǎn)尸（-1-M，3+m）,

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=-7-4x并解得：m=0（舍去）或1,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,4）,

由點(diǎn)P、C的坐標(biāo)得：PC7PM2+MC?=血，

則4B4C的面積=JxAC?PC=3x30x0=3,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，根據(jù)題意

添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y=§（x+3）（x-l）的圖象與x軸

交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)坐標(biāo)為。.則ABC與的面積之比是（）.

A.-B.-C.-D.-

3458

【答案】B

【分析】首先求出C和D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，可知SAABC：SAABD=BC邊上

的高之比，進(jìn)而即可求解.

92428

【詳角星】??,,=§（%+3）（%-V）=-x1-\--x—2=—{x+\）1——,

Q

，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,

Q

「△ABC與AABD的底相同，高線長分別為2和§,

.。8_3

■?OcAABC：OAABD=2:—.

34

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以

及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y=:/-2x+c與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，與

y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為跖點(diǎn)，E分別是的中點(diǎn)，若與.ACD的面

積比為9：10,則c的值為（）

20/52

y

M

A.—B.—2C.—D.—3

22

【答案】C

sAD

【分析】由題意可得5即=：8叫力|，ADC=^'\yc\'由點(diǎn)n是AB的中點(diǎn)，DEB與

ACD的面積比為9：10,得到園=:|川，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，|%|="組=]%|，

yM=^yc=^c,加為頂點(diǎn)，求得點(diǎn)/的橫坐標(biāo)，代入解析式，由縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于c的

方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，SDEB=^BD.\yE\,5皿=；4。艮|，

:點(diǎn)。是A2的中點(diǎn)，

，AD=DB,

；一DEB與,ACD的面積比為9：10,

...S"叫％1%_9,

S屈；孫切生W

，帆1=歷1先|，

是的中點(diǎn)，

，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，%|="加=；|九|，

當(dāng)x=0時(shí)，％-2x+c=c,

.?』訃劇,

=2y=C

yMl-el|||,

：%<o，%=c<°,

._9_9

=c

??加=-yc^，

21/52

???”為頂點(diǎn),

將%=2代入y=g%2一2%+c得，

19

y=-x292-2x2+c=2-4+c=c—2=—c,

M25

解得c=-|,

故選：C

9Q

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得加(。是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級期末)如圖，二次函數(shù)y=--2x-3的圖象與x軸

27

交于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△氏中的面積為一，

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

【答案】B

【分析】此題根據(jù)題意先求出B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)的面積為27?，利用分割法表

O

示出面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)聯(lián)立方程求解即可.

【詳解】解:解方程X?-2x-3=0

解得：X]=-Lx2=3,

則A、B的坐標(biāo)是(-1,0)和(3,0),

又y-x2-2x-3,

；.C的坐標(biāo)是(0,-3)

設(shè)D的坐標(biāo)為(a,b),

作DM_LAB于M,如圖：

22/52

例

A\O\/1B/

1

27

貝USgCD=SDMOC+S^BDM-S^BOC~

o

11127

即一a（3-b）--b（3-a）-—x3x3=—,

2228

又D在拋物線上，

??/—2a—3=Z?,

3IS

聯(lián)立方程解得：a二:，b二--，

24

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是］3

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)問題中根據(jù)圖形面積求坐標(biāo)，根據(jù)圖像性質(zhì)找出相關(guān)坐標(biāo)，并利

用割補(bǔ)法表示面積是關(guān)鍵，計(jì)算量較大.

13

n.（2018?山東濟(jì)南?三模）如圖，拋物線產(chǎn)-5爐+%+］與坐標(biāo)軸交于AN兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C.CD//AB,如果直線丫=--2比。0）平分四邊形05。。的面積，那么人的值為（）

.10n11「1213

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】B

【分析】設(shè)直線>=丘-2交X軸于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,利用一次函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的

23/52

坐標(biāo)特征及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、C、D、E、F的坐標(biāo)，由直線

>=丘-2(%彳0)平分四邊形08口(2的面積，可得出關(guān)于k的分式方程，解出k值后經(jīng)檢驗(yàn)

后即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)直線，=依-2交x軸于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,如圖所示，

13

?.?拋物線>=-5%2+%+萬與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

3

?,?點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,-),

、1,3」士1233

當(dāng)y時(shí)，^--x-+x+-=-,

解得：占=。，％=2

...點(diǎn)D(2,I),

；.CD=2,

:直線y=履-2交X軸于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,

273

???點(diǎn)E(丁，0),點(diǎn)F(^y,―),

k2k2

???直線y=kx-2(kW0)平分四邊形OBDC的面積，

.27CD+OB5

_?=________=_

?,k2k22'

解得：k=g

經(jīng)檢驗(yàn)，左=?是原方程的解，符合題意.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及梯形的面積，由直線>=丘-2(左W0)平分四邊形OBDC的面積，找出關(guān)

24/52

于k的分式方程是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.(2022?北京市師達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí))已知拋物線y=/-4與x軸交于A,8兩點(diǎn),

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、8、C的坐標(biāo)，再利用三角形的面

積公式即可求出AABC的面積.

【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-4=-4,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4)；

當(dāng)>=0時(shí)，有f_4=0，

解得：石=-2,尤2=2,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),(假設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),

:.AB=4,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積,

利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、3、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?安徽合肥?九年級階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線

y=<?(%-3)2+4(a<0)的頂點(diǎn)為A,與拋物線y=ad+4交于x軸上方的點(diǎn)

25/52

(1)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是

(2)過點(diǎn)B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,C,連結(jié)ADAC,

OC,0D,則四邊形ACO。的面積為

【答案】412

【分析】(1)拋物線y=a(x-3『+4是由拋物線丁="2+4向右平移3個(gè)單位得到的，B點(diǎn)、

橫坐標(biāo)為兩條對稱軸距離的一半，即可得解；

(2)利用四邊形的面積+S"D，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)y=o(x-3『+4的對稱軸為：x=3；y=G?+4對稱軸為：x=Q,

由圖象得：拋物線y=a(x-3)2+4是由拋物線y=ax2+4向右平移3個(gè)單位得到的，

B點(diǎn)橫坐標(biāo)為兩條對稱軸距離的一半，

_3

點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-；

2

(2)由題意得：4(3,4),

BC=BD=3,CD=6,

四邊形ACO。的面積=S^CD+SOCD=：x6x4=12.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移，圖象和性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象

中獲取有效信息是解題的關(guān)鍵.

14.(2022.重慶一中九年級階段練習(xí))如圖，已知A(1,1),B(3,9)是拋物線上

的兩點(diǎn)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)△南8的周長最小時(shí)，則此時(shí)的面積為.

【答案】6

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，作出8關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)笈，連接43'交y軸于P,點(diǎn)

尸即為所求，再求出△融B的面積即可.

【詳解】解：如圖，作出8關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)8',則班'軸于點(diǎn)”，連接48'交y軸于尸，

26/52

則點(diǎn)尸就是使△PAB的周長最小時(shí)的位置.

...拋物線y=V的對稱軸是y軸，B、B關(guān)于y軸對稱，

，點(diǎn)P在拋物線y=V上，且PB=PB，,

PA+PB=PA+PB'=AB',

此時(shí)ARIB的周長最小，

,:B(3,9),

/.B'(-3,9),

.??班'=6,點(diǎn)〃的坐標(biāo)是(0,9),

VA(1,1),

/.點(diǎn)A到BB'的距離為9-1=8,

設(shè)直線的直線方程為y=kx+b,把點(diǎn)A和點(diǎn)B'的坐標(biāo)代入后得到，

..3%+6=9

'[k+b=l，

[k=-2

解得八a，

[6=3

...直線&B'的解析式為y=-2x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),

：.PH=OH-OP=6,

此時(shí)SPAB=SABB,-SPBB.=-x6x8-—x6x6=6,

即4PAB的面積為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)

法求解析式，作出8的對稱點(diǎn)是本題的關(guān)鍵.

15.(2022?福建?莆田擢英中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=/圖象上

27/52

的動(dòng)點(diǎn)，且三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為。+1,a,a-1.小華用軟件GeoGebnz對AABC的幾何特

征進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積是個(gè)定值，則這個(gè)定值為.

【分析】作軸于。，BE_Lx軸于E,CF_Lx軸于日求得A、B、C的坐標(biāo)，即可求得

AD=(a+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF-(a-1)2=cz2-2a+l,然后根據(jù)S」ABC=S褶形A￡>PC-S翻形

ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面積是定值1.

【詳解】解:如圖，作AO_Lx軸于。，軸于E,CF_Lx軸于尸，

VA,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a+1,a,a-1,

.,.AD=(a+1)"=a2+2a+\,BE=a2,CF=(a-1)2=a2-2a+l,

.".SAABC=S梯形ADFC-S梯彩ADEB-S梯形BEFC

(a2+2a+l+a2-2a+l)x2--|-(a2+2a+l+a2)(a2+a2-2a+l)xl

=1;

.?.△ABC的面積是個(gè)定值，這個(gè)定值為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，梯形的性質(zhì)以及梯形的面積.此題難度

較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題

16.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，拋物線>=以2-2依+c

與無軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),連接AC,若tan/ACO=g.

28/52

（1）求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AP、BP,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為乙ABP的面積為S,

求S與f的函數(shù)解析式：

【答案】⑴尸2-2x-3

（2）S=2/一4f—6（f>3）

【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)為tanZACO=g求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求

解析式即可求解；

（2）令函數(shù)解析式中y=。，求得8點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）解：點(diǎn)坐標(biāo)為（T,。），tan/ACO=g,

OA=1,0C=3,

.-.C（0,-3）,

將點(diǎn)A（-1,O）,C（0,-3）,代入>=加一2〃%+。得，

〃+2〃+c=0

c=-3

y=x2-2%-3；

（2）解：由2%—3,令y=。，^x2-2x-3=0,

解得：再=一1,%2=3,

/.5（3,0）,

AB=4,

依題意，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為乙一AB尸的面積為S,則P。,r-2r-3）,

S=gx4x（d-2/—3）=2產(chǎn)一期一6,

29/52

即S=2/-4t-6?>3）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，已知正切求邊長,

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，地物線y=法+c與x軸交于

A（—l,0）,3（3,0）兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）.

（1）求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

⑵點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0（機(jī)<3）.直接寫出PCB的面積的

最大值.

【答案】⑴y=/-2x-3

27

⑵一

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【分析】⑴設(shè)拋物線解析式為y=-3）,把點(diǎn)C（0,-3）代入即可求解；

（2）設(shè)尸（利,加2-2〃Z-3）,根據(jù)SPCB=Spoc+SPC?-SBOC即可求出S.PCB與〃7的函數(shù)關(guān)系

式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=q（x+l）（x-3）,

???拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）,

.*.-3=a（0+l）（0-3）