中考數(shù)學難點突破與經典模型專練：直角三角形中由動點引起的分類討論問題（學生版+解析）

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標準，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直

角三角形，這樣列比例方程比較簡便.

結論直角三角形的性質并能靈活應用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，M,A,N是直線/上的三點，AM=3AN=5,尸是直線/外一點，且ZPAN=60。,A41,若動點

。從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是

()

A.直角三角形—等邊三角形—直角三角形—等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形—直角三角形—等邊三角形—直角三角形

二、填空題

2.如圖，中，ZACS=90°,ZABC=60°,BC=2cm,。為8C的中點，若動點E以lcm/s的速

度從A點出發(fā)，沿著Af3—A的方向運動，設E點的運動時間為f秒(0</<6),連接DE,當ABZ組是

直角三角形時，f的值為.

A

3.如圖，在R/AABC中，NC=90?,AC=12,BC=10,。是8c的中點，E是AC上一動點，將△CDE沿

DE折疊到△CZ>E,連接AC,當AEC'是直角三角形時，CE的長為.

4.已知：如圖，正方形ABCD中，AB=2,AC,80相交于點。，E,尸分別為邊BC,CZ）上的動點（點

E,F不與線段BC,8的端點重合）.且BE=CF,連接。E,OF,EF.在點E,F運動的過程中，有下

列四個說法：

①△OEF是等腰直角三角形；

②△OEF面積的最小值是

③至少存在一個ECF,使得，ECF的周長是2+6;

④四邊形OEb的面積是1.

其中正確結論的序號有.

5.如圖，在RdABC中，ZA=90°,A8=4百，AC=4,點。是AB的中點，點E是邊8c上一動點，沿DE

所在直線把△翻折到△夕OE的位置，夕。交邊于點尸,若4為直角三角形，則C8,的長為.

6.如圖，已知N8=45。，AB=2cm,點尸為/ABC的邊8c上一動點，則當8尸=cm時，4BAP

為直角三角形.

7.如圖，長方形ABCD中，ZEWB=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,AB=CD=3.E為邊BC上的一

個動點，將AABE沿AE折疊，使點8落在笈處.

A題：當NEB，C=90。時，EC的長為

B題：當.EB'C為直角三角形時EC的長為

8.如圖，AABC、△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE^9Q°,AB=4,歹是DE的中點，若點、E

是直線3c上的動點，連接則8尸的最小值是.

9.如圖，等邊ABC的邊長是2,點。是線段BC上一動點，連接AO,點E是AD的中點，將線段OE繞

點。順時針旋轉60。得到線段。尸，連接尸C,當CD尸是直角三角形時，則線段8。的長度為.

A

10.已知任意直角三角形的兩直角邊mb和斜邊c之間存在關系式:q2+〃=c2.如圖，在△AM中，/BAC=90。，

AB=AC,點。在2C上，BD=3,8=4,以為一邊作AAOE,使NZME=90。，AD=AE.若點M是。E上

一個動點，則線段CM長的最小值為.

三、解答題

11.已知：如圖，在RtZXABC中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,動點P從點8出發(fā)沿射線BC以lcm/s

的速度移動，設運動的時間為r秒.

⑴求BC邊的長;

(2)當八郎為直角三角形時,求f的值;

(3)當△械為等腰三角形時,求f的值.

12.如圖，在矩形ABCD中,設AB-a,AD=b,且a>b.

⑴若a,b為方程爐-丘+左+4=0的兩根，且8。=2而，求上的值.

(2)在(1)的條件下，尸為8上一點(異于C、D兩點)，尸在什么位置時，為直角三角形？

(3)尸為上一動點(異于C、。兩點)，當a,。滿足什么條件時，使ZVIPB為直角三角形的P點有且只有一

個？請直接寫出a,6滿足的數(shù)量關系.

13.如圖，△ABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P,Q同時從A,B兩點出發(fā)，分別沿AB,3C方向

勻速移動，其中點P運動的速度是lcm/s,點。運動的速度是2cm/s,當點。到達點C時，P、Q兩點都停

止運動，設運動時間為小)，解答下列問題：

⑴當點。到達點C時，尸。與的位置關系如何？請說明理由.

(2)在點尸與點。的運動過程中，V5PQ是否能成為等邊二角形？若能，請求出f,若不能，請說明理由.

(3)則當/為何值時，VBPQ是直角三角形？

14.已知△ABC是等邊三角形，于點。，點E是直線上的動點，將8E繞點B順時針方向旋轉

60。得至連接ERCF、AF.

(1)如圖1,當點E在線段上時，猜想NABC和/MC的數(shù)量關系；(直接寫出結果)

(2)如圖2,當點E在線段A。的延長線上時，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的結論，若不成立,

請寫出你的結論，并證明你的結論；

(3)點E在直線上運動，當AACP是等腰直角三角形時，請直接寫出/E8C的度數(shù).

15.如圖，在三角形ABC中，AB=3,BC=3BAC=6,點。是AC上一個動點，過點。作。fUBC于

點R過點下作FE〃AC,交A8于點E.

(1)當四邊形也為菱形時，則/AE￡)=

(2)當△OEF為直角三角形時，則。=.

16.如圖，矩形0ABe頂點8的坐標為(8,3),定點。的坐標為(12,0),動點P從點。出發(fā)，以每秒2個

單位長度的速度沿無軸的正方向勻速運動，動點。從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方

向勻速運動，P、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過程中，以尸。為斜邊在無軸上方作等腰直角三角

形PQR,設運動時間為f秒，APOR和矩形0A8C重疊部分的面積為S.

(1)當1=時，△PQR的邊QR經過點B

(2)求S關于f的函數(shù)關系式，并寫出f的取值范圍.

17.如圖，在。ABC中，AB=4,3C=6,P是8C邊上一動點，NAPN=/3=60。，過A點作射線AM〃3C,

交射線PN于點D

(1)求AC的長；

(2)求證：AB。=BPAD;

(3)連接CO,若ACD為直角三角形，求的長.

18.矩形ABCD的邊A8在x軸上，點C、。在第一象限，且AD=3,AB=4,點A的坐標為(2,0),如圖(1).

(2)過點A的直線，與矩形ABCD的一條邊交于點E,如果直線I把矩形ABCD分成兩部分圖形的面積比為

1:2,求直線，的解析式;

(3)尸是線段CD上動點，DP=m,連接PB,以尸8為直角邊在PB的逆時針方向作等腰直角三角形尸6。，且

PB=PQ,ZBPQ=9Q°,如圖(2).

①求出點。的坐標(用含優(yōu)的式子表示)；②連接。。，當線段。。的長度最短時，求機的值；

19.問題的提出：如果點P是銳角△ABC內一動點，如何確定一個位置，使點P到ZVIBC的三頂點的距離

之和PA+PB+PC的值為最??？

⑴問題的轉化：如圖，把AAPC繞點A逆時針旋轉60。得到△APC,連接PP,這樣就把確定附+PB+PC

的最小值的問題轉化成確定BP+PP+PC'的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示

意圖，并證明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C；

圖1

(2)問題的解決：當點尸到銳角AABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，則/APB的度數(shù)是

,NAPC的度數(shù)是；

(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30。的直角三角形，如果斜邊為2,點尸是這個三角形內一動點，請

你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

圖2

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線4：y=&x+機與y軸交于點A(0,3),直線與

尤軸交于點8,點M,N分別是直線4，4在第一象限內的動點，且/MON=60?,連接MN.

⑴直接寫出機的值，點2的坐標，/Q4M及/。師的度數(shù);

⑵求AAT3N的值；

(3)當MON是直角三角形時，直接寫出點M的坐標.

21.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點8和點C在x軸上，點A在y軸上，OB=OC=a,AB=b,

且a,b滿足(a-2)2+(6-4)2=0.

(1)證明△ABC為等邊三角形；

(2)現(xiàn)有一動點P從點A沿y軸負方向運動，速度為1個單位長度每秒，連接CP,在CP的下方作等邊三角

形尸CQ過點。作無軸，垂足為。，設點p的運動時間為r秒，QD的長度為d,求d與r之間的關系式;

(用含r的式子表示d)

⑶在(2)問的條件下，已知04=2如，當△POC為等腰直角三角形時，求f的值，并求出此時直線PQ與

無軸的交點E的坐標.

22.如圖1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E是CD邊上一點，連接AE,將矩形ABCD沿AE折疊，

頂點。恰好落在8C邊上點F處,延長AE交8C的延長線于點G.

⑴求線段CE的長；

(2)如圖2,M,N分別是線段AG,DG上的動點(與端點不重合)，旦NDMN=NDAM,設DN=x.

①求證四邊形AFGO為菱形；

②是否存在這樣的點N,使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

23.如圖，矩形Q4BC頂點B的坐標為(8,3),定點。的坐標為(12,0).動點P從點。出發(fā)，以每秒2個單

位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點。從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻

速運動.尸、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR,

設運動時間為f秒，△尸QR和矩形Q4BC重疊部分的面積為S.

(1)當仁時，△尸已火的邊QR經過點3；

(2)求S關于r的函數(shù)關系式，并寫出f的取值范圍.

24.如圖，在平面直角坐標系中，RtAlBC的斜邊A2在無軸上，點C在y軸上，ZACB=90°,點A坐標

3

(-9,0),直線BC的解析式為y=-1尤+12,點。是線段上一動點(不與點夙點C重合)，過點。

作直線。EL03,垂足為￡.

⑴求點2、點C的坐標；

⑵求直線AC的解析式；

(3)若點N在射線。E上，是否存在點N使.8CN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點。的坐標；若

不存在，請說明理由.

(4)連接A。，當AO平分/CA8時，請直接寫出直線AO的解析式.

25.已知，ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊A8所在的直線上，以PC為直角邊作等腰用,PCQ,

/PCQ=90。.探究并解決下列問題：

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若點P在線段A3上，AC=\+yl3,PA=①，則線段尸8=;PC=

⑵如圖2,若點P在AB的延長線上，猜想以、PB、尸C的數(shù)量關系,并證明;

⑶如圖3,若動點尸滿足P簽A=15,則?PC的值為.

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標準，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三■角比或勾股定理列方程.

有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直

角三角形，這樣列比例方程比較簡便.

結論直角三角形的性質并能靈活應用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖,M,A,N是直線/上的三點，AM=3AN=5，尸是直線/外一點，且ZPAN=60°,AP=1,

若動點。從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在△APQ形狀的變化過程中，依

次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形—等邊三角形—直角三角形—等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形-等邊三角形-直角三角形

【答案】D

【分析】根據按照。在線段AM和線段4V上進行分類討論即可.

【詳解】解：N9V=60°,AP=1,

?*.ZPAM=180°-60°=120°,

①當。在線段A"上，只能形成等腰三角形，當AQ=AP=1時，△A?。為等腰三角形;

②當。在線段⑷V上時，NAQP逐漸減小，

當/AQP=90。時，△APQ為直角三角形，此時/人尸。=30。,4。=：4尸=：；

當/AQP=60。時，△APQ為等邊三角形，止匕時AQ=”=1；

當NAQP=30。時，：/P4N=60。，NAPQ=90。，△APQ為直角三角形，止匕時

11/64

PQ=2AP=2,AQ==y/3

???△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等邊

三角形-直角三角形；

故選D.

【點睛】本題考查特殊三角形的判定.熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判

定方法是解題的關鍵.

二、填空題

2.如圖，MA4BC中，ZACB=90°,NABC=60。，BC=2cm,。為2C的中點，若動點E

以Icm/s的速度從A點出發(fā)，沿著Af3fA的方向運動，設E點的運動時間為f秒

(0<1<6),連接DE,當A6DE是直角三角形時，f的值為.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出A2的長，再分①/BDE=90。時，DE是△A2C的中位線，然后求出AE的

長度，再分點E在上和在區(qū)4上兩種情況列出方程求解即可；②NBEO=90。時，含30

度角的直角三角形的性質，勾股定理求出BE,然后分點E在AB上和在BA上兩種情況列出

方程求解即可.

【詳解】解：VZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

：.ZA=30°,AB=2BC=4(cm),

①/8OE=90°時，

/3=60。,

：.NDEB=30°,

，EB=2DB=BC=2

'.AE=AB-BE=2(cm),

點E在AB上時，Z=2-l=2(秒)，

點E在BA上時，點E運動的路程為4x2-2=6(cm),

12/64

.,.Z=64-l=6（秒）；

②NBEZ)=90。時，BE=-BD=-BC=0.5(cm),

24

點E在AB上時,t=(4-0.5)+1=3.5(秒)，

點￡在2A上時，點E運動的路程為4+0.5=4.5(cm),

f=4.5X=4.5(秒)，

V0<r<6

綜上所述，r的值為2或3.5或4.5或6,

故答案為：2或3.5或4.5或6.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是分情況討論.

3.如圖，在MAABC中，/C=90?,AC=12,BC=10,。是BC的中點，E是AC上一動

點，將△CDE沿DE折疊到△COE,連接AC,當AEC'是直角三角形時，CE的長為

【答案】7或5

【分析】分兩種情況進行分類討論：①當/AEC'=90?時，求CE的長；②當NAC'E=90。時,

求CE的長.

【詳解】解：①如圖1,當-4￡。'=90?時，ZCED=ZC'ED=45°,

ZC=9O°,

:.ZCDE=ZCED=45°,

QBC=10,。是BC的中點，

:.CD=CE=5.

②如圖2,當NAC'E=9O。時，由折疊性質知NDC'E=NC=9O。，

ZDCE+ZACE=180°,

二DC,A三點共線.

CD=DB=5AC=12,

.,.在&AAC。中，AD=\l52+121=13>

設CE=C'E=x,

13/64

/.AE=12—x,

???在H/AAC石中,X2+(13-5)2=(12-X)2,

10

x——.

3

綜上所述，CE的長為：5或半

【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學會用分類討論的思想思考

問題是解題的關鍵.

4.已知：如圖，正方形ABCD中，AB=2,AC,相交于點。，E,F分別為邊BC,CD

上的動點(點區(qū)尸不與線段BC,的端點重合).且BE=CF,連接OE,OF,EF.在

點E,尸運動的過程中，有下列四個說法：

①是等腰直角三角形；

②△(?￡尸面積的最小值是:；

③至少存在一個ECF,使得ECF的周長是2+君；

④四邊形OEC歹的面積是1.

其中正確結論的序號有.

【答案】①②④

【分析】證明VCOE@VDOP,可得OE=OF,?COE1DOF,可得到①；再由當OEL3c

時，OE最小，止匕時OE=OF=g3C=l,可得△OEF面積的最小值是;，可得到②正確;

設CE=x，則跳：=CF=2—x,根據勾股定理可得EE=j2(x-iy+2,從而得到近￡EF<2,

14/64

得③錯誤；再根據VCOE@^。。尸，可得S四邊形OECF=+SAOCF==7S正方形ABCD，可

得④正確；即可求解.

【詳解】解：?.,四邊形ABC。是正方形，

:.BC=CD,?OCB?ODC45?。。OD,ZDOC=90°,

???BE=CF,

:.CE=DF,

：,NCOE?DOF,

：.OE=OF^COE?DOF,

：.?EOF1COE1COF1DOF1COF1DOC90?,

???△O￡F是等腰直角三角形，故①正確；

當時，OE最小，止匕時。石=。/=！5。=1,

2

???△O石尸面積的最小值是（。石?。尸=（，故②正確；

22

,:BE=CF,

:.CE+CF=BE+CE=BC=2,

設CE=x,則BE=CF=2—x,

JEF=^X2+（2-X）2=^2（X-1）2+2,

J,ECF的周長是EF+CE+CF=EF+2,

*/0<Y<2,

?,A/24EF<2，

，EF+2<4

，不存在一個cECF,使得，ECF的周長是2+如，故③錯誤；

?：NCOE@DOF,

1"S四邊形OECF=S^COE+S^OCF=SfJWF+SAOBE=^AODC=[$正方形ABC。=1*2*2=1,故④正確；

故答案為：①②④

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質、勾股

定理以及等腰直角三角形的性質.注意掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵.

5.如圖，在MAABC中，ZA=90°,AB=",AC=4,點。是48的中點，點E是邊8c上

一動點，沿DE所在直線把A8OE翻折到的位置，BT>交邊BC于點F,若ACB生為

直角三角形，則CB的長為.

15/64

【分析】當△8尸為直角三角形時，需要分類討論，點C,B"下分別為直角頂點時，畫

出圖形求解即可.

【詳解】解：在RtaABC中，ZA=90°,AB=4y/3,AC=4,點。是A3的中點，

BC=8,ZB=30°,AD=BD=26,

由折疊可知，BD=B'D=273,

/.AD=BD=B'D=2A

①由點運動可知點C不可能是直角頂點；

②如圖，當點尸為直角頂點，即NCF?=90。，

:.DF=：BD=6,BF=-J3DF=3,

B'F=43,CF=5,

:.CB，=J(廚+5?=2幣;

③如圖，當點"是直角頂點時，即NCB/=90。，連接。,

在RtZ\A8與RtA現(xiàn)第中，

jCD=CD

[A。=B'D

：.RtAACD=Rt△B'CD(HL),

.?.CB'=C4=4,

16/64

故答案為：2"或4.

【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈

活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，已知NB=45。,AB=2cm,點P為/ABC的邊2C上一動點，則當BP2=cm

時，△BAP為直角三角形.

【分析】由于直角頂點不能確定，故應分/AP8=90。與/BAP=90。兩種情況進行分類討論.

【詳解】解：①當NAPB=90。時，

VZB=45°,AB=2cm,

：.BP=APX,

貼2+&￥=4笈=4,

貼2=2.

②當NBAP=90°時，

VZB=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=2,

：.B/^2=AB2+A^2=8.

故本題答案為：2或8.

【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

7.如圖，長方形ABCD中，ZZMB=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,AB=CD=3.E為

邊BC上的一個動點，將AABE沿AE折疊，使點B落在B'處.

A題：當NE￡C=90。時，EC的長為.

B題：當，EB'C為直角三角形時EC的長為.

17/64

【答案】

i封者?

【分析】A題：設=則￡?，=彳，根據矩形折疊性質易得3、供E三點共線，由勾

股定理求出AC的長度，在△3'EC中利用勾股定理可解得x的值，即可得到比的長度；

8題：找出直角三角形，再根據勾股定理分情況求解即可.

【詳解】解：A題：設=則￡?'=》，

由折疊的性質可得NAB，E=/B=90，

VZEB'C=90，

：?B、E三點共線，

根據勾股定理得，AC=y/AB2+BC2=5，

：.B^S=AC-BC=2,

EC2^EB'2+B'C2,

：.（4一尤y=V+2?,

3

解得：X）,

EC=4-|=|,

22

B題：當N￡B'C=90,EC=g；

故答案為：（;f■或1.

22

【點睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關鍵是熟悉折疊的性質和勾股定理.

8.如圖，AABC、△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=9Q0,A8=4,F是DE

18/64

的中點，若點E是直線BC上的動點，連接則8尸的最小值是

【答案】2

【分析】由AABC、△ADE都是等腰直角三角形，可得出：根據相似三角

形的性質得到推出點A,D,B,￡四點共圓，得到/。2￡=90。，根據直角

三角形的性質得到=當。E最小時，2尸的值最小，DE最小，根據相似三角形的

性質即可得到結論.

【詳解】解：如圖,

VAABC>△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4

.ABAV)

一=1,AC=AB=4

ACAE

：.AABCSAADE,

：.ZADE=ZABE,

...點A,D,B,E四點共圓,

ZDAE=9Q°,

：.ZDBE=9Q°,

?.?尸是OE的中點，

:.BF=-DE,

2

...當OE最小時，8斤的值最小，

:若點E是直線BC上的動點，

.?.當AE_LBC時，AE最小，此時，DE最小,

ZBAC=90°,AB=4,AC=4,

BC=4y/2,

ABAC4x4_,r-

AE=忑=2h,

BC

:△ABCs△ADE,

19/64

ACBC

,AE-DE'

.4_40

"2^2~~DE，

DE=4,

：.BF=2,

.?.2尸的最小值是2.

故答案為:2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積公式，四點共圓，直角三角形

的性質，確定出當。E最小時，2尸的值最小是解題的關鍵.

9.如圖，等邊.ASC的邊長是2,點。是線段2C上一動點，連接AO,點E是AD的中點，

將線段DE繞點。順時針旋轉60。得到線段連接FC,當_8尸是直角三角形時，則線

段50的長度為.

C

【答案】1或g4

【分析】.C"是直角三角形分三種情況討論：①當40c=90。時，當點/在AC上時，

根據等邊三角形的性質得NFDC=180。-/。尸C-NC=30。，根據旋轉的性質得=，

根據等腰三角形三線合一，得8D=g8C=l.②4>CF=90。延長O尸到G使。G=ZM,連

接AG、CG,過G作GHLBC交延長線于H,根據相全等三角形的判定得△ABD冬

ACG,即CG=2CH,設CH=x,則CG=6D=2x,由旋轉性質得出￡>歹=^r>G,再由

2

DCDF

相似三角形的判定得出再由相似的性質得出三7===彳1，即8。=4；；

DHDG23

③當NCDF=90°時，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180°,/CDF=90°不成立.

【詳解】解：①當4RC=90。時，

20/64

A

當點歹在AC上時，

ABC是等邊三角形且邊長為2,

.-.AB=AC=BC=2,ZC=60°,

.?./FDC=180?！珻—NC=30。,

AE旋轉60。得到線段。尸，

:.ZEDF=60°,

ZADC=NEDF+NFDC=90°,

ADAC=180。一ZADC-ZC=30°,

:.DF=~AD,

2

E是AD的中點，

:.DE=-AD,

2

:.DE=DF,

即ADIBC時，ZDFC=90°,

:.BD=-BC=1；

2

②/DC尸=90°,如圖，

延長。尸到G使。G=D4,

連接AG、CG,

過G作GH_L5c交BC延長線于H,

21/64

AD=DG,ZADG=60°f

ADG是等邊三角形，

/.ZZMG=60°,AD=AG,

—ABC是等邊三角形，

:.AB=ACfZBAC=ZB=ZACB=60°,

.\ZBAC=ZDAGf

ABAC-ADAC=ZDAG-ZDAC,

即NB4D=NC4G,

在△AB。和5ACG中，

AB=AC

</BAD=/CAG,

AD=AG

:.^ABD^^ACGCSAS)f

:.BD=CG,ZB=ZACG=60°,

Z.GCH=180°-ZACB-ZACG=60°,

GHLBC,

:.ZH=90°,

:.ZCGH=30°,

:.CG=2CH,

設S=x,貝iJCG=5Q=2x,

￡是">中點，

:.DE=-AD,

2

由旋轉性質可知。尸=DE,

AD=DG,

:.DF=-DG,

2

/DCF=90°=/H,/CDF=/HDG,

DCFsADHG,

DCDF_1

,DH~DG~2，

DC=-DH,

2

DC=CH=x,

BD+DC=2,

:.2x+x=2,

22/64

2

③當/CDF=90°時，

QZADF=60°,ZADB>ZACB=60°,

ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180°,

.?.NCDF=90。不成立，

.4

綜上，_BZ)=1或1;

4

故答案為：1或

【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉問題.通過旋轉構造另外的等邊三角形以及全等

手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋

轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質

是解題的關鍵.

10.已知任意直角三角形的兩直角邊6和斜邊c之間存在關系式:a2+b2=c2.如圖，在△ABC

中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在BC上,BD=3,CD=4,以AD為一邊作^ADE,使ZDAE=90°,

AD=AE.若點M是。E上一個動點，則線段CM長的最小值為.

【分析】連接CE,過點C作SLDE于點H,首先證明RW已C4E,可推導CE=3D=3,

=再證明由勾股定理計算DE=JC￡2+CD2=5,

12

然后借助三角形面積求出CH=(,根據“垂線段最短”可知，當即M、X重合

時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案.

【詳解】解：連接CE,過點C作于點X,如下圖，

23/64

E

M

BDC

,：ABAC=ZDAE=90°,BPZBAD+ZZMC=ZZMC+ZC4E,

:.NBAD=NCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：.ABAD且ACAE(SAS),

；?CE=BD=3,ZACE=ZB,

???ZBAC=90°,

???ZB+ZACB=180°-ZfiAC=90°,

AZACE-hZACB=ZB+ZACB=90°,即NECD=90。，

?，?在&△CDE1中，DE=dCE?+CD2="+42=5，

CH上DE,

：.SVCDE=gcD.CE=3DE?CH,即:x4x3=；x5xCH,

12

解得CH=(

:點M是。E上一個動點，則當CM_LDE,即M、〃重合時，線段CM的長取最小值，

12

此時CM=C〃=(.

12

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構建

全等三角形是解題關鍵.

三、解答題

11.已知：如圖，在RtA4BC中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,動點P從點8出發(fā)沿

射線3c以Icm/s的速度移動，設運動的時間為r秒.

⑴求8C邊的長；

(2)當八鉆。為直角三角形時，求r的值;

24/64

⑶當A45尸為等腰三角形時，求才的值.

【答案】⑴3cm

(2)3或等

⑶5或6或后25

6

【分析】(1)利用勾股定理即可求出結論；

(2)由題意可得：BC=tcm,NBH90。，然后根據直角三角形直角的情況分類討論，利用

勾股定理等知識即可解答；

(3)當&WP為等腰三角形，根據等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應的圖形,

根據三線合一、勾股定理等知識即可解答.

(1)

解：:在RfABC中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

BC=7AB2-AC2=3cm-

(2)

解：BC=tcm,ZB90°

當NAPB=90。時，點尸與點C重合，

BP=BC,

即占3；

當NR鉆=90。時，如下圖所示：

CP=BP-BC=(t-i)cm.

?/AC2+CP2=AP-=BP--AB2,

42+(?-3)2=f2-52,

解得：仁g.

綜上：當A4B尸為直角三角形時，心或停;

(3)

解：當A5=AP時，如下圖所示：

25/64

A

■:AC1BC,

：.BP=2BC,

即，=2x3=6.

當=時，如下圖所示:

當釬時，如下圖所示:

則CP=臺。-2?/1=（3-f）cm,AP-BP-t,

在RfAPC中，AC2+CP2=AP2,

即42+（3-t）2=t2,

25

解得：t=§.

6

25

綜上：當△檎為軸對稱圖形時，r=5或6或胃.

【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質，掌握勾股定理、等腰三角形的性質是

解決此題的關鍵.

12.如圖，在矩形A3CD中，設AB%,AD=b,且a>6.

⑴若a,6為方程d一立+左+4=0的兩根，且8。=2加，求左的值.

⑵在（1）的條件下，P為CD上一點（異于C、D兩點），尸在什么位置時，△4PB為直角

三角形？

26/64

(3)P為8上一動點(異于C、。兩點)，當a人滿足什么條件時，使ZvlPB為直角三角形的

P點有且只有一個？請直接寫出a,b滿足的數(shù)量關系.

【答案】⑴k=8

⑵P在(3+6)或(3-病位置時，AAPB為直角三角形

(3)a=23

【分析】(1)根據矩形性質求出HADB斜邊與兩直角邊的關系，根據兩直角邊又是一元二

次方程的解，由此即可求解；

(2)在矩形中，AAPB為直角三角形，則可找出咫CBP?RtDPA,根據對應邊的比相等，

即可求解；

(3)求唯一值，可以根據一元二次方程的判別式△=()來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊

與點尸的數(shù)量關系，由此即可求解.

(1)

解：；8。=2瓦且是矩形ABC。的對角線，在HAD3中，AB^a,AD=b,

BD=Va2+b2=2>即a2+廿=(a+b)2-2ab=40,

a,6為方程d-依+k+4=0的兩根，根據韋達定理得，

a+b=—(—左)=k,ab=k+4,

???左2-2(。+4)=40,解一元二次不等式得，

%=-6,攵2=8.

當人=-6時，原方程得爐+6元-2=0,則彳=-6±用+8不符合題意,故舍去；

2

當k=8時，原方程得8%+12=。，則少=8±&-8)2-48=型,

22

a-6,b=2,符合題意，

故答案是：k=8.

(2)

解：根據(1)得，。=6,6=2,如圖所示，

設￡>P=x,則C尸=6-x,

若zMPB為直角三角形，在矩形ABCD中，RtCBP-RtDPA,

27/64

「Rr)p9丫

,即^—=",解分式方程得，占=3+君，羽=3-君,

CPDAo-x2

二產在(3+出)或(3-?)位置時，AAPB為直角三角形.

(3)

解：根據題意

設DP=m,貝l]CP=4—x,

若△APB為直角三角形，在矩形ABC。中，RtCBP-RtDPA,

：尸點有且只有一個，

(―a)?—4b~=0,即a?=4b2>

a=2b,

故答案是：a=2b.

【點睛】本題主要考查的矩形的性質，相似三角形的運用，理解和掌握矩形的性質，相似三

角形的性質是解題的關鍵.

13.如圖，△ABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P,。同時從A,B兩點出發(fā)，分別

沿AB,8C方向勻速移動，其中點尸運動的速度是lcm/s，點。運動的速度是2cm/s,當點。

到達點C時，尸、。兩點都停止運動，設運動時間為小)，解答下列問題：

⑴當點Q到達點C時，PQ與AB的位置關系如何？請說明理由.

(2)在點尸與點。的運動過程中，VBPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出/,若不能,

請說明理由.

⑶則當t為何值時，VBPQ是直角三角形？

【答案】(1)PQ與垂直，見解析

(2)能,4

(3)1=2.4秒或t=6秒

【分析】(1)根據題意求出AP的長度，則可知點尸為A3的中點，根據等邊三角形的性質

即可得出答案；

(2)若VBPQ是等邊三角形，則3P=尸。=8。，列出相應方程求解即可；

28/64

(3)分兩種情況進行討論：當N3QP=90?時；當ZBPQ=90。時.

(1)

當點。到達點C時，尸。與A3垂直，

理由如下：

,/AB=AC=BC=12cm,

，當點。到達點C時，可得AP=6cm,

，點尸為AB的中點，

/.PQLAB；

(2)

假設在點P與點Q的運動過程中，7BPQ能成為等邊三角形，

：.BP=PQ=BQ,

12-t=2t,解得?=4,

.?.當仁4時，V8PQ是等邊三角形；

(3)

根據題意得AP=t,僅2=2/,

BP=12-t,

當NBQP=90?時，

/PBQ=60?,

?：ZBPQ=30°,

：.BQ=^BP,即2t=；(12-f),解得r=2.4秒；

當/3尸0=90。時，同理可得12-r=！x2t,解得占6秒，

2

.?.當7=2.4秒或f=6秒，V8PQ是直角三角形.

【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含30。的直角三角形，等邊三角形的性質，幾何

動點問題，讀懂題意，根據題意列出相應的方程是解本題的關鍵.

14.已知△ABC是等邊三角形，AOL8C于點。，點E是直線上的動點，將BE繞點8

順時針方向旋轉60。得到連接ERCF、AF.

⑴如圖1,當點E在線段AD上時，猜想NAPC和/以C的數(shù)量關系；(直接寫出結果)

29/64

(2)如圖2,當點E在線段AD的延長線上時，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的

結論，若不成立，請寫出你的結論，并證明你的結論；

(3)點E在直線上運動，當△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出/EBC的度數(shù).

【答案】⑴/AFC+N網C=90?,證明見解析

(2)成立，理由見解析

(3)15°或75。

【分析】(1)由旋轉的性質可得NEBF=60°,由“SAS”可證,可得

ZBAE=ZBCF=30°,由直角三角形的性質可得結論；

(2)由旋轉的性質可得凡ZEBF=6Q°,由“SAS”可證,ABE咨CB7"可得

NBAE=NBCF=30°,由直角三角形的性質可得結論；

(3)由全等三角形的性質和等邊三角形的性質可得AB=AE,再分這情況討論，結合等腰三

角形的性質可求解.

(1)

解：-4FC+/E4c=90?,理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

\"AB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=30°,

:將BE繞點8順時針方向旋轉60。得到BF,

：.BE=BF,/EBF=60°,

：.NEBF=NABC,

:.NABE=NFBC,>AB=BC,BE=BF,

：..ABE^,CBF(SAS)

ZBAE=ZBCF=30°,

：.ZACF=90°,

ZAFC+ZFAC=9Q°■,

(2)

(1)的結論仍然成立，理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZBAC=ZACB^60°,

\"AB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=30°,

,/將BE繞點B順時針方向旋轉60。得到BF,

30/64

；?BE=BF,ZEBF=60°,

：.NEBF=/ABC,

:?/ABE=/FBC,>AB=BC,BE=BF,

；?-ABE—CBF(SAS)

???ZBAE=ZBCF=30°,

???ZACF=90°,

???ZAFC+ZMC=90°；

(3)

如圖，當點E在點A下方時，

???AACF是等腰直角三角形,

:.AC=CF,

???△ABEmdCBF,

：.CF=AE,

：.AC=AE=ABf

180?-

ZABE=

2

：.NEBC=NABE—NABC=L5?,

如圖，當點E在點A上方時,

同理可得：^BAD=3Q?AB=AC=AE,

：.2AB石=15?,

：.ZEBC=75°.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性

質，旋轉的性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

15.如圖，在三角形ABC中，AB=3,BC=3日AC=6,點。是AC上一個動點，過點。

作。尸，8C于點孔過點尸作FE〃AC,交A3于點及

（1）當四邊形ADFE為菱形時，則NAEZ）=

（2）當△DE尸為直角三角形時，則CD=.

31/64

【答案