中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)拓展訓(xùn)練：幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（原卷版+解析）

專題38幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（原卷版）

典例剖析+針對訓(xùn)練

類型一點在直線上運(yùn)動

典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形的邊長為4,E為BC上一點、,且BE=1,尸為AB邊上的

一個動點，連接ER以所為邊向右側(cè)作等邊連接CG,則CG的最小值為（）

A.0.5B.2.5C.V2D.1

針對訓(xùn)練

1.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB^AC,BC=6,tanZACB=2V3,點P在邊AC上運(yùn)動（可

與點A,C重合），將線段8尸繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段。P,連接8。，CD,則CO長的最小

值為—.

2.（2021秋?忠縣期末）如圖，在△4BC中，ZACB=90°，點。在8c邊上，BC=5,CD=2,點E是邊

AC所在直線上的一動點，連接OE,將繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到。凡連接8E則3尸的最

小值為.

3.（2021秋?東臺市期中）如圖，在矩形A8CZ）中，對角線AC,8。相交于點0,AB=6,ND4c=60°,

點F在線段AO上從點A至點O運(yùn)動，連接。凡以。尸為邊作等邊三角形。尸E,點E和點A分別位于

。尸兩側(cè)，則點E運(yùn)動的路程長是—.

類型二點在圓上運(yùn)動

典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：

如圖①，點。為坐標(biāo)原點，O。的半徑為1,點A（2,0）.動點&在O。上，連接A8,作等邊△ABC

（A,B,C為順時針順序），求OC的最大值

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接。3,以08為邊在

的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.

（1）請你找出圖中與0C相等的線段，并說明理由；

（2）線段OC的最大值為.

【靈活運(yùn)用】

（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2,0）,點8的坐標(biāo)為（5,0）,點P為線段48外

一動點，且B4=2,PM=PB,90°,求線段AM長的最大值及此時點尸的坐標(biāo).

【遷移拓展】

（4）如圖③，BC=4/,點。是以BC為直徑的半圓上不同于8、C的一個動點，以8。為邊作等邊△

ABD,請直接寫出AC的最值.

針對訓(xùn)練

1.（2022秋?天寧區(qū)校級期中）已知。。的半徑長7CMJ,尸為線段OA的中點，若點P在O。上，則。1的

長是cm.

2.（2021秋?嘉興期末）如圖，的直徑A8=2,C為。。上動點，連結(jié)C8,將C8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得到CD,連結(jié)OD,則OD的最大值為.

3.（2021秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=16,8C=12,點P在以AB為

直徑的半圓上運(yùn)動，由點B運(yùn)動到點A,連接CP,點M是C尸的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為.

4.（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段A8為。O的直徑，點C在的延長線上，A8=4,BC=2,點P是

上一動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtZ\PC。，且使NZ）CP=60°,連接。￡>,則。。長

5.（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A、C

兩點，拋物線y=/+/zx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為艮

（1）求拋物線解析式；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運(yùn)動到某一位置時，△A2M的面積等于△ABC面積的

3

求此時點M的坐標(biāo)；

(3)如圖2,以8為圓心，2為半徑的與x軸交于E、尸兩點(尸在E右側(cè))，若P點是上一動

點，連接B4,以孫為腰作等腰RtARW,使NP4O=90°(P、A、。三點為逆時針順序)，連接FD求

如長度的取值范圍.

圖1圖2

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2022?安徽一模）如圖，正方形4BC。的邊長為5,E為BC上一點,,且8E=2,尸為AB邊上的一個動

點，連接EF,以為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

2.（2021?泰安）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,8C=5百，點P在線段8c上運(yùn)動（含3、C兩點），連

接AP,以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到A。，連接?！?則線段。。的最小值為（）

D

BP

5廠5<3

A.-B.5V2C.-----D.3

23

3.(2022秋?惠山區(qū)校級月考)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是△ABC邊上一動點,

連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OP。，當(dāng)點尸在△ABC邊且運(yùn)動一周時，點。的

軌跡形成的封閉圖形面積為（）

4.（2021秋?沐陽縣校級期末）如圖，線段AB=2,點C為平面上一動點，且NACB=90°,將線段AC的

中點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A。，連接8Q,則線段8Q的最大值為.

5.（2022?邢江區(qū)校級一模）如圖，點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點,AN，無軸于點M,交直線尸-爭

于點M點尸是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,點尸在線段ON上運(yùn)動時，A點不變，

B點隨之運(yùn)動，當(dāng)點P從點O運(yùn)動到點N時，點8運(yùn)動的路徑長是.

6.（2020春?江陰市期中）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點尸是以。為圓心，2個單位長

為半徑的圓上的一個動點，連接AP,以AP為邊向A尸右側(cè)作等邊三角形4PB.當(dāng)點尸在。。上運(yùn)動一

周時，點8運(yùn)動的路徑長是.

7.（2019秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，O。的半徑為2,。到定點A的距離為5,點2在上，點尸是線段

的中點，若2在O。上運(yùn)動一周.

（1）點P的運(yùn)動路徑是一個圓；

（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

（1）思路引導(dǎo)

要證點P運(yùn)動的路徑是一個圓，只要證點P到

定點M的距離等于定長r,由圖中的定點、定長

可以發(fā)現(xiàn)r.

8.若AC=4,以點C為圓心，2為半徑作圓，點尸為該圓上的動點，連接AP.

(1)如圖1,取點8,使△ABC為等腰直角三角形，N8AC=90°,將點尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

AP'.

①點P'的軌跡是(填“線段”或者“圓”

②CP的最小值是；

(2)如圖2,以AP為邊作等邊△APQ(點A、P、。按照順時針方向排列)，在點尸運(yùn)動過程中，求C。

的最大值.

(3)如圖3,將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到點連接則CM的最小值為.

9.已知：如圖，是。。的直徑，C是。。上一點，OOLAC于點。，過點C作。。的切線，交。。的延

長線于點E,連接AE.

(1)求證：AE與OO相切；

(2)連接BZ),若ED：。。=3：1,04=9,求AE的長；

(3)若AB=10,AC=8,點尸是O。任意一點，點M是弦AF的中點，當(dāng)點P在O。上運(yùn)動一周，則

點/運(yùn)動的路徑長為

10.(2021?遵義)點A是半徑為2百的。。上一動點，點8是(DO外一定點，08=6.連接。A,AB.

(1)【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時，連接OC,求OC的最大值；

將下列解答過程補(bǔ)充完整.

解：將線段繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°到。B,連接。O',CO'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：ZOBO'=60°,BO'=BO=6,即△02。'是等邊三角形.

AOO'=30=6

又「△ABC是等邊三角形

/.ZABC=60°,AB=BC

：.ZOBO'=NABC=60°

：.ZOBA^ZO'BC

在△OBA和△O'BC中，

OB=O'B

^OBA=乙O'BC

.AB=CB

AOBA2△()'BC(SAS)

：.OA=O'C

在△OO'C中，OC<OO'+O'c

當(dāng)0,O',C三點共線，且點C在。O'的延長線上時，OC=OO'+O'c

即oc^oo'+o'c

...當(dāng)。，O',C三點共線，且點C在。。'的延長線上時，OC取最大值，最大值是_6+2舊_.

(2)【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABC。是正方形時，連接OC,求OC的最小值；

(3)【理解運(yùn)用】如圖③，當(dāng)△ABC是以A8為腰，頂角為120°的等腰三角形時，連接OC,求OC的

最小值，并直接寫出此時AABC的周長.

專題38幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（解析版）

典例剖析+針對訓(xùn)練

類型一點在直線上運(yùn)動

典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形A8CD的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,

P為4B邊上的一個動點，連接EF,以為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG

的最小值為（）

A.0.5B.2.5C.V2D.1

思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點廠為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造

全等關(guān)系，得到點G的運(yùn)動軌跡,之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點尸是主動點，點G是從動點，點廠在線段上運(yùn)動，點G也一定在線

段軌跡上運(yùn)動

將繞點E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得到△￡/〃?，連接得到△￡■尸8之4

EHG

從而可知為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，

延長交CO于點N.

則AEFB經(jīng)△EHG,

：.HE=BE=1,/BEH=60°,ZGHE=ZFBE=90°,

AEBH為等邊三角形.

???四邊形ABC。是矩形，

AZFBE=90°,

：.ZGHE=ZFBE=90°,

.,.點G在垂直于HE的直線HN上，

作CM_L8N,由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，

作EP_LCAf,連接BH,EH,

則四邊形為矩形，

：.MP=HE=1,ZH￡P(guān)=90°,

：.ZPEC=30°.

,:EC=BC-BE=3,

13

JCP=尹c=I，

35

CM=MP+CP=1+1=I，

即CG的最小值為|.

8/41

方法二：以CE為邊作等邊三角形CE8,連接切,

則Z\CEG注△EFH,

：.CG=FH,

當(dāng)FHLW時，m最小=1+1=|.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)

造全等，從而判斷出點G的運(yùn)動軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形

計算，是極值問題中比較典型的類型.

針對訓(xùn)練

1.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△A8C中，AB^AC,2C=6,tan/ACB=2舊，點

尸在邊AC上運(yùn)動（可與點A,C重合），將線段B尸繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段

DP,連接8。，CD,則CD長的最小值為.

BC

思路引領(lǐng)：以BC為邊構(gòu)建出和△2PD相似的三角形，通過將CD邊轉(zhuǎn)化為其他邊來求

值.

解：如圖所示，以8c為底邊向上作等腰△BQC,使/BQC=120°,連接尸。.

9/41

D

BC

由題意可得△BQC和△BP。均為頂角為120°的等腰三角形,

BP1

可得一=—=7，ZQBC=ZPBD=30°，

BCBDV3

ZQBC-ZQBD=ZPBD-ZQBD,

:./PBQ=NDBC,

:APBQS/XDBC,

,PQBQ1

""DC-BC-VT

...當(dāng)PQJ_AC時，有尸。最小，即此時C￡>最小,

如圖所示，設(shè)OP±AC,延長4。與BC交K,此時QP為QP的最小值,

可得AKLBC,

?.?△BQC中，ZBQC=nO°,BC=6,

：.BK=3,NQBK=30°,

叵

-?-QCNK=瓦BK=V3,

"：tanZACB=2百=差，KC=3,

：.AK=243KC=6V3,

J.AQ^AK-QK=5V3,AC=>JAK2+KC2=3V13,

VZAP'Q=ZAKC=90°,ZQAP'=ZCAK,

：.△AQPs.CK,

.AQQPr

??一，

ACKC

5V3QP1

-3^13—3

.Qp;警,

10/41

CD=y[3QP'=

總結(jié)提升：本題考查的是瓜豆原理的知識點，重難點在于構(gòu)造相似三角形的手拉手模型，

屬于難題.

2.（2021秋?忠縣期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°，點。在8c邊上，BC=5,CD

=2,點E是邊AC所在直線上的一動點，連接。E,將。E繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°

得到DF,連接BF,則BF的最小值為_.

思路引領(lǐng)：由“SAS”可證ADHE絲ADBF,可得EH=BF,則當(dāng)EH有最小值時，BF

有最小值，由垂線段最短可得：當(dāng)EHLAC時，即有最小值，即可求解.

解：如圖，以8。為邊作等邊三角形。8"，連接EH,過點〃作于N,

CDNB

'：BC=5,CD=2,

，8。=3,

:ADHB是等邊三角形,HN1BD,

：.DN=BN=DB=DH,/HDB=60°,

7

CN=%

??,將。石繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到。R

：.DE=DF,ZEDF=60°,

:./EDF=/HDB,

，/EDH=/FDB,

在和△08月中，

11/41

DE=DF

乙EDH=乙FDB,

.DH=DB

：./\DHE^/\DBF(SAS),

：.EH=BF,

...當(dāng)EH有最小值時，2尸有最小值，

由垂線段最短可得：當(dāng)E//LAC時，E8有最小值，

此時，'：EH±AC,/AC2=90°,HNLDB,

四邊形CAWE是矩形，

7

:.HE=CN=g

7

故答案為：--

2

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知

識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?東臺市期中)如圖，在矩形A8CD中，對角線AC,8。相交于點O,AB=6,

NZMC=60°,點尸在線段A。上從點A至點。運(yùn)動，連接。F,以。尸為邊作等邊三角

形E,點E和點A分別位于DF兩側(cè)，則點E運(yùn)動的路程長是.

-------------

思路引領(lǐng)：連接OE,利用SAS證明△ADP四ZkOOE(SAS),得OE=ARZDOE=Z

DAO,則點E在射線OE上運(yùn)動，且OE=AF,當(dāng)點/在線段AO上從點A至點。運(yùn)動

時，故點￡的運(yùn)動路程是AO,利用勾股定理求出A。的長即可.

解：連接OE,

--------

?.?四邊形A8CO是矩形,

：.AO=DO,ZDAB=90a,

VZ￡>AC=60°,

...△D4O是等邊三角形,

：.DA=DO,ZADO=60°,

是等邊三角形,

12/41

：.DE=DF,ZEDF=60°,

NADF=NODE,

又AD=DO,DF=DE,

：.AADF^AODE（SAS）,

AOE=AF,ZDOE=ZDAO,

...點E在射線OE上運(yùn)動，且OE=AE

當(dāng)點廠在線段AO上從點A至點。運(yùn)動時，

點E的運(yùn)動路程是AO,

在RtZXADB中，設(shè)A￡）=x,則B￡）=2x,

⑵）2-X2=62,

解得尤=2K（負(fù)值舍去），

：.AD=AO=2>/3,

即點E的運(yùn)動路程為2次，

故答案為：2日.

總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理等知識，確定點E的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵.

類型二點在圓上運(yùn)動

典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：

如圖①，點。為坐標(biāo)原點，。。的半徑為1,點A（2,0）.動點8在上，連接A8,

作等邊△ABC（A,B,C為順時針順序），求OC的最大值

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接。2,以

OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.

（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

（2）線段OC的最大值為.

【靈活運(yùn)用】

（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2,0）,點8的坐標(biāo)為（5,0）,點

尸為線段A8外一動點，且B4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段AM長的最大值及

此時點P的坐標(biāo).

【遷移拓展】

（4）如圖③，8C=4加，點。是以8C為直徑的半圓上不同于8、C的一個動點，以BD

為邊作等邊請直接寫出AC的最值.

13/41

(2)利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題;

(3)連接3M,將繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,得到△APN

是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=R1=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線

段BA的延長線時，線段取得最大值，即可得到最大值為2a+3；過P作PE_Lx軸

于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；

(4)如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△8CM,由推出AC=MZ),

推出欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可，由BC=4V2=定值，/BDC=90°,

推出點。在以8C為直徑的上運(yùn)動，由圖象可知，當(dāng)點。在8C上方，時，

DM的值最大；

解：(1)如圖①中，結(jié)論：OC=AE,

理由：「△ABC,△BOE都是等邊三角形，

；.BC=BA,BO=BE,NOBE=60°,

：.ZCBO=ZABE,

：./\CBO^/\ABE,

：.OC=AE.

(2)在△AOE中，AE^OE+OA,

...當(dāng)E、0、A共線，

的最大值為3,

；.OC的最大值為3.

故答案為3.

(3)如圖1,連接

14/41

?.,將繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P8N,連接AN,則△4PN是等腰直角三角

形，

:.PN=PA=2,BN=AM,

的坐標(biāo)為（2,0）,點8的坐標(biāo)為（5,0）,

：.OA=2,OB=5,

：.AB=3,

線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

.?.當(dāng)N在線段的延長線時，線段BN取得最大值（如圖2中）

最大值=A8+AN,

■:AN=岳尸=2位，

...最大值為2a+3；

如圖2,過尸作軸于E,

,/AAPN是等腰直角三角形，

；.PE=AE=V2,

：.OE=BO-AB-AE=5-3-&=2-五,

：.P（2-V2,V2）.

（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM,

B\>0

\?

X1?

\?/圖4

\1?

VZABD=ZCBM=6Q°,

ZABC=ZDBM,'：AB=DB,BC=BM,

：.△AB84DBM,

：.AC=MD,

...欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可,

?.g=4或=定值，NBDC=9Q°,

15/41

...點。在以BC為直徑的半圓O。上運(yùn)動，

由圖象可知，當(dāng)點。在BC上方，時，OW的值最大，最大值=2企+2后,

：.AC的最大值為2a+2V6.

綜上所述，

當(dāng)點A在線段BD的右側(cè)時，

以BC為邊作等邊△2CM,

VZABD=ZCBM=60°,

AZMBD^ZCBA,且AB=DB,BC=BM,

:.△ABgADBM(SAS),

：.AC^MD,

...欲求AC的最小值，只要求出OM的最小值即可，

?.加=6&=定值，NBDC=9Q°,

...點Q在以BC為直徑的。。上運(yùn)動，

由圖象可知，當(dāng)點。在BC的上方，8c時，的值最小，

__________1

DM的最小值=加。-OD='JBM2-BO2-^BC=2V6-2&,

：.AC的最小值為2遍-2V2.

綜上所述，AC的最大值為2歷+2迎，AC的最小值為2傷-2e.

總結(jié)提升：本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角

形的判定和性質(zhì)、圓等知識，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用

轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，屬于中考壓軸題.

針對訓(xùn)練

1.(2022秋?天寧區(qū)校級期中)已知。。的半徑長7cm,P為線段OA的中點，若點P在。。

上，則OA的長是cm.

思路引領(lǐng)：根據(jù)點與圓的位置關(guān)系和中點定義進(jìn)行解答即可.

解：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，得OP=7cm,

再根據(jù)線段的中點的概念，得04=2。尸=14c〃z.

故答案為：14.

總結(jié)提升：本題考查了點與圓的位置關(guān)系，中點定義，熟知點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之

16/41

間的等價關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?嘉興期末）如圖，的直徑AB=2,C為上動點，連結(jié)CB,將繞點

C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,連結(jié)OD,則OD的最大值為.

D

思路引領(lǐng)：通過證明可得當(dāng)CE有最大值時，。。有最大

值，即可求解.

解：如圖，以。2為邊在的下方作等腰直角三角形OBE,連接CE,BD,

:將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,

:.BC=CD,Nr>CB=90°,

AZ￡)BC=45°,BD=&BC,

AOBE是等腰直角三角形,

：.OE=BE,ZOBE=45°,OB=V2B￡=1,

:.BE=OE=*,

"：ZDBC^ZOBE,

：.ZOBD=ZCBE,

DBOB

又：一=一=，r2,

CBBE

:.△DBOs^cBE,

ODDB

：.—=—=72r,

CECB

：.OD=近CE,

...當(dāng)CE有最大值時，有最大值，

當(dāng)點C,點。，點E三點共線時，CE有最大值為1+孝,

.??。。的最大值為夜+1,

17/41

總結(jié)提升：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=16,BC=12,

點P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動，由點8運(yùn)動到點A,連接CP,點M是CP的中點,

則點M經(jīng)過的路徑長為.

思路引領(lǐng)：由是直徑，得/APB=90°,取BC,AC的中點E和R連接ME,MF,

EF,由三角形中位線知ME,MR即NEMP=90°,則點M在以防為直徑的半圓上,

即可得出答案.

解：VZACB=90°,AC=16,BC=12,

：.AB=>JAC2+BC2=V162+122=20,

連接AP,BP,

：AB是直徑，

AZAPB=9Q°,

即AP±BP,

取BC,AC的中點E和R連接ME,MF,EF,

在中，

'：M,E為PC、BC的中點，

1

：.ME//BP,ME=^BP,

在△APC中，

??,點M、F為PC、AC的中點，

1

J.MF//AP,MF^^AP,

：.ME±MF,

即NEA/F=90°,

...點M在以EF為直徑的半圓上,

:.EF=1AB=10,

18/41

1

...點M的運(yùn)動路徑長為-x2兀x5=5TT,

2

故答案為：5n.

總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，利用定角對定弦確定點M

的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵.

4.（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段AB為。O的直徑，點C在的延長線上，AB=4,BC

=2,點P是OO上一動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使/

0cp=60°,連接。D,則OD長的最大值為.

思路引領(lǐng)：如圖，作△COE,使得NCEO=90°,ZECO=60°,貝UCO=2CE,OE=

2V3,ZOCP^ZECD,由△COPSACED,推出一=一=2,即￡Z>=2。尸=1（定長），

EDCD2

由點E是定點，OE是定長，推出點。在半徑為1的OE上，由此即可解決問題.

解：如圖，作△（%）￡,使得NCEO=90°,ZECO=60°,貝ijC0=2CE,OE=2?Z

OCP=ZECD,

VZCDP=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

COCP

???___—__—_乙r\,

CECD

:ACOPsACED,

OPCP

???—_—―乙o,

EDCD

即即=^9P=1（定長），

:點E是定點，DE是定長,

...點。在半徑為1的OE上,

,?ODWOE+DE=2^3+1,

19/41

.?.0。的最大值為26+1,

故答案為2百+1.

總結(jié)提升：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

5.(2021秋?岳麓區(qū)校級月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y

軸分別交于A、C兩點，拋物線y=x2+Zzr+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為8

(1)求拋物線解析式；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運(yùn)動到某一位置時，的面積等

3

于△ABC面積的9求此時點M的坐標(biāo)；

(3)如圖2,以8為圓心，2為半徑的08與x軸交于E、尸兩點(尸在E右側(cè))，若尸

點是08上一動點，連接力，以B4為腰作等腰心△如￡),使/E4O=90°(P、A、D

三點為逆時針順序)，連接FD.求FD長度的取值范圍.

圖1圖2

思路引領(lǐng)：(1)將點A(1,0),C(0,5)代入y=/+6尤+c,即可求解；

(2)設(shè)M(“3加2-6〃?+5),先求AB=4,則SMBC=10,再由題意可得S^AMB=6=；X4

X(m2-6m+5),即可求M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)將點B繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到連接Ab,PB,B'D,可證明△AO8噌△APB

(SAS),則可得D在以9為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，又由9(1,-4),F(7,0),

則B,F=2V13,所以。尸的最大值為何+2,DF的最小值為例-2,即可求2辰-2

WDFW2m+2.

解：(1)令x=0,貝Uy=5,

：.C(0,5),

令y=0,則x=l,

20/41

AA(1,0),

將點A(1,0),C(0,5)代入y=/+bx+c,

得仁《+c=0,

.?."J,

=5

**.y=x-6x+5；

(2)設(shè)M(m,m2-6m+5),

令y=0,貝！Jx2-6x+5=0,

解得x=5或x=l,

：.B(5,0),

：.AB=4f

/.5AABC=1x4X5=10,

3

?；AABM的面積等于△ABC面積的g,

17

S^AMB=6=2X4X(m-6m+5),

解得m—2或m=4,

：.M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)將點3繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到8,連接AB,PB,BD

VZB'AD+ZBAD=90°,ZPAB+ZBAD=90°,

：.ZB'AD=ZPAB,

'：AB=AB\PA=AD,

：.AADB'^AAPB'(SAS),

:.BP=B'D,

?：PB=2,

???8O=2,

???。在以B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，

VB(5,0),A(1,0),

：.B'(1,-4),

■:BF=2,

：.F(7,0),

：.B'F=2y/13,

???。尸的最大值為2屬+2,。尸的最小值為2W豆一2,

A2V13-2WDFW2月+2.

21/41

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用

瓜豆原理是解題的關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2022?安徽一模）如圖，正方形ABC。的邊長為5,E為BC上一點,且8E=2,F為

邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△￡人：；,連接CG,則CG的最

小值為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點廠為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造

全等關(guān)系，得到點G的運(yùn)動軌跡,之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點尸是主動點，點G是從動點，點/在線段上運(yùn)動，點G也一定在直

線軌跡上運(yùn)動，

將△￡1/由繞點E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得到△EFB也ZkEHG,

：.BE=EH,ZBEH=6Q°,ZGHE=9Q°,

...△EBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線MV上，

作CM1HN,則CM即為CG的最小值，

作EPl.CM,可知四邊形HEPM為矩形,

/.ZP￡C=180°-ZPEH-ZBEH=180°-90°-60°=30°,

22/41

1

；.PC=2CE,

1Q

則CM=MP+CP=HE+^EC=2+1=

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)

造全等，從而判斷出點G的運(yùn)動軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形

計算，是極值問題中比較典型的類型.

2.（2021?泰安）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5g,點尸在線段上運(yùn)動（含2、

C兩點），連接AP,以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°至IJAQ,連接。。，則線

段DQ的最小值為（）

思路引領(lǐng)：如圖，以AB為邊向右作等邊△A8R作射線FQ交AD于點E,過點D作

DHLQE于H.利用全等三角形的性質(zhì)證明/AFQ=90°,推出/AEF=60°,推出點。

在射線FE上運(yùn)動，求出DH,可得結(jié)論.

解：如圖，以為邊向右作等邊△A3F,作射線尸。交AO于點E,過點D作。

于H.

:四邊形ABC。是矩形，

AZABP=ZBAD=90°,

VAABF,△AP。都是等邊三角形，

：.ZBAF=ZPAQ=6Q°,BA=FA,PA=QA,

：.ZBAP=ZFAQ,

在△BAP和△弦。中，

BA=FA

Z.BAP=/.FAQ,

,PA=QA

：./\BAP^/\FAQ(SAS),

AZABP=-ZAFQ=9O°,

"：ZFAE=9Q°-60°=30°,

AZA￡F=90°-30°=60°,

23/41

"：AB=AF=5,A￡=AF4-cos30°=

...點。在射線EE上運(yùn)動，

,:AD=BC=5W,

qF5

：.DE=AD-AE=^-f

'：DH±EF,ZDEH=ZAEF=60°,

：.DH=DE-sin60°=苧乂苧=?,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點。與H重合時，。。的值最小，最小值為|,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決

問題，本題的突破點是證明點。的在射線庫上運(yùn)動，屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.(2022秋?惠山區(qū)校級月考)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是4

ABC邊上一動點，連接OP,以O(shè)P為斜邊在。尸的右上方作等腰直角△OPQ,當(dāng)點P在

△ABC邊且運(yùn)動一周時，點。的軌跡形成的封閉圖形面積為()

思路引領(lǐng)：根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形，可知點。的運(yùn)動軌跡與點P的運(yùn)動軌跡形狀

相同，且OP：02=V2：1,得出面積比為2,求出AABC的面積即可解決問題.

解：是等腰直角三角形，

...點。的運(yùn)動軌跡與點P的運(yùn)動軌跡形狀相同，

VOP-.OQ=V2：1,

.,.點P的軌跡圖形與點。的軌跡圖形相似比為或：1,

VA(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),

：.AB=3,BC=4,

11

**?S/^ABC=2,BC-AB=2x3x4=6,

24/41

.?.點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為］x6=3,

故選：B.

總結(jié)提升：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確尋

找點Q的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?沐陽縣校級期末）如圖，線段AB=2,點C為平面上一動點，且/ACB=90°,

將線段AC的中點尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段連接8。，則線段2。的最大

值為—.

思路引領(lǐng)：證明△ADCs△AE。，求出QE=］在RtZXABE中求出BE=孚，進(jìn)而求出

答案.

11

解：如圖，取A3的中點。，連接CD,過點A作AEUB,?AE=^AD=連接

BE.

VZACB=90°,。為AB的中點，

1

ACD=^AB=1,

'：ZQAC=90°,ZEAB=90°,

：.ZQAE=ZCAD,

ttAQ1AE1

'AC~2AD~2

：.AA￡)C^AAE2，

.QEAQ1

CD~AC~2

：.QE=CD=4,

'：ZEAB=90°,

：.EB=y/AE2+AB2=零，

1717-i?~\/l7

當(dāng)點。、E、2三點共線時，2。最大為鼻+二一=二一.

1+V17

故答案為:

2

25/41

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.（2022?祁江區(qū)校級一模）如圖，點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點，AN，無軸于

點交直線y=-字x于點N,點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BA±PA,

點P在線段ON上運(yùn)動時，A點不變，8點隨之運(yùn)動，當(dāng)點尸從點。運(yùn)動到點N時，點

8運(yùn)動的路徑長是.

思路引領(lǐng)：利用相似三角形求出線段Bo為的長度，證明線段班就

是點B運(yùn)動的路徑即可.

解：由題意得：0M=2,點N在直線y=—爭上，ANLx軸于點M,

則△0MN為頂角30°的直角三角形，ON=專x2=竽，

設(shè)動點P在O點（起點）時，點B的位置為Bo,動點P在N點（終點）時，點B的位

置為3”連接如圖1所示：

'：AO±ABo,ANLABn,

：.ZOAN=ZBoABn

又?.?ABo=A3tan3O°,4B〃=AN?tan30°,

：.ABo：AO^ABn：AN=tan30°,

:.LABoBnS4AON,且相似比為tan30°,

.?.8oB"=ON?tan30°=^x^=1.

現(xiàn)在來證明線段BoBn就是點B運(yùn)動的路徑，

當(dāng)點尸運(yùn)動至ON上的任一點時，設(shè)其對應(yīng)的點B為Bi,連接AP,ABi,BoBi,如圖2

所示：

26/41

'：AOLABo,APLABi,

：.ZOAP=ZBoABh

又???A8o=AO?tan30°,A3=AP?tan30°,

AABo：AO=ABi：AP,

：.LABoBisAAOP,

：.ZABoBi=ZAOP.

又△A5o&s/\40N,

???NABoBn=ZAOP,

NABoBi=NABuBn,

.?.點3在線段BoBnl.,即線段瓦瓦就是點B運(yùn)動的路徑,

4

綜上所述，點8運(yùn)動的路徑是線段為為，長度為w，

C

圖1

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

軌跡等知識；確定點B的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵.

6.（2020春?江陰市期中）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點尸是以。為圓

心，2個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接