重難點(diǎn)突破：三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）

重難點(diǎn)突破03三角形中的范圍與最值問題

目錄

■方法技巧總結(jié)____________________

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn).解決這類問題,

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函

數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

?必考題型歸納

題型一：周長(zhǎng)問題

例1.(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記“3C內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

+/一°2)(qcos5+6cos/)=abc.

⑴求C；

⑵若“5C為銳角三角形，c=2,求小BC周長(zhǎng)范圍.

【解析】(1)在ABC中，由射影定理得acosB+6cos4=c,

則題述條件化簡(jiǎn)為/+〃-/=仍，

由余弦定理得/+加一，=2Q6COSC.

可得COsC=￡(0,71),

所以c=；.

(2)在“3c中,

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abc24百

由正弦定理得sigsinBsinC.兀

sin—3

3

則依周長(zhǎng)C-+2=2+容(s1M+s喇=2+'sin/4+sin(—A

(3

=2+4sin14+看),

因?yàn)镾IIL4+sin,則C：

3

2兀

因?yàn)闉殇J角三角形，4+5=彳

7171,兀71271

則得/€,AH---￡

6'263,3

故sin[/+F卜，1'C"BC￡(2+2G,6].

2

例2.(2023?甘肅武威?高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))在銳角△ZBC中，Q=26,(2b-c)cos/=acosC,

(1)求角4;

(2)求△ZBC的周長(zhǎng)/的范圍.

【解析】(1)*.*-c)cosA=acosC,

2bcosA=acosC+ccosA,

所以2sin8cosA=sinAcosC+sinCcosA,

所以2sin3cos4=sin(4+C),

所以2sin5cos/=sin"

因?yàn)閟inBwO,所以cos4=J,

2

??4嗚，所以2=3

a2G

=4

(2)'

2

b2〃

所以=4,所以6=4sinB,c=4sinC=4sin(--5),

sin5sinC

所以/=。+6+。=2y!3+4sin5+4sin(——B)=2^/3+6sinB+2^/3cosB

=2百+4氐皿5+令

03f

因?yàn)椤鱖BC是銳角三角形，且4=?,所以＜，解得表2＜會(huì)

八27「乃

0<B<—

32

所以吒eg,g),所以sin(吒)eg』］,

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所以/e(6+26,6同

____DI

例3.(2023,全國(guó)局三專題練習(xí))在①2s—43AB-AC;(2)2cos2—--=l+cos2/；③。=百asinC—ccos/;

在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

在銳角A4BC中，內(nèi)角/、B、C,的對(duì)邊分別是。、b、c,且

⑴求角/的大??；

(2)若°=蒸，求A4BC周長(zhǎng)的范圍.

【解析】(1)選①，由2s=追加?就可得仍sin/=V5cbcos/，

'''e（0,7i）,則sin/=Gcos/>0，可得tarL4=VJ,A=-j；

選②，由2cos2^^=l+cos2/可得l+cos（8+C）=l+cos2N,

即cos（7i-/）=2COS2T4-1,即2cos2A+cos^4-1=0，

171

?「0〈兀，則一1<COSZ<1,故cos/=—,A=—；

23

選③，由c=GasinC—ccos/及正弦定理可得GsinZsinC—sinCcosZ=sinC,

A>Ce（0,7i）,貝！JsinC>0,所以，GsinX-cos"=2sin14一E）=l,

故sin'—E

2f

兀，兀5兀彳兀71E”/兀

——<A——<—,A—=—,因止匕,A=一

666663

（2）由正弦定理可得Q=b=_￡—=2,則6=2sin8,c=2sinC,

sinAsinBsinC

:.a+b+c=A/3+2sin5+2sinC=>A+2sin5+2sinLs+-j

=3sinB+密cosB+6=2Gsin18+.上舊

Tl

0<B<-

因?yàn)锳/BC為銳角三角形，貝I]2,可得火<2〈色，

62

A+B>^

I2

1、1兀n兀27rEdV3.(n兀)/1

所以，—<B+一<一,則——<sin5+—<l,

363216J

故a+6+c=2氐in,+0+6e(3+在3啊.

變式1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在銳角AJBC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,且

c-b=acosB-bcosA.

(1)求角A的大??；

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(2)若4=1,求AASC周長(zhǎng)的范圍.

【解析】(1)由正弦定理得：sinC-sin5=sinAcos5-sin5cosA,

C=7i~(A+B),sin(4+5)-sinB=sinAcos-sin5cosA,

sinAcosB+sinBcosA-sinB=sinAcosB-sinBcos2sinBcos/一sin5=0

17l71

sin8w0,cosA=—,*.*AE.(0,1),A=一.

223

(2)由正弦定理：===氈，則6=2^1sin8,c=^sinC,

sin5sinCsinA333

-：C=--B,；,c=^sin

33T-4

2^7-

A245c周長(zhǎng)為。+6+c=1H———sin5+sin

=1+罕?八?2TC刀27T._

sinB+sin——cosB-cos-sinB

33

…建"n2+與os5

3122

=1+2sin+

TTIT7IT

又銳角AASC,/.0<5<-,0<C<-,結(jié)合。=/一5

223

+-,^<sin(B+^]<l,.-.l+V3<l+2sinf5+-^<3,即“BC周長(zhǎng)的

623632167fk6J

范圍是(1+6,3].

變式2.(2023?陜西西安.高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí))"8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且滿

足a=2,acosB=（2c-6）cos/.

（1）求角A的大??；

⑵求“8C周長(zhǎng)的范圍.

222

【解析】（1）由余弦定理a?日士《二^=（2c-b）互士匚匕^b+c-a=bc,

2ac2bc

所以cosZ="+￡-《.=（，因?yàn)?</<無，所以/

2bc23

6c24。斤同

（2）由正弦定理：嬴萬=而］=耳=行—，貝必=殍$詢3,c=—smC,

33

2

由（1）B+C=^-,故a+b+c=2+4,（sinB+sinC）=2+4ssinB+sin

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、

I)4廚3V371

=2+sinBd-----cosB+—sinS=2+^^—sinB+^-cosB=2+4sin|B+—

22J3226

7

m、[八27171?71571r/1.I7171I

因?yàn)?<8n<-=—<B+—<一,則一<smnB+—<1I,

36662I6J

所以4<〃+Z）+c?6,即周長(zhǎng)范圍是（4,6].

題型二：面積問題

例4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角中，內(nèi)角4,5，。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且浣=（2sinx，9,

n=(cosx,cos2x),f(x)=m-n,/(5+C)=0.

⑴求角4的值;

（2）若6=1,求小5。面積的范圍.

【解析】(l)???加=(2sinx,G),n=(cosx,cos2x),f(x)=m,n,

f(x)=2sinxcosx+V3cos2x

=sin2x+V3cos2x=2sin[2x+蕓.

又〃8+C)=0,sin2(S+C)+y=0.又為銳角三角形,

2（B+C）+；=2TI或%.?.8+C=，或（（舍去），二/=巳

⑵由正弦定理知上7=3=—,

sinAsinBsinC

又b=l,A=—,a=—；----

62sinB

sin^+5百Icos5\/3II

=--1—---=1----

S=—absinC=88sin5----8----8tanB

24sinB

故得到：源吟與s<@,

5(717186

-71-BE\0,-

6I22

fV3昱、

J面積的范圍為，T

P7

例5.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植

了兩種花卉，其中△/皿區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BQ是一條觀賞小道.測(cè)量

可知邊界AB=60m，BC=20m,AD=CD=40m.

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D

C

AV-------------------[B

（1）求觀賞小道3D的長(zhǎng)及種植區(qū)域/BCD的面積；

（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC,CD不能變更，而邊界/-ND可以調(diào)整，使得種植蘭花

的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)贐4D上設(shè)計(jì)一點(diǎn)尸，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形尸BCD）的面積最大,

并求出這個(gè)面積的最大值.

【解析】⑴設(shè)皿m則由余弦定理得』二『磊:

4()2+2()2一小

cosC=

2x40x20

由四邊形/BCD是圓內(nèi)接四邊形得/+C=180。，

cc402+602-7402+202-x2c

BIZXcosA+cosC=0，即Bn-----------+------------=0，

2x40x602x40x20

解得X=20A/7(負(fù)值舍去)，即8。=20々加.

從而cosN='，所以/=60。，C=120°,

2

故SABCD=；X40X60Xsin60°+gX40X20Xsin120°=800百.

答:觀賞小道AD的長(zhǎng)為2077m，種植區(qū)域/BCD的面積為8006m2.

(2)由(1)及“同弧所對(duì)的圓周角相等"得/P=N/=60。.

設(shè)PZ>=mcm,PB=ncm[m,M>0),

貝US^BDP=-^rnn-sinP=^-mn-

在△5。尸中，由余弦定理有

/I—\227924A/34o

(20,7)=m+n-2mw-cosP=m+n-mn>mn=-^-mn,

故29尸<70073(當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2077時(shí)等號(hào)成立).

而S^BCD=gx40x20xsin1200=200^3,

因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域尸BCD的面積的最大值為900#cm2.

答：當(dāng)△3DP為等邊三角形時(shí)，新區(qū)域P8CD的面積最大，最大值為900Gm2.

例6.（2023?山東青島?高三青島三十九中?？计谥校┰冖賏=2,②a=b=2,③6=c=2這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求△/8C的面積的值（或最大值）.已知△/BC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別

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為a,b,c,三邊a,b,c與面積S滿足關(guān)系式：4S=b2+c2-a2,且,求△/2C的面積的值（或最

大值）.

【解析】：4S=4,bcsinN=2bcsmA-b2+c2-a2,

2

..b2+c2-a2

??smZ=------------=cosA，tanA=1

2bc

TT

?：Ae（0,7r）,：.A=~,

4

選擇條件①：當(dāng)a=2時(shí)，根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=4Ab2+c2=4+2bccosA,

b2+c2=4+41bc>2bc（a>0,Z>>0）,

:?bc&2=4+2后（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=，4+2/時(shí)取等）,

?e-5max=-（4+2V2）-=V2+1；

選擇條件②：當(dāng)a=b=2時(shí)，*.*/=/+02一26ccosZ=4+c2—2缶=4，

11M

:?c=2亞，-*?5=-/>csin^=--2-2V2--=2;

222

選擇條件③：當(dāng)6=c=2,S=—Z>csinA=—■2-2-=V2.

222

變式3.（2023?江蘇蘇州?高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三角形空地

其中CU=3km,0B=3拒km,ZAOB=90°.物業(yè)管理部門擬在中間開挖一個(gè)三角形人工湖OW,其中

M,N都在邊48上QM,N均不與48重合，M在A,N之間），且/MCW=30。.

⑴若M在距離A點(diǎn)1km處，求點(diǎn)N之間的距離；

⑵設(shè)ZBON=0,

①求出A(DMN的面積s關(guān)于e的表達(dá)式；

②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖OMN的面積要盡可能小，試確定6的值，使AOMN得面積最小，并求

出這個(gè)最小面積.

【解析】(1),/AM=1,OA=3,OB=3^，NAOB=9?！?:.AB=6,ZA=60°,

I7-7+1.9i4h

，由余弦定理(W=』9+l-2x3xlx—=a，cosZAMO=-——『，sin//MO=^=,

\22V7-12j7277

ahh111ns

sinAONM=sin(ZAMO-AMON)=#口'L

2V722V724/2#

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在AMON中網(wǎng)-OM

sin30°sinZOTW

jr

(2)?VNBON=6,/.AONM=6+—,

3布

在△BCW中，-=—、nON=-/~-

sin:sin［6+：)sin16+：

3V3

‘4MNF

在△MON中，——=-7----v—7-----S，

sin：sin16+力sin］；+6)

3拒___________________373

MN=——

4sin

_______________3V|______________3G

V3sin20+V3cos29+4sin6cos。百+2sin29

又“BO中AB邊上的高為邳￡i=￡lkm，

62

136373_27n<n(兀

22V3+2sin2<94(V3+2sin26()3

②當(dāng)Sin28=l，O=］時(shí)，ZOMN最小且(SAOMN)min二布瓦③=―4'

變式4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在“BC中，SABC=—BA'BC,BC=3^

(1)。為線段8C上一點(diǎn)，且CD=2AD,/O=1,求NC長(zhǎng)度；

(2)若“3C為銳角三角形，求AABC面積的范圍.

1同

【解析】(1)在“3c中，依題意得：--BABC-s,mB=—BA-BC-cos,B,

22

則有LsinB=3^cos8，于是得tan8=G，而8e(0,%),則3=^,

223

又BC=3,CD=2BD,則8。=1。=2,

772.TL

在△48。中4。=1，從而得等邊△48。，即N/DB=—,ZADC=—,

33

在ZUDC中由余弦定理=AD2+CD2_2AD-CDCOSZADC得ZC?=2?+F-2.2J-COS?-7,解得

AC=B

ADR「

(2)在AABC中，BC=3,設(shè)NA4C=。，由正弦定理二一=——得：

sinCsinA

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3sin(^-0)3(gcos6+：sin，)

sinOsin。sin。2tan/

于是得S△A,BRCr=-2BA-BC-sinB

TT777TT

因。3C是銳角三角形，則0＜。＜土，＜o(jì)＜--0＜-,

2322

于是有會(huì)"全貝廝即。＜高＜6叮+且，<2,

222tan9

從而得型〈空,

8AADC2

所以“3C面積的取值范圍是（容,，）.

變式5.（2023?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在“BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

asin5_G

bcos/

⑴若。=2石，6=2,求c的大小;

（2）若6=2,且C是鈍角，求“3C面積的大小范圍.

【解析】（1）在。中,:‘融？=G，由正弦定理得sin/sinB=6sinBcos/.

bcosA

<0<5<乃，sin5w0,sin/=退cosA,

,，sin4rr

??tanA=-------=v3

cosA

TT

在zUBC中，由余弦定理得/^b2+c2-2bccosA，即20=4+。2—4c.：,

2

解得。=1-VI7(舍去)，c=1+V17.

:?c=\+后.

(2)由(1)知4=?

,?S—BC=-bcsmA=—c

22

b.2sin

由正弦定理，得bsmC^L+「

sinCsinB

sin5sin5tan5

n

???4=亨，。為鈍角，???0＜8

6

0<tanB<——■,c>4,

3

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,?S—Be>2y.

即面積的大小范圍是（2省,+8）.

題型三：長(zhǎng)度問題

例7.（2023?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角力5C內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c.若6sin5-csinC=(b-a卜irU.

⑴求C;

⑵若°=6，求的范圍.

【解析】(1)由正弦定理，^sinB-csinC=(b-a)siib4

b2—c2=(b—a^ac2=a1+b2-ab

[7T

又。2=/+〃—2Q6.COSC,得cosC=7nC=z

23

(2)因?yàn)椤?^3，

ca上=2,

所以

sinCsiib4sinB

7171

a-b=2(sia4-sin5)=2sia4-sin7i-24--=2si血一sin4+—=2sin4，因?yàn)槿切螢殇J

33

角三角形,

0<A<-

所以:,解得

0<3=@_762

32

■JT7171,-\<a-b=2sin14一]

令t=4-飛,所以te~69~6=2sin/<1,

所以

例8.（2023?福建莆田?高三?？计谥校┰谥校琣,b,。分別為角4,B,。所對(duì)的邊，b=26,

sin5

(2c-a)sinC={b2+c2-a2

b

⑴求角B;

（2）求2a-c的范圍.

sin8

【解析】（1）（2c—〃）sinC=（廿+孑—/）=>(2c-@c=/+c2-tz2=>c2+tz2-廿=a(又

b9

B=a2+c2-b21JT

COS,所以COSB=5，因?yàn)?￡（0,%），所以

lac2

bac空=4

（2）在ABC中，由（1）及6=2百，得sin5sinAsinCG

2

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-/)=8sinN-2A/3cos/-2sin/

故a=4sinZ,c=4sinC,-c=8sin-4sinC=8sin24-4sin

=6sin4-2百cosA=44)sin1/一菅

m、iA兀

因?yàn)?n<4<—2,貝U---7-1<A.--T-C<一TC,

3662

-1<sinM-^-j<l,-2V3<4V3sinG-^j<4V3.

所以2a-c的范圍為卜2百,4百).

例9.(2023?重慶江北?高三?？茧A段練習(xí))在“3C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別。，b,c,且

(2cAyL、3

Itzcos-y+ccos2—\z(a+c-b)--ac.

(1)求角3的大??；

(2)若6=2百，c=x(x>0),當(dāng)。3C僅有一解時(shí)，寫出x的范圍，并求的取值范圍.

【解析】(1)；[cos2：+cc0s2力(a+c-b)=,(1+；0sC)+c(1+；os//a+°_g)

a+c+(acosC+ccos^),,(a+c+b\a+c-b)a+c-b'+lac3,,,

-------------------------------(a+c-b)=-------------------------==-ac,n^na2+c22-b2=ac,

2----------------------------2--------------2

a2+c2-b2_

/.cosB=

2ac2

\'0<B<7T,

3

(2)根據(jù)題意，由正弦定理得三=上，貝lJsinC=

sinCsin54

???△45。僅有一解，

二.sinC=l或sinCVsin5,即二=1或0,

44~2

二.x=4或0<x?2A/3，

rrTT

當(dāng)x=4時(shí)，C=-,A=-,所以c=4,a=2,所以&—。二一2；

26

a.4,

當(dāng)0<X<2G時(shí)，由正弦定理得

sinAsinCsinB

a-c=4(sin4-sinC)=4sinC+sinC

“(I.c0J

=4——sinC+——cosC"。一副,

22

7

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71

v0<C<-,

3

71-71,門

:——<C——<0,

33

.「兀

<sinC—<0,

I3

A■I兀

-4sinC—G［0,2V3),即a—C￡［0,2百)，

I3

綜上，a—c￡{—2}U［。,2抬")

變式6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知zUBC的內(nèi)角4,比C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足條件；”4,

sin2^4+sinBsinC=sin2B+sin2C?

(I)求角4的值;

(II)求2Z?—c的范圍.

【解析】(I)由sin?Z+sinBsinC=sin?B+sin?C,

222222

利用正弦定理可得a+be=b+cf即bc=b+c-a

.b2+c2-a2be1

故cos/=--------------=------=—，

2bc2bc2

TT

又4￡(0,TT),=§

a_b_c_A_8^/3

(II)???Q=4,A=g利用正弦定理sin/-sin5-sin。一正一丁

~2

痂_8A/3._80.TV

nxo=-----smB,c------sinC-------sin(—\~B)

3333

o8也.D8欄.(冗166.8S(手1.

2b—c—2x-----sinB—sm(B)—sinB—-------eos6+-sinB

33333(22J

=^^-sin^-4cos5-45^sin5-4cosB=8sin［一燃］

在AASC中，4故。<54

冗n冗兀1YC./n乃

.，.----<B---<一,<*.—<sinB-----<I,/.—4<8sinB------<8

6622I6JI6J

所以2b-c的范圍是(-4,8)

變式7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在AABC中，a,b,c分別是角4民。的對(duì)邊(a+b+c)(a+6-c)=39.

(I)求角C的值；

(2)若c=2,且AA8C為銳角三角形，求2a-6的范圍.

【解析】(I)由題意知(。+6+。)(。+6—。)=3。/?,a2+b2—c2=abf

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人2_21

由余弦定理可知，cosC==^―-=-

2ab2

TT

又?.?(?€((),I),/.C=-.

3

a=b=2J

(2)由正弦定理可知，sin4sinB3，

Sm?

即a=35/3sinA,b=—V3sinB,

33

=-V3sin^-—V3sin5=->/3sin—VJsin(--A)=sin-2cosA-sinA

3333333

6A/3...1八八?/4兀、

=-----smZ—2OcosZ=4(——smZA—cosA)=4sm(A——)，

3226

0<A<-

7TTTT7TTC

又???A48c為銳角三角形，.?"；,則一</<一即0<A-7<；,

八"2")76263

0<B=------A<—

[32

所以，0<sin(4-%)〈且即0<4sin(/-B)<2g,

626

綜上2a-b的取值范圍為(0,273).

變式8.(2023?山西運(yùn)城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))的內(nèi)角/,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.

/1、4Tsin(4—8)a-b

(l)求證：-一-一—=----；

sinT4+sinnc

TT

(2)若“BC是銳角三角形，A-B=-,a-b=2f求。的范圍.

sin(A-B)_sinAcosB-cosAsinB

【解析】(I)由兩角差的正弦公式，可得

sin4+sin8sin4+sin3

又由正弦定理和余弦定理，可得

a+C1—b1b2+c2-a

sinAcosB—cosAsinBa------------------b----------------

_______Zac2bc

sin/+sin5

a+b

2a2-2b2_(〃+b)(a-b)_a-b

2c(a+b)c(a+b)c

所以sin,-8)a-b

sin/+sm6

,,(Q-b)(sin4+sinB)4,.,.「、

(2)由(1)知。=-----r—....---------=7(SHU+smB)

sm(4-8)V3

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、

=4-^-sinB+—cosB=4sinIB+—71

22)6

因?yàn)椤叭缡卿J角三角形，所以“+?后，可得。＜8檸,

又由可得5+尹5吟,所以2*，所以宗

所以正＜sin18+工71

,可得2Vlec<26，符合c>"6=2.

262

所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是（2倉(cāng)2我.

變式9.（2023?安徽亳州?高三統(tǒng)考期末）在銳角zM8c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

asinC=ccosA--

I6

（1）求角A的大小;

（2）設(shè)方為A48c的垂心，且/H=l,求8//+CH的范圍.

【解析】⑴由asinC=ccos”看，結(jié)合正弦定理得

sinA=cosA--

I6

整理得sinN-g=0,

又A為銳角，故/=?

（2）由AA8C是銳角三角形，則垂心a必在內(nèi)部,

不妨設(shè)/B4H=a,則ae

71

由以為AA8C的垂心，則=ZACH=-

6

在中使用正弦定理得,

AHBH

,整理得:BH=2sina.

sinZABHsinZBAH

同理在A4cH中使用正弦定理得,C7/=2sin

BH+CH=2siner+2sin=2sin—Fa

3

結(jié)合

可得Bb+Se(省,2]

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

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例10.(2023?全國(guó)■高三專題練習(xí))在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且

(a+Z))(sinA-sin3)=(c-b)sinC.

(1)求A；

⑵求cosB-cosC的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?a+6)(siiL4-sinB)=(c-b)sinC,

所以(a+?(a-b)=(c-b)c,即/=/+C1-be.

因?yàn)?Z)2+c2-26cos/,所以cos/=1.

2

因?yàn)樗?=：.

(2)由(1)知cosB—cosC=cosB—cos

=cosBH—cosB------sinS——cosB------sin5—A/SCOS|BH—

2222I6

27r71

0<——B<

因?yàn)椤?所以行，

因?yàn)獒埽?+微＜耳，所以+,

363＜07V11)

所以COSH-COSCE--------,——,

、22,

即cosB-cosC的取值范圍是「學(xué)方-J.

例11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知一的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,且

a-b=c(cos^-cosA).

(1)判斷AABC的形狀并給出證明；

(2)若/b,求sin/+sin8+sinC的取值范圍.

【解析】(1)為等腰三角形或直角三角形，證明如下：

由Q-6=c(cosB-cosA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(cosB-cos力),

即sin(8+C)—sin(/+C)=sinC(cos5—cosZ),

BPsinBcosC+cos5sinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcos5-sinCcosA,

整理得sinBcosC-sin力cos。=0,所以cosCkin5—sin4)=0,

故sin"=sin5或cosC=0,

又A、B、C為AA8C的內(nèi)角，所以。=b或。=萬,

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因此小BC為等腰三角形或直角三角形.

（2）由（1）及/6知》為直角三角形且不是等腰三角形,

且/+3=工，C=g故8=工-/,且

2