中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)拓展訓(xùn)練：相似三角形與函數(shù)的綜合（原卷版+解析）

專題22相似三角形與函數(shù)的綜合（原卷版）

第一部分典用如析

類型一求線段的長(zhǎng)

1.（2022?淮安）如圖（1）,二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)8

的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,直線/經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn).

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為直線/上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)再過(guò)點(diǎn)M作y軸

的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N,當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)尸為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,點(diǎn)。為線段

AP上一點(diǎn)，且AQ=3PQ,連接。。，當(dāng)3AP+4。。的值最小時(shí)，直接寫(xiě)出。。的長(zhǎng).

典例2（2021春?海州區(qū)校級(jí)期中）如圖1,矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P在邊上由點(diǎn)A向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)

AP=x,△必8的面積為》整個(gè)平移過(guò)程中若y與無(wú)存在函數(shù)關(guān)系如圖2所示，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)

為Q,連接時(shí)、PQ.

（1）直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)是,A3的長(zhǎng)是—.

類型二求字母的值

典例3(2021?蘇州)如圖，二次函數(shù)y=/-(優(yōu)+1)尤+加(%是實(shí)數(shù)，M-1</7?<0)的圖象與x軸交于A、

B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)D位于第一象限，且在對(duì)稱軸上，OD

點(diǎn)E在x軸的正半軸上，OC=EC,連接并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)尸，連接AF.

(1)求A、8、C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含根的式子表示)；

(2)已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)為2的周長(zhǎng)的最小值等于苦時(shí)，求機(jī)的值.

類型三求比值或比值的最值

典例4(2022?宿遷)如圖，二次函數(shù)y=g2+a+c與x軸交于O(0,0),A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,連

接。C、AC,若點(diǎn)8是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接8C,將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置,

線段A'C與無(wú)軸交于點(diǎn)。，且點(diǎn)。與。、A點(diǎn)不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①求證：BD-,

QD

②求二的最小值；

BA

(3)當(dāng)SAOCD=8SAA，BD時(shí)，求直線A'8與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

類型四求點(diǎn)的坐標(biāo)

典例5(2021?惠陽(yáng)區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為A(1,1),且與直線y=x-2交于3,

C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的面積；

(3)若點(diǎn)N為無(wú)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MNLx軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以。，M,N為

頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第二部分專題建優(yōu)別練

1.（2022?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，A為反比例函數(shù)y=*（其中尤＞0）圖象上的一點(diǎn)，在無(wú)軸正半軸上有一點(diǎn)8,

02=4.連接。4,AB,且。4=AB=2VIU,過(guò)點(diǎn)B作8C_L0B,交反比例函數(shù)y=專（其中X＞0）的圖

AD

象于點(diǎn)C,連接OC交AB于點(diǎn)D,則k=；——=.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RL^BCZ）中，其中2（0,4）,C（2,0）,點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=*（尤＞0）

圖象上，且。=時(shí)，以8c為邊作平行四邊形8c所，其中點(diǎn)尸在反比例函數(shù)尸［（尤＞0）圖象上,

點(diǎn)E在x軸上，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為（）

l57

A.V5B.-C.3D.-

22

3.（2021?越秀區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)A（2,71）和點(diǎn)。是反比例函數(shù)（m＞0,尤＞0）圖象上的兩點(diǎn)，一

次函數(shù)y=fcc+3（左#0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,與無(wú)軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作。軸，垂足

為E,連接。4、OD.己知△048與的面積滿足SAOAB：SAODE=3：4.

（1）求加；

（2）已知點(diǎn)尸（6,0）在線段0E上，當(dāng)NPOE=NC50時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

4.如圖，二次函數(shù)y=-7+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),

點(diǎn)。為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線上.

(1)b—；

(2)若點(diǎn)尸在第一象限，過(guò)點(diǎn)尸作尸8,無(wú)軸，垂足為H,PH與BC、BD分別交于點(diǎn)”、N.是否存在

這樣的點(diǎn)P,使得PM=MN=NH,若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2019?鹽城)如圖所示，二次函數(shù)y=k(x-l)2+2的圖象與一次函數(shù)%+2的圖象交于4、B兩

點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與尤、y軸交于C、。兩點(diǎn)，其中上＜0.

(1)求A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)若△O4B是以為腰的等腰三角形，求Z的值；

(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,是否存在實(shí)數(shù)總使得NODC=2NBEC,若存在，求出左

的值；若不存在，說(shuō)明理由.

專題22相似三角形與函數(shù)的綜合(解析版)

笫一部分其用勤析

類型一求線段的長(zhǎng)

1.(2022?淮安)如圖(1),二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與無(wú)軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸

交于C點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),直線/經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為直線/上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)再

1

過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N,當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)；

(3)如圖(2),點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AP,點(diǎn)Q為線段AP上一點(diǎn)，且4。=3尸。，連接。。，當(dāng)3AP+4DQ的值最小時(shí)，直接

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)設(shè)PG,-什3),則M(f,-r+2/+3),N(2-r,-P+27+3),則尸加=|產(chǎn)-3小，

MN^\2-21],由題意可得方程3f|=$2-2t|,求解方程即可；

(3)由題意可知。點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與無(wú)軸的交點(diǎn)為G,由QG〃BC,

求出點(diǎn)G(2,0),作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A'D與AP交于點(diǎn)。，則3AP+4DQ

=4(.DQ+^rAP)=4(DQ+AQ)N4A。，利用對(duì)稱性和/OBC=45°,求出A(2,3),

求出直線DA的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組已=3十：,可求點(diǎn)Q("當(dāng)，

(y=DX—D44

6/26

再求空.

解：(1)將點(diǎn)2(3,0),C(0,3)代入y=-/+bx+c,

.(-9+3b+c=0

??lc=3

解得憶京

，y=-X2+2X+3,

Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,4)；

(2)設(shè)直線3C的解析式為y=fcv+。，

.f3/c+b=0

F=3，

解得仁丁,

.?.y=-%+3,

設(shè)PG,-汁3),貝1]”(/,-?+2r+3),NC2-t,-?+2/+3),

：.PM=\^-3r|,MN=\2-2t\,

1

?；PM=專MN,

AI?-3f|=1|2-2r|,

解得或f=l-&或f=2+V5或t=2-V3,

點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+/或1-/或2+遮或2-V3；

(3)VC(0,3),。點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.D(0,-3),

令y=0,貝!J-/+2x+3=0,

解得尤=-1或x=3,

AA(-1,0),

.*.AB=4,

???AQ=3P。，

???。點(diǎn)在平行于5C的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G,

???QG//BC,

.AQAG

??—，

APBA

.3AG

??1二,

44

，AG=3,

：.G(2,0),

7/26

?：OB=OC,

：.ZOBC=45°,

作A點(diǎn)關(guān)于G。的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4D與A尸交于點(diǎn)Q,

???AQ=A。，

：.AQ+DQ=A'Q+DQ^A'Df

???3AP+4OQ=4(。。+近)=4(DQ+AQ)24A。，

'：ZQGA=ZCBO=45°,AA」QG,

ZA'AG=45°,

???AG=AG,

/.ZAA'G=45°,

AZAGA'=90°,

???A(2,3),

設(shè)直線DA的解析式為y=kx+b,

.(b=-3

F/c+b=3，

解得憶、

/.y=3x-3,

同理可求直線QG的解析式為y=-x+2,

聯(lián)立方程組y=3+：,

(y=3x—3

8/26

對(duì)稱求最短距離的方法，解絕對(duì)值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

典例2（2021春?海州區(qū)校級(jí)期中）如圖1,矩形A8C。中，動(dòng)點(diǎn)P在AO邊上由點(diǎn)A向終

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x,△物8的面積為y,整個(gè)平移過(guò)程中若y與無(wú)存在函數(shù)關(guān)系如圖2

所示，點(diǎn)A關(guān)于8尸的對(duì)稱點(diǎn)為。，連接8。、PQ.

（1）直接寫(xiě)出的長(zhǎng)是,AB的長(zhǎng)是—.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圖象可知x的最大值即為的長(zhǎng)度，此時(shí)AABP的面積為6,由面

積即可求出A8；

（2）分點(diǎn)。在對(duì)角線AC和對(duì)角線8。兩種情況討論，利用勾股定理即可得出答案.

解：（1）由圖象可知x的最大值為4,

：.AD=4,

當(dāng)A￡>=4時(shí)，

y的值為6,

1

A-xABX4=6,

2

9/26

解得A：8=3,

故答案為：4,3；

（2）如圖，若點(diǎn)。在對(duì)角線AC上，BP交AQ于點(diǎn)H,

：.PH=^x,

AH=l'

93

由勾股定理得：/=(-)2+(-x)2

解得X=p

4

解得X=2＞

，―9,3

?'.X的值為-或一.

42

總結(jié)提升：本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是要能根據(jù)圖象得出AB和A。的長(zhǎng)

度,要考慮點(diǎn)。在AC上和BD上兩種情況討論.

類型二求字母的值

典例3（2021?蘇州）如圖，二次函數(shù)-（加+1）x+m（%是實(shí)數(shù)，且-1＜機(jī)＜0）的圖

象與無(wú)軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)。位

于第一象限，且在對(duì)稱軸上，點(diǎn)E在x軸的正半軸上，OC=EC,連接并

延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)凡連接AF.

（1）求A、8、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含優(yōu)的式子表示）；

（2）已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△AFQ的周長(zhǎng)的最小值等于當(dāng)時(shí)，求小的值.

10/26

思路引領(lǐng)：(1)令y=/-(m+l)x+m=O,解得冗=1或m,故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(m,

1

0)、(1,0),則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為5(m+l),即可求解；

(2)由tanZDBC=tanZODC,即CD2=CO?J5C=J(租+1)-J(1一根)=在

Rtz\AOF中，A產(chǎn)=4。2+0產(chǎn)=W+i一川=i；點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連

接交對(duì)稱軸于點(diǎn)。則點(diǎn)。為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解.

解：(1)令-(〃?+1)x+m=0,解得尤=1或%,

故點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為(m,0)、(1,0),

則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為工(機(jī)+1),即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(空0)；

22

(2)由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，CO==CE,

ikBC=OB-CO=1-1(w+1)

:NBDC+/DBC=90°,ZBDC+ZODC=90°,

：.ZDBC=ZODC,

：.tanZDBC=tanZODC,BPCD2=CO'BC^1Cm+1)(1-兀)=

ZZ4

7點(diǎn)C是OE中點(diǎn)，則CO為三角形EO尸的中位線，

則FO2=(2CD)2=4CD2=1-m2,

在RtAAOF中,AF2=AO2+OF2=m2+]-m2=l,

1點(diǎn)2是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接網(wǎng)交對(duì)稱軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為所求點(diǎn),

理由：△AEQ的周長(zhǎng)=4尸+/。+4。=1+。/+8。=1+87;'為最小,

即1+BF=竽，

121

則BF2=OF2+OB2=1-m2+l=(Y-1)2,解得m=土右

11/26

V-l<m<0,

故m=-p.

總結(jié)提升：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要

會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)

度，從而求出線段之間的關(guān)系.

類型三求比值或比值的最值

典例4(2022?宿遷)如圖，二次函數(shù)產(chǎn)9+6x+c與x軸交于O(0,0),A(4,0)兩點(diǎn)，

頂點(diǎn)為C,連接OC、AC,若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC,將△ABC沿8c折疊

后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置，線段A'。與x軸交于點(diǎn)。，且點(diǎn)。與0、A點(diǎn)不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①求證：△OCDS/XA，BD；

②求鳥(niǎo)的最小值；

BA

(3)當(dāng)時(shí)，求直線M5與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：(1)利用交點(diǎn)式可得二次函數(shù)的解析式;

(2)①根據(jù)兩角相等可證明兩三角形相似;

OCCDBDCDBDCD

②根據(jù)△OCDS/XA，BD'得府=而'則布=布’即方的取小值就是指的取小值，

OC為定值，所以當(dāng)CD最小為2時(shí)，一;有最小值是一；

BA2

(3)解法一：根據(jù)面積的關(guān)系可得：ZJCDs匕及8。時(shí)，相似比為2近：1,可得

=AB=1,作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)等角的正切可得AG和BG的長(zhǎng)，最后再證

明△AGBszX。。8可得。。的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法可得的解析式，最后聯(lián)立方程

可得結(jié)論.

解法二：設(shè)8。=/,根據(jù)08=3列方程可得t的值，計(jì)算A'D,AM的長(zhǎng)，表示點(diǎn)M的

坐標(biāo)，計(jì)算的解析式，列方程可得結(jié)論.

(1)解：?.?二次函數(shù)產(chǎn)系+foc+c與x軸交于O(0,0),A(4,0)兩點(diǎn)，

...二次函數(shù)的解析式為：尸：(x-0)(%-4)='|x2-2x；

(2)①證明：如圖1,

12/26

圖1

由翻折得：ZOAC=ZA1,

由對(duì)稱得：OC=AC,

：.ZAOC=ZOAC,

：.ZCOA=ZA\

?/NA'DB=/ODC,

：.XOCDS/\NBD；

②解：?：XOCDs'NBD,

?_2￡_CD

AiB~BD'

\9AB=A'B,

.BDCD

?.—,

ABOC

BDCD

???)的最小值就是的最小值，

ABOC

y=^x2-2x=；(x-2)2-2,

：.C(2,-2),

???OC=2&,

BD

???當(dāng)COJ_OA時(shí)，CO最小，一的值最小,

AB

BD,2V2

當(dāng)CD=2時(shí)，77的取a小值為丁方=—;

AB2V22

(3)解法一：?.?SZ\OCO=8SZVVB。，

S^OCD：SAA'BD=8,

■:△OCDs^ZBD,

二也組=(%2=8,

^LAIBDA，B

OC「

-----=2/，

AiB

???OC=2A/2,

13/26

AA'B=AB=1,

:?BF=2-1=1,

如圖2,連接4V,過(guò)點(diǎn)A作4GLOA于G,延長(zhǎng)C3交4V于設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與

x軸交于點(diǎn)R

由翻折得：A4」CH,

VZAHB=ZBFC=90°,NABH=/CBD,

：.ZBCF=ZBAH,

tanZBCF=tanZGAA',

.BFAfG1

??CF—AG~2

設(shè)AG=〃，則AG=2〃，BG=2a-1,

在RtZVVGB中，由勾股定理得：BG2+A'G2=A'B2,

/.tz2+(2a-1)2=12,

4

--

.??m=0(舍),5

OQ

.BG=2a-1=|-1=|,

'A'G//OQ,

.△A'GBSAQOB,

43

AtGBG￡三

---=,即=一,

OQOB0Q3

?OQ=4,

.Q(0,4),

設(shè)直線A3的解析式為：y=kx+m,

.(m=4

**l3/c+m=0*

解得：卜=/

tm=4

4

-

?,?直線AB的解析式為：y=3

?41

—2^+4=2f2-lx,

3?-4.r-24=0,

解得：戶等畫(huà)，

2+2V19

直線A'2與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是季一.

(3)解法二：如圖3,過(guò)點(diǎn)M作于孫

14/26

OCCDODL

-----=—=--------=2迎，

AiBBDAiD

0C=2企，

.\A'B=AB=1,

設(shè)5。=/,貝iJCO=2V^,

.\A'￡>=2V2一2揚(yáng)，OD=2V2A'D=S-86

9：OB=OD+BD=4-1=3,

.,.8-8/+/=3,

???iL--7,

??32或一呼=竽，

VA'B=AB,ZA'=ZOAC,/A'BD=NABN,

：.AA'BD^AABM(ASA),

4J?

：.AM=A'D=學(xué)，

???4AHM是等腰直角三角形，

4

：.AH=MH=y,

244

?\M(——，—亍),

77

4

易得8M的解析式為：y=—1x+4,

.41

??^x+4=2，2-2x,

解得：3x2-4x-24=0,

解得：x=2±p,

2+2V19

...直線A,8與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是一「.

15/26

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，對(duì)稱的性質(zhì)，三角形

相似的性質(zhì)和判定，配方法的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，

數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵.

類型四求點(diǎn)的坐標(biāo)

典例5(2021?惠陽(yáng)區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，頂點(diǎn)為A(1,1),且與直線y

=彳-2交于3,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的面積；

(3)若點(diǎn)N為無(wú)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作初軸與拋物線交于點(diǎn)則是否存在

以。，M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：(1)可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線

解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

1Q

(2)設(shè)直線AC的解析式為與x軸交于D得到y(tǒng)=2x-1,求得BD=2—*=*

于是得到結(jié)論；

(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出"點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON

MNONMNON

和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得:三=幸或二■=7Z，可求得N點(diǎn)的坐

ABBCBCAB

標(biāo).

解：(1)??,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

???設(shè)拋物線解析式為y=〃(x-1)2+1,

又拋物線過(guò)原點(diǎn)，

.??0=〃(0-1)2+1,解得〃=-L

???拋物線解析式為y=-(x-1)2+1,

2

即y=-x+2xf

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得p=-xV2,

\y=x—2

16/26

解得L㈡，

：.B(2,0),C(-1,-3)；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=fcc+6,與x軸交于。，

把A(1,1),C(-1,-3)的坐標(biāo)代入得｛：：：｝；十°，

解得：長(zhǎng)=2

lb=-1

??y=2x-1,

當(dāng)y=0,即2x-1=0,

解得：%=)，

1

：.D(-,0),

2

.?.即=2-齊1忘3

1313

??^\ABC的面積=SZ\ABD+SABCD=2*2*1+2*2*3=3；

(可以利用勾股定理的逆定理證明NABC=90°).

(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,設(shè)N(尤，0),則M(x,-/+2x),

ON=\x\,MN=\-X2+2X|,

由(2)知，AB=V2,BC=3V2,

軸于點(diǎn)M

:.NABC=/MNO=90°,

,一,,,?MNONjMNON

.,.當(dāng)△ABC和△MM?相似時(shí)，有—=—或一=—,

ABBCBCAB

?MNON,

①當(dāng)——=—時(shí),

ABBC

2

\-X+2X\|X|?1

---正---=即IRI-x+2|=百衛(wèi),

:當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形,

.?.SO,

|-x+2|=亍,

1q

，-x+2=土一，解得％=亍或兀=

33

57

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(?0)或(?0);

MNON,

②當(dāng)t一=——時(shí),

BCAB

17/26

|-X2+2X|\X\

A3V2"后

即|劉-x+2|=3|%|,

，|-x+2|=3,

??.r+2=±3,

解得尤=5或x--1,

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）或（5,0）,

57

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-，0）或（-，0）或（-1,0）或（5,0）.

33

總結(jié)提升：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、

直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在（1）中注

意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的

方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對(duì)應(yīng).本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難

度適中.

第二部分李理疆憂別綜

1.（2022?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，A為反比例函數(shù)y=&（其中x>0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正

JX

半軸上有一點(diǎn)8,02=4.連接。4,AB,且。4=AB=2VIU,過(guò)點(diǎn)B作8C_L0B,交

反比例函數(shù)（其中尤>0）的圖象于點(diǎn)C,連接0c交于點(diǎn)。，則左=；

AD

DB-----'

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)A作AHLx軸，垂足為點(diǎn)H,交OC于點(diǎn)利用等腰三角形的性

質(zhì)可得出。H的長(zhǎng)，利用勾股定理可得出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用反

比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出左值；由的長(zhǎng)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征可得出BC的長(zhǎng)，利用三角形中位線定理可求出MH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AM的

AD

長(zhǎng)，由AA/〃BC可得出利用相似三角形的性質(zhì)即可求出茄的值.

解：過(guò)點(diǎn)A作AHLx軸，垂足為點(diǎn)H,A8交OC于點(diǎn)M,如圖所示.

18/26

VOA=AB,AHLOB,

1

：.0H=BH=W（）B=2,

：.AH=y/OA2-OH2=6,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,6）.

為反比例函數(shù)（其中x>0）圖象上的一點(diǎn),

???左=2X6=12.

VBCXxtt，0B=4,點(diǎn)C在反比例函數(shù)尸呈上，

k

?3而=3.

°：AH〃BC,OH=BH,

13

：.MH=^BC=I，

9

：.AM=AH-MH=

'：AM//BC9

：.AADMs叢BDC,

tADAM3

??DB-BC-2’

3

故答案為12,

2

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理

以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建相似三角形.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，中，其中5(0,4),C(2,0),點(diǎn)。在反比例

函數(shù)y=[(x>0)圖象上，且8=遮，以8。為邊作平行四邊形其中點(diǎn)方在反

比例函數(shù)y=[(x>0)圖象上，點(diǎn)E在x軸上，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為()

19/26

22

思路引領(lǐng)：如圖，作軸于利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)。坐標(biāo)，求出％的值

以及點(diǎn)月坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

ZBCO+ZOBC=90°,ZBCO+ZDCH=90°,

：?/OBC=/DCH,

，叢BOCs叢CHD,

.BCOBOC

"CD~CH~DH

,:B(0,4),C(2,0),CD=V5,

.*.BC=2A/5,

：.CH=2,DH=1,

：.D(4,1),

???。在＞=［上，

???左=4,

：.F(1,4),

???四邊形BCEF是平行四邊形，

J.BF//EC,BF=EC,

：.EC=\,

???OE=3,

20/26

.?.點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，

屬于中考?？碱}型.

3.（2021?越秀區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)A（2,n）和點(diǎn)。是反比例函數(shù)產(chǎn)竽（機(jī)>0,x>0）圖

象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)〉=入+3（4=0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,與x軸交于

點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作D￡±x軸，垂足為E,連接。4、OD.已知△OAB與△OOE的面積滿

足S^OAB：S&ODE=3：4.

（1）求777;

（2）已知點(diǎn)尸（6,0）在線段OE上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到。2的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)A的坐

標(biāo)和三角形面積求出的面積，進(jìn)而求出△ODE的面積，由反比例函數(shù)系數(shù)上的幾

何意義求得機(jī)的值；

（2）利用待定系數(shù)法確定直線AC函數(shù)關(guān)系式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)正切的定義列出

求出。、6的關(guān)系，解方程組得到答案.

解：（1）由一次函數(shù)y=fcc+3得，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,3）,

..,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,〃），

1

??S/\OAB=2x3X2=3,

***S/^OAB：S/\ODE=3：4,

??SAODE=4,

??,點(diǎn)。是反比例函數(shù)（m>0,x>0）圖象上的點(diǎn)，

1

2

解得，m=8；

（2）由（1）知，反比例函數(shù)解析式是y=&

/.2〃=8,

21/26

解得，〃=4.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,將其代入y=fcc+3,得到2左+3=4.

1

解得，k=2?

，直線AC的解析式是：y=$:+3,

1

令y=0,貝旨+3=0，

??x=-6,

：.C（-6,0）,

???OC=6,

由（1）知，OB=3.

設(shè)。（mb）,貝ij0E=/?,PE=a-6,

■:/PDE=/CBO,

OCPE

tanPDE=tanCBO,即—=—,

OBDE

.6a-6

3b

整理得，a-2b=6,

解方程組器4=6,得仁二河二；,

?.?點(diǎn)D在第一象限，

：.D（8,1）.

總結(jié)提升：本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義、解直角三角形的應(yīng)用，要靈活

掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何

意義，三角形的面積公式.

4.如圖，二次函數(shù)y=-/+公+3的圖象與％軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)。為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上.

（1）b—；

（2）若點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PHA.X軸，垂足為H,PH與BC、8。分別交于點(diǎn)M、

N.是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PM=MN=NH,若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

22/26

思路引領(lǐng)：（1）將（-1,0）代入y=~+fev+3求解.

（2）由拋物線解析式可得點(diǎn)。與點(diǎn)5坐標(biāo)，從而可得直線3C,直線5。解析式，設(shè)尸

G,-r+2f+3）,則MG,7+3）,NG,一抖|），H（t,0）,由PM=MN=NH求解.

解：（1）將（-1,0）代入>=-x1+bx+3得0=-1-6+3,

解得。=2,

故答案為：2.

（2）,:b=2,

-/+2x+3,

將x=0代入y=-X2+2X+3得y=3,

???點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,3）,

??,點(diǎn)。為OC的中點(diǎn)，

3

???點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,-）,

令-X2+2X+3=0,

解得XI=-L%2=3,

???點(diǎn)8坐標(biāo)為（3,0）,

由C（0,3）,B（3,0）可得直線5c解析式為y=-x+3,

31Q

由。（0,B（3,0）可得直