必修第8章 立體幾何初步單元測試含答案

絕密★啟用前第八單元立體幾何初步單元測試卷高一數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教必修二2019第八單元立體幾何初步。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（2022·遼寧朝陽·高二開學考試）若m，n，l為空間三條不同的直線，為空間三個不同的平面，則下列為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【分析】對于A：由m，n的位置關系是相交，平行或者異面即可判斷；對于B:舉反例：m是平面外的直線，當時，滿足，不滿足.即可判斷；對于C：由可能相交，可能平行即可判斷；對于D：利用線面垂直的性質(zhì)可以證明.【詳解】對于A：時，m，n的位置關系是相交，平行或者異面.故A錯；對于B:若，m是平面外的直線，當時，滿足，不滿足.故B錯；對于C：若，則可能相交，可能平行.故C錯；對于D：由，則，又，由線面垂直的性質(zhì)可得：.故D正確.故選：D2．（2022·河北張家口·一模）下圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm?底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為r，再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.【詳解】因為正三棱錐的底面邊長為1，設其內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法，可得：，解得：，所以其內(nèi)切圓半徑為.由三棱錐體積與圓柱體積公式可得：.故選：D.3．（2021·陜西·西安市遠東一中高一期末）如圖，在正四棱柱中，，點為棱的中點，過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點，的中點，連接，因為該幾何體為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D4．（2022·北京市第一六一中學高三階段練習）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則該球的半徑為(

)A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】A【解析】【分析】作出球的正視圖，根據(jù)已知條件構造直角三角形，列關于球半徑R的方程求解即可．【詳解】如圖為球的一個正視圖，AB長度等于正方體棱長，AB中點為M，則MB＝4，球面恰好接觸水面時測得水深為，cm，設球的半徑為R，則CM＝R－2，CB＝R，∴在Rt△BCM中，，解得.故選：A.5．（2021·江蘇蘇州·高三階段練習）用一平面截圓柱，得到如圖所示的幾何體，截面橢圓的長軸兩端點到底面的距離分別為和，圓柱的底面直徑為，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由圖形可知所求幾何體是由底面直徑相同，高為的圓柱和高為的圓柱的一半拼成，由圓柱體積公式可求得結果.【詳解】作出幾何體的軸截面如下圖所示：則所求幾何體是由一個底面直徑為，高為的圓柱與一個底面直徑為，高為的圓柱的一半構成，所求幾何體體積.故選：A.6．（2022·云南昭通·高三階段練習（文））如圖所示，在正方體中，點F是棱上的一個動點，平面交棱于點E，則下列命題中假命題是（

）A．存在點F，使得平面B．存在點F，使得平面C．對于任意的點F，四邊形均為平行四邊形D．對于任意的點F，三棱錐的體積均不變【答案】B【解析】【分析】對于A，根據(jù)線面平行的判定判斷即可；對于B，可知與平面一定相交，從而可知不正確；對于C，由面面平行的性質(zhì)可判斷；對于D，由體積公式可判斷.【詳解】對于A，當F為的中點時，則E也為的中點，，平面，平面，平面，故A為真命題；對于B，因為平面，由正方體性質(zhì)知與相交于一點，所以平面不可能，故B為假命題；對于C，由面面平行的性質(zhì)，可知，因此四邊形一定為平行四邊形，故C是真命題；對于D，平面，所以點F到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，故D是真命題.故選：B.7．（2022·云南師大附中高三階段練習（理））如圖，在矩形中，，E為中點，把和分別沿折起，使點B與點C重合于點P，若三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推導可得兩兩垂直，再補形成長方體，求出長方體的體對角線即可計算作答.【詳解】依題意，，，平面，則平面，又，即有，則，因此可將三棱錐補形成以為相鄰三條棱的長方體，若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則該長方體的各頂點亦在球的球面上，設球的半徑為，則該長方體的體對角線長為，即，所以球O的表面積為.故選：C8．（2022·河南·模擬預測（理））已知球面被平面所截得的部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高，若球的半徑是R，球冠的高是h，則球冠的面積為．某機械零件的結構是在一個圓臺的底部嵌入一顆小球，其正視圖和側視圖均如圖所示，已知圓臺的任意母線均與小球的表面相切，則小球突出圓臺部分的球冠面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知條件分別求出球冠的,，再根據(jù)球冠的面積公式求值即可.【詳解】依題意，,,因為為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，在中，，所以，所以在中，，，所以，所以，故選：.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）9．（2022·全國·高一單元測試）有下列命題，其中錯誤的命題為（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面體【答案】ABD【解析】【分析】按照棱柱和直四棱柱、直平行六面體的定義判斷即可.【詳解】A選項，它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定互相平行，錯，B選項，也是它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定平行，錯，C選項，它符合棱柱的定義，對，D選項，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，錯，故選：ABD.10．（湖南省邵陽市、郴州市2022屆高三下學期3月二模數(shù)學試題）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且，則（

）A．平面EGHF B．平面ABCC．平面EGHF D．直線GE，HF，AC交于一點【答案】AD【解析】【分析】由條件可得，F(xiàn)H與AC為相交直線，即可判斷ABC，EG與FH必相交，設交點為M，然后可證明，即可判斷D正確.【詳解】因為，所以.又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以，且，則.易知平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，即A正確，B，C錯誤.因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設交點為M，所以平面ABC，平面ACD，則M是平面ABC與平面ACD的一個交點，所以，即直線GE，HF，AC交于一點，即D正確.故選：AD11．（2021·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高二期末）如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，正確命題的序號是（

）A．與是異面直線； B．與平行C．與成角； D．與平行【答案】ABC【解析】【分析】將正方體的展開圖還原為正方體后，即可得到所求正確結論．【詳解】解：將正方體的展開圖還原為正方體后，可得，異面；，平行；所以選項AB正確；連接，，可得為，所成角，且為；所以選項C正確；因為，，平面，可得平面，可得，所以選項D錯誤.故選：ABC．12．（2021·江蘇省高淳高級中學高三階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，下列說法正確的是（

）A．直線直線B．過點的的平面，則平面截正方體所得的截面周長為C．若線段上有一動點，則到直線的距離的最小值為D．動點在側面及其邊界上運動，且，則與平面成角正切的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對于：只需證明平面即可得到直線與直線不垂直；對于B：取，的中點，，根據(jù)題意得出平面截正方體所得的截面為，從而只需求三角形的周長即可；對于C：過構造平面與平行，過作，即為到直線的距離的最小值；對于D：構造兩次線面垂直，得到點的軌跡為，由此能求出與平面成角正切的取值范圍.【詳解】對于：，，，，平面，平面，假設，又因為，，，平面，所以平面，此與平面矛盾，所以直線與直線不垂直，故選項錯誤；對于B：如圖，取，的中點，，連接，，，．因為≌，所以，因為，所以，所以因為在正方體中，，所以因為，所以三垂線定理得，，，所以平面，所以截正方體所得的截面為，故周長為，故B正確；對于C：如圖取則平面與平行，過作，因為面，面，所以，又因為，所以面，所以即為到直線的距離的最小值，，故正確；對于D：如圖，取的中點，由證明選項B可知，面，又面，面，所以，，又因為在正方體中，分別為棱的中點，所以，，所以，，又因為，所以平面，故點軌跡為．在正方形中，當與重合時，最大；當時，最?。裕驗槠矫?，所以為與平面所成的角，，則與平面成角正切的取值范圍是，故D正確．故選：BCD．第Ⅱ卷三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·湖南·高一課時練習）如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖，四邊形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，則這個平面圖形的實際面積是________.【答案】【解析】【分析】先利用梯形面積公式得到直觀圖的面積，再利用直觀圖與原圖形面積的倍數(shù)關系進行求解.【詳解】直角梯形ABCD的面積，設原圖形面積為，則，則這個平面圖形的實際面積故答案為：14．（2022·江西·新余四中高三階段練習（文））如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】法1：根據(jù)平面，得到，又，得到，進而得到平面，則，取PC的中點O，連接OA，OB，易知O為三棱錐外接球的球心求解；.法2：將三棱錐擴展為長方體，由外接球的直徑為長方體的對角線長求解.【詳解】法1：因為平面，平面，所以，，，又，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，如圖所示：取PC的中點O，連接OA，OB，則，故O為三棱錐外接球的球心.而，故三棱錐的外接球的半徑為，所以球的表面積為.法2：根據(jù)題意三棱錐可以擴展為如圖的長方體.則為長方體的對角線，也是三棱錐外接球的直徑.因為，，所以，故三棱錐的外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：15．（2021·河北·石家莊市第十七中學高三期中）如圖，已知球C與圓錐VO的側面和底面均相切，且球的體積為圓錐體積的一半．若球的半徑為1，則該圓錐的側面積為__________．【答案】【解析】【分析】設，則，結合已知條件可求，從而可求底面半徑，從而可求側面積.【詳解】連接AC．設，則為銳角且，又，所以圓錐的底面半徑，圓錐的高，則該圓錐的體積為，解得，所以，，即母線長，所以側面積．故答案為：.16．（2022·河南·三模（理））祖暅是我國古代的偉大科學家，他在5世紀末提出：“冪勢即同，則積不容異”，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.這就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用來由已知幾何體的體積推導未知幾何體的體積，例如由圓錐和圓柱的的體積推導半球體的體積，其示意圖如圖一所示.利用此方法，可以計算如下拋物體的體積：在平面直角坐標系中，設拋物線C的方程為，將C圍繞y軸旋轉，得到的旋轉體稱為拋物體.利用祖暅原理它可用一個直三棱柱求解，如圖二，由此可計算得該拋物體的體積為___________.【答案】##【解析】【分析】構造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的體積即可.【詳解】構造如圖所示的直三棱柱，高設為x，底面兩個直角邊為2，1若底面積相等，則，解得：，下面說明截面面積相等，設截面距底面為t，矩形截面長為a，圓形截面半徑為r，由左圖得到，所以，所以截面面積為，由右圖得到，所以，所以截面面積為，兩者截面面積相等，所以體積相等，所以拋物體的體積等于三棱柱的體積，故答案為：四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2022·上海市控江中學高三階段練習）如圖，是圓錐的頂點，是底面圓的圓心，、是底面圓的兩條直徑，且，，，為的中點．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用圓錐的體積公式直接求解即可；（2）連接，根據(jù)位置關系可知異面直線與所成的角即為或其補角，根據(jù)線段長度即可計算出的值，即可求解出異面直線所成角的大小.(1)由已知得圓錐的底面半徑為，高為所以圓錐的體積為：；(2)連接，因為為的中點，為的中點，所以且，所以異面直線與所成的角即為或其補角，因為，，，所以平面，因為平面，所以，所以，所以異面直線與所成的角的大小為：.18．（2022·全國·高一單元測試）在如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，，點、分別為、的中點.(1)若，求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長.【答案】(1)證明見解析(2)3【解析】【分析】（1）證明，，可證得平面，從而可得，再利用勾股定理證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)求得的面積，再根據(jù)結合已知求得的值，即可得出答案.(1)證明：∵四邊形是正方形，是的中點，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，而，∴，當時，，，，∴，∴，又，平面，∴平面；(2)解：由（1）可知，平面，，∴，∴，∴.19．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，正方體的棱長為，過頂點、、截下一個三棱錐.(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐的高.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出三棱錐的體積，再用正方體的體積減去三棱錐的體積，即可求得剩余部分的體積，（2）利用等體積法求解即可(1)因為所以剩余部分的體積，(2)由（1）知，設三棱錐的高為，由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形，且邊長為，則，所以，解得.所以三棱錐的高為20．（2022·河南鄭州·高三階段練習（文））如圖，半圓柱中，平面過上、下底面的圓心，O，且，點C為半圓弧的中點，N是CO的中點.(1)在線段上是否存在點M使平面，若存在，給出證明；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)存在，證明見解析(2)【解析】【分析】(1)取的中點P，連接NP，，根據(jù)題意可證得四邊形是平行四邊形，進而得出，結合線面平行的判定定理即可證明；(2)利用三棱錐的等體積法可得，結合三棱錐的體積公式直接計算即可.(1)存在，是的中點取的中點P，連接NP，，∵N是CO的中點，∴∵M是的中點，∴．∴四邊形是平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．(2)因為C是的中點，所以，又，所以，由，所以平面，所以，所以.21．（2022·安徽·蕪湖一中一模（文））如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分別以邊AB和BC為一邊向外側作矩形ABDE和菱形BCFG，滿足BD＝BG，再將其沿AB，BC折起使得BD與BG重合，連結EF．(1)判斷A，C，F(xiàn)，E四點是否共面？并說明理由；(2)若BC＝2AB＝4，∠BCF＝120°，設M是線段FC上一點，連結EM與DM．判斷平面EDM與平面BCFD是否垂直？并求三棱柱ABC－EDF的側面積.【答案】(1)四點共面，理由見解析；(2)垂直，.【解析】【分析】（1）由題可得，即得；（2）由題可得平面BCFD，進而可得ED⊥平面BCFD，即可判斷，再利用面積公式可求側面積.(1)A，C，F(xiàn)，E四點共面，證明如下：∵，，