選修第1章 空間向量與立體幾何單元測試含答案

絕密★啟用前第一單元空間向量與立體幾何單元測試卷高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教必修2019第一單元集合與常用的邏輯用語。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-2,1,4）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（-2,1,-4） B．（2,1,-4）C．（-2,-1,-4） D．（2,-1,4）【答案】C【分析】先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為只須將橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變成原來的相反數(shù)即可，即可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】∵在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，﹣y，﹣z），∴點(diǎn)（﹣2，1，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1，﹣4）．故選C．【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題2．空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則線段的中點(diǎn)為A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)為.故選.3．已知，均為單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)向量模長的計(jì)算公式代入求解即可.【詳解】.故選：C4．已知，，且，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式，直接求解.【詳解】∵，∴，∴.∴.又，∴與的夾角為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求空間向量夾角問題.5．已知向量，，且，那么等于（）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由，得【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得，所以，所以，故選：B6．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC為等邊三角形，△PAC為等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，平面平面，平面平面，平面，又，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，是等腰直角三角形，，為直角三角形，，0，，，0，，，0，，，，，，0，，，，，，．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查異線直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算與求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則＝，＝，cos〈，〉＝＝0.∴〈，〉＝.8．空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，則點(diǎn)B到AC的中點(diǎn)P的距離為（）A． B．5 C． D．【答案】C二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）9．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果，，，下列結(jié)論正確的有（）A． B．C．是平面ABCD的一個法向量 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件是數(shù)量積為0進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)?，所以，B正確；由,，可得是平面ABCD的一個法向量，C正確；BD在平面ABCD內(nèi)，可得，D錯誤．故選：ABC．10．若，，與的夾角為，則的值為（）A．17 B．－17 C．－1 D．1【答案】AC【分析】利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示列出方程，然后把向量與的坐標(biāo)代入運(yùn)算，即可求出結(jié)果．【詳解】由已知，，，解得或，故選：AC.11．已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，則（）A．與是異面直線B．與所成角的大小為C．與平面所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為【答案】AD【分析】對選項(xiàng)A，易判斷A正確.以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，再利用向量法依次判斷B，C，D即可.【詳解】對選項(xiàng)A，由圖知：與是異面直線，故A正確；以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，對選項(xiàng)B，，，，，所以，，設(shè)與所成角為，則，又因?yàn)?，所以，故B錯誤.對選項(xiàng)C，由題知：平面的法向量為，因?yàn)?，，設(shè)與平面所成角為，則，，故C錯誤；對選項(xiàng)D，，，設(shè)平面的法向量，則，令得，設(shè)平面的法向量，則，令得，設(shè)二面角的平面角為，則，又因?yàn)闉殇J角，所以，故D正確.故選：AD12．(多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長均相等．下列結(jié)論中正確的是（）A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【答案】ACD【分析】利用向量運(yùn)算求得，由此判斷出正確結(jié)論.【詳解】依題意可知，所以四點(diǎn)共面.因?yàn)?，，所以，則，結(jié)合線面平行的判定定理可知ACD正確.而與不平行，所以B不正確.故選：ACD第Ⅱ卷三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．已知空間向量，若，則________，_______．【答案】3【分析】由空間向量平行的條件求得后可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，解得，∴，．故答案為：3；．14．如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn).若，則__________，_________.【答案】【分析】連接交于,由平行四邊形的性質(zhì)，為的中點(diǎn)，由線段中點(diǎn)向量公式可得，進(jìn)而求得然后利用向量的減法運(yùn)算求得關(guān)于的線性表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)空間向量分解唯一性定理得到的值.【詳解】連接交于,由平行四邊形的性質(zhì)，為的中點(diǎn)，所以,,因?yàn)樵谄矫嫠谄矫嫱?，∴不共面，由空間向量唯一分解定理，可得,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理中的分解唯一性定理，關(guān)鍵是得出.15．如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________【答案】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以,所以.16．已知向量且與互相垂直，則k的值是________.【答案】【分析】利用向量垂直數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】由向量，則，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及空間的向量積，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，若且與垂直，求.【答案】.【分析】根據(jù)向量的模長公式和數(shù)量積等于，列方程組即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以整理可得：，解得或，因?yàn)榕c垂直，所以，整理可得：，即，所以，所以.18．如圖所示，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，化簡下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用向量加法的三角形法則即可求解.（2）由，利用向量加法的三角形法則即可求解.（3）利用向量減法的運(yùn)算法則即可求解.（4）利用向量加法、減法的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．19．如圖，四邊形為正方形，平面，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得且，得四邊形為平行四邊形，從而可得，再由線面平行的判定可得平面；（Ⅱ）利用等積法可得：，代入棱錐體積公式可得點(diǎn)到平面的距離．試題解析：（Ⅰ）證明：取點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，則，且，∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以點(diǎn)到平面的距離與到平面的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為．利用等體積法：，即，，∵，，∴，∴．點(diǎn)睛：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題；在證明線面平行的過程中，常見的方法有：1、構(gòu)造三角形的中位線；2、構(gòu)造平行四邊形；3、利用面面平行；在該題中利用的是構(gòu)造平行四邊形.求點(diǎn)到面的距離主要是利用等體積法.20．如圖所示，在棱長為的正方體中，，分別是，的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式即可求解；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，利用空間向量夾角公式即可求解；（3）為平面的一個法向量，結(jié)合（2）中平面的法向量，利用空間向量夾角公式即可求解；【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（1），，，所以，，所以，故直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）得，，，得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以設(shè)直線與平面所成角為，所以，又直線與平面所成角的范圍是，所以，故直線與平面所成角的余弦值為；（3）由（2）可得平面的法向量為，因?yàn)槊?，所以平面的一個法向量，，所以平面與平面夾角的余弦值為.21．長方體中，，，是上底面內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)在上底面內(nèi)的一條直線滿足.（1）作出直線，說明作法（不必說明理由）；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時，求二面角的余弦值.【答案】（1）圖象見解析，作法見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）如圖，連接，在上底面過點(diǎn)作直線；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系，當(dāng)是中點(diǎn)時，直線即為直線，由條件知，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，由得取設(shè)平面的法向量為，則由同理可取因?yàn)樗远娼堑挠嘞抑禐?2．如圖，長為1