選修第7章 隨機(jī)變量及其分布含答案

第七章隨機(jī)變量及其分布（時間：120分鐘，滿分：150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2021·江西·橫峰中學(xué)高二期中（文））把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)反面”為事件B，則P(B|A)＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用條件概率計算公式，計算出正確答案.【詳解】依題意，所以.故選：A2．（2021·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期中）若隨機(jī)變量，且，則（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱即可計算結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，.故選：A.3．（2022·山東·日照青山學(xué)校高二期末）已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02865 D．0.03745【答案】D【解析】【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D4．（2011·湖北·高考真題（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】C【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線對稱性，知對稱軸為直線，再由正態(tài)分布曲線的面積是1求解．【詳解】解：因為，所以．由題意知圖象（如圖）的對稱軸為直線，，所以．所以．故選：C．5．（2021·安徽省肥東縣第二中學(xué)高二期末（理））設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求E(ξ)，進(jìn)一步求出E(η).【詳解】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故選：D.6．（2018·甘肅·西北師大附中高二期末（理））已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為（）A．10% B．20%C．30% D．40%【答案】B【解析】先根據(jù)列式求出x，進(jìn)而可求出次品率．【詳解】設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則＝＝，所以x＝2或8.因為次品率不超過40%，所以x＝2，所以次品率為＝20%.故選：B．7．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校高二期末）設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【答案】A【解析】【分析】利用條件概率公式即可求解.【詳解】以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；則由全概率公式，所求概率為P=P+P+P=×+×+×=0.08.故選：A8．（2021·河南·高二期末（理））剪刀石頭布又稱“猜丁殼”，古老而簡單，游戲規(guī)則中，石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭，三者相互制約，因此不論平局幾次，總會有決出勝負(fù)的時候．現(xiàn)，兩位同學(xué)各有張卡片，以“剪刀、石頭、布”的形式進(jìn)行游戲：輸方將給贏方一張卡片，平局互不給卡片，直至某人贏得所有卡片，游戲終止．若，一局各自贏的概率都是，平局的概率為，各局輸贏互不影響，則恰好局時游戲終止的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將恰好局時游戲終止的事件分拆成有平局、無平局的兩個互斥事件的和，分別求出這兩個事件的概率即可得解.【詳解】恰好局時游戲終止的事件M，輸方第5局必輸，前4局平兩局輸兩局的事件為M1，第4局必輸，前局輸局贏局的事件為M2，則M=M1+M2，M1與M2互斥，顯然游戲終止時可以是輸方，也可以是輸方，于是得，，，所以恰好局時游戲終止的概率為.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2021·福建·浦城縣第三中學(xué)高二期中）已知隨機(jī)變量滿足，，則下列選項錯誤的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】ACD【解析】【分析】通過期望和方差的計算公式計算出，由此確定正確選項.【詳解】依題意，，所以,所以，所以錯誤的是ACD.故選：ACD10．（2021·江蘇省江陰高級中學(xué)高二期中）下列選項中的隨機(jī)變量服從兩點分布的是（）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球?3個白球的袋中任取1個球，設(shè)D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】由兩點分布的定義依次判斷，即得解【詳解】由題意可知B，C，D中的隨機(jī)事件只有兩種結(jié)果，隨機(jī)變量均服從兩點分布，而拋擲一枚骰子，所得點數(shù)的取值為1，2，3，4，5，6，所以A中的隨機(jī)變量不服從兩點分布.故選:BCD11．（2019·湖南·長沙市明德中學(xué)高二期中）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，判斷BD錯誤；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差σ越小圖象越瘦長，判斷AD正確．【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，所以μ1＜μ2＝μ3，BC錯誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越瘦長，所以σ1＝σ2＜σ3，AD正確．故選：AD．【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及均值和標(biāo)準(zhǔn)差對密度曲線的位置和形狀的影響，是基礎(chǔ)題．12．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高二期中）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有A． B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】【分析】先計算的值，然后考慮、的值，最后再計算、的值.【詳解】因為，所以，故A正確；又，，故C正確；因為，所以，，故D正確.故選ACD.【點睛】隨機(jī)變量的均值與方差的線性變化：若隨機(jī)變量與隨機(jī)變量滿足，則，.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．（2019·全國·高考真題（理））甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準(zhǔn)確計算．14．（2012·全國·高考真題（理））某個部件由三個元件按圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_____【答案】【解析】【詳解】設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴該部件的使用壽命超過1000的事件為(A＋B＋AB)C.∴該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P＝×＝.15．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校高二期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.16．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二期中）某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為__________．【答案】【解析】【分析】由條件概率計算方式，分別計算事件A：“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的基本事件個數(shù)，其中分兩類乙在最后與乙不在最后計數(shù)，與事件AB的基本事件個數(shù)，最后由公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”；事件B：“學(xué)生丙第一個出場”，對事件A，甲和乙都不是第一個出場，第一類：乙在最后，則優(yōu)先從中間4個位置中選一個給甲，再將余下的4個人全排列有種；第二類：乙沒有在最后，則優(yōu)先從中間4個位置中選兩個給甲乙，再將余下的4個人全排列有種，故總的有.對事件AB，此時丙第一個出場，優(yōu)先從除了甲以外的4人中選一人安排在最后，再將余下的4人全排列有種故.故答案為：【點睛】本題考查條件概率實際應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2011·江蘇·高二期中（理））從一副張（去掉大小王）的撲克牌中任取一張，求：（1）這張牌是紅桃的概率是多少？（2）這張牌有人頭像（）的概率是多少？（3）這張牌是紅桃的條件下，有人頭像的概率是多少【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）紅桃牌有張，根據(jù)古典概型可求得結(jié)果；（2）有人頭像的牌共有張，根據(jù)古典概型可求得結(jié)果；（3）根據(jù)條件概率公式可直接計算求得結(jié)果.【詳解】（1）紅桃牌共有：張取出的這張牌是紅桃的概率為：（2）有人頭像的牌共有：張取出的這張牌有人頭像的概率為：（3）由條件概率可知，在這張牌是紅桃的條件下有人頭像的概率為：【點睛】本題考查古典概型的概率問題的求解、條件概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.18．（2021·福建三明·高二期中）今年6月14日是端午節(jié)，吃粽子是我國端午節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)有一盤子，裝有10個粽子，其中紅豆粽2個，肉粽3個，蛋黃粽5個，假設(shè)這三種粽子除餡料外完全相同.從中任意選取3個.（1）求選取的三個粽子中恰有1個肉粽的概率；（2）設(shè)ξ表示取到的紅豆粽個數(shù)，求ξ的分布列.并求“所選3個粽子中紅豆粽不少于1個”的概率．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求選取的三個粽子中恰有1個肉粽的概率；（2）由題意知ξ可能取的值為0，1，2，再由古典概型的概率公式求各可能值的概率，寫出分布列，進(jìn)而求“所選3個粽子中紅豆粽不少于1個”的概率．【詳解】（1）令表示事件“三個粽子中有1個肉粽”，∴由古典概型的概率計算公式有.（2）題意知，ξ可能取的值為0，1，2．則∴，，，故ξ的分布列為012由ξ的分布列知，“所選3個粽子中紅豆粽不少于1個”即，故概率為：P()＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝．19．（2013·北京·高考真題（理））下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）（Ⅲ）從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大【解析】【詳解】由圖讀出基本事件的總數(shù)和滿足條件的事件個數(shù)，代入古典概型公式計算.X的可能取值為0,1,2，求出相應(yīng)的概率，完成分布列，代入公式求出數(shù)學(xué)期望值.連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大的是應(yīng)該是這三天空氣質(zhì)量指數(shù)懸殊最大的.設(shè)表示事件“此人于3月日到達(dá)該市”，，根據(jù)題意，，且.（Ⅰ）設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B=A5∪A8，所以.（Ⅱ）由題意知，的所有可能取的值為0,1,2，且;;,所以的分布列為012的期望為.（Ⅲ）從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.【考點定位】本題考查了相互對立事件同時發(fā)生的概率、離散型隨機(jī)變量的期望和方差.本題以圖表的形式給出題意，考查了學(xué)生閱讀理解能力.20．（2022·陜西·高二期末（理））某部門為了解某企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用電情況，對其每天的用電量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用電量（單位：度）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從這些數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖．若日用電量不低于200度，則稱這一天的用電量超標(biāo)．(1)從這15天中隨機(jī)抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用電量超標(biāo)的概率；(2)從這15天的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的日用電量數(shù)據(jù)，記這4天中日用電量超標(biāo)的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】(1)利用古典概型概率公式計算即可；(2)由莖葉圖可知，一共有五天超標(biāo)，再算概率，列分布表，計算期望.(1)從這15天中隨機(jī)抽取4天的情況有種，其中符合條件的情況有種，故所求概率．(2)由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，．則X的分布列為X01234P故．21．（2022·山東濰坊·高二期末）我國脫貧攻堅經(jīng)過8年奮斗，取得了重大勝利．為鞏固脫貧攻堅成果，某項目組對某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，檢測結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38，70，50，43，48，53，49，57，60，69．經(jīng)計算知上述樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)為53.7，標(biāo)準(zhǔn)差為9.9．生產(chǎn)合同中規(guī)定：所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%（已知質(zhì)量指標(biāo)在63分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品）．(1)從這10件農(nóng)產(chǎn)品中有放回地連續(xù)取兩次，記兩次取出優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)，近似為方差，那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請說明理由．附：若，則，．【答案】(1)X的分布列如下：012X的數(shù)學(xué)期望.(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求；理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可取0，1，2，再分別求概率，再寫出分布列，計算出數(shù)學(xué)期望；（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)估計，即可得解.(1)因為質(zhì)量指標(biāo)分值在63分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，故優(yōu)質(zhì)品有2件.由題意可取0，1，2.則；；.所以X的分布列如下：012X的數(shù)學(xué)期望.(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求；理由如下：記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為，由題意可知，，則，因為，所以有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求22．（202