15.3.2.2含30°角的直角三角形的性質(zhì)課件人教版八年級數(shù)學上冊

15.3.2.2含30°角的直角三角形的性質(zhì)第十五章

軸對稱【2025新教材】人教版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：15.3.2.2含30°

角的直角三角形的性質(zhì)副標題：解鎖特殊直角三角形的幾何密碼背景圖：以古代木質(zhì)三角支架（含\(30^{\circ}\)角的直角三角形結(jié)構(gòu)）、現(xiàn)代建筑中類似的支撐構(gòu)件為背景，搭配動態(tài)的\(30^{\circ}\)角直角三角形旋轉(zhuǎn)、邊長變化特效，凸顯知識的實用性與趣味性，吸引學生注意力幻燈片2：目錄復習回顧，情境導入含\(30^{\circ}\)角的直角三角形性質(zhì)的探究性質(zhì)的證明與推導性質(zhì)的應(yīng)用（一）——基礎(chǔ)計算性質(zhì)的應(yīng)用（二）——實際問題與綜合應(yīng)用課堂練習與互動課堂小結(jié)課后作業(yè)布置幻燈片3：復習回顧，情境導入等邊三角形知識回顧：提問學生“等邊三角形有哪些性質(zhì)和判定方法？”，回顧其三條邊相等、三個角均為\(60^{\circ}\)以及“三線合一”等性質(zhì)，和三條邊相等、三個角相等、有一個角是\(60^{\circ}\)的等腰三角形這三種判定方法

。情境引入：展示一幅建筑屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)圖，其中包含多個含\(30^{\circ}\)角的直角三角形，提問學生“在這些特殊的直角三角形中，邊與角之間是否存在特殊關(guān)系呢？”從而引出本節(jié)課要學習的含\(30^{\circ}\)角的直角三角形的性質(zhì)

?；脽羝?：含\(30^{\circ}\)角的直角三角形性質(zhì)的探究動手操作：讓學生用含\(30^{\circ}\)角的三角板，畫出一個含\(30^{\circ}\)角的直角三角形\(ABC\)，其中\(zhòng)(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)。測量\(30^{\circ}\)角所對的直角邊\(BC\)和斜邊\(AB\)的長度，記錄數(shù)據(jù)

。觀察猜想：組織學生小組交流測量結(jié)果，引導學生觀察\(BC\)與\(AB\)長度的關(guān)系，鼓勵學生大膽猜想：在含\(30^{\circ}\)角的直角三角形中，\(30^{\circ}\)角所對的直角邊等于斜邊的一半

。幾何畫板演示：利用幾何畫板動態(tài)繪制含\(30^{\circ}\)角的直角三角形，改變?nèi)切蔚拇笮?，觀察\(30^{\circ}\)角所對直角邊與斜邊長度的變化關(guān)系，進一步驗證學生的猜想

。幻燈片5：性質(zhì)的證明與推導已知與求證：已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求證\(BC=\frac{1}{2}AB\)。證明思路引導：提示學生通過構(gòu)造等邊三角形來證明。在\(AB\)上取一點\(D\)，使得\(BD=BC\)，然后利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)進行推導

。證明過程展示：在\(AB\)上取一點\(D\)，使\(BD=BC\)，因為\(\angleB=180^{\circ}-\angleA-\angleC=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\)，且\(BD=BC\)，所以\(\triangleBCD\)是等邊三角形（有一個角是\(60^{\circ}\)的等腰三角形是等邊三角形）

。則\(BD=BC=CD\)，\(\angleBDC=60^{\circ}\)，所以\(\angleADC=180^{\circ}-\angleBDC=120^{\circ}\)。又因為\(\angleA=30^{\circ}\)，所以\(\angleACD=180^{\circ}-\angleA-\angleADC=180^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}=30^{\circ}\)。那么\(\angleA=\angleACD\)，所以\(AD=CD\)（等角對等邊）

。因為\(AD=CD=BC\)，且\(AB=AD+BD\)，所以\(AB=BC+BC=2BC\)，即\(BC=\frac{1}{2}AB\)。強調(diào)要點：強調(diào)證明過程中構(gòu)造等邊三角形的思路來源，以及等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)的運用，讓學生理解性質(zhì)的推導邏輯

?；脽羝?：性質(zhì)的應(yīng)用（一）——基礎(chǔ)計算例題講解：“在\(Rt\triangleDEF\)中，\(\angleF=90^{\circ}\)，\(\angleD=30^{\circ}\)，斜邊\(DE=10cm\)，求直角邊\(EF\)的長度?！敝v解：根據(jù)含\(30^{\circ}\)角的直角三角形的性質(zhì)，\(30^{\circ}\)角所對的直角邊等于斜邊的一半，在\(Rt\triangleDEF\)中，\(\angleD=30^{\circ}\)，\(30^{\circ}\)角所對的直角邊是\(EF\)，斜邊是\(DE\)，所以\(EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}??10=5cm\)。課堂練習：給出題目“在含\(30^{\circ}\)角的直角三角形\(MNP\)中，\(\angleP=90^{\circ}\)，\(\angleM=30^{\circ}\)，直角邊\(NP=3cm\)，求斜邊\(MN\)的長度”，讓學生獨立完成，教師巡視指導，及時糾正錯誤

?；脽羝?：性質(zhì)的應(yīng)用（二）——實際問題與綜合應(yīng)用例題講解：“如圖，在某山坡上修建一條傾斜的小路，坡角為\(30^{\circ}\)，如果從山腳到山頂?shù)拇怪备叨葹閈(20\)米，那么這條小路的長度是多少米？”講解：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，可看作一個含\(30^{\circ}\)角的直角三角形，垂直高度為\(30^{\circ}\)角所對的直角邊，小路長度為斜邊。根據(jù)性質(zhì)，小路長度為\(2??20=40\)米

。綜合應(yīng)用例題：“在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)，交\(AC\)于點\(D\)，若\(BC=4cm\)，求\(AD\)的長度?！敝v解：因為\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，所以\(\angleABC=60^{\circ}\)，又因為\(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=\angleDBC=30^{\circ}\)。在\(Rt\triangleBCD\)中，\(\angleDBC=30^{\circ}\)，\(BC=4cm\)，根據(jù)性質(zhì)可得\(CD=\frac{1}{2}BD\)，設(shè)\(CD=xcm\)，則\(BD=2xcm\)，由勾股定理可得\(x^{2}+4^{2}=(2x)^{2}\)，解得\(x=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，即\(CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(BC=4cm\)，所以\(AB=2BC=8cm\)，再由勾股定理可得\(AC=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}cm\)。則\(AD=AC-CD=4\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}cm\)。思路分析：引導學生在綜合應(yīng)用中，如何結(jié)合其他幾何知識，如角平分線、勾股定理等，運用含\(30^{\circ}\)角的直角三角形性質(zhì)解決問題，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力

。幻燈片8：課堂練習與互動-基礎(chǔ)練習題目展示：在含\(30^{\circ}\)角的直角三角形中，斜邊為\(12cm\)，則\(30^{\circ}\)角所對的直角邊為______\(cm\)。已知直角三角形的一個銳角為\(30^{\circ}\)，它所對的直角邊為\(5cm\)，求斜邊的長度

。在\(Rt\triangleXYZ\)中，\(\angleZ=90^{\circ}\)，\(\angleX=30^{\circ}\)，\(YZ=6cm\)，求\(XY\)和\(XZ\)的長度（結(jié)果保留根號）

。互動環(huán)節(jié)：學生獨立完成練習，教師巡視指導，選取學生回答問題，及時糾正錯誤，講解解題思路

。幻燈片9：課堂練習與互動-綜合練習題目展示：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，若\(AC=3\)，求\(BD\)的長

。如圖，一艘輪船以\(15\)海里/小時的速度由南向北航行，在\(A\)處測得小島\(P\)在北偏西\(30^{\circ}\)方向上，\(2\)小時后，輪船在\(B\)處測得小島\(P\)在北偏西\(60^{\circ}\)方向上，在小島\(P\)周圍\(18\)海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，是否有觸礁的危險？互動環(huán)節(jié)：學生先獨立思考，然后小組討論交流解題思路，每組派代表上臺講解解題過程，教師總結(jié)多種解法，拓展學生思維

。幻燈片10：課堂小結(jié)知識回顧：總結(jié)含\(30^{\circ}\)角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于\(30^{\circ}\)，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

。回顧性質(zhì)的證明思路和在基礎(chǔ)計算、實際問題、綜合應(yīng)用中的運用方法

。學習方法強調(diào)：鼓勵學生在學習過程中，注重性質(zhì)的推導過程，理解其本質(zhì)；在解決問題時，要善于識別含\(30^{\circ}\)角的直角三角形模型，靈活運用性質(zhì)，同時結(jié)合其他幾何知識綜合解題

。幻燈片11：課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，斜邊\(AB=16cm\)，求\(BC\)的長度和\(\angleB\)的度數(shù)

。已知含\(30^{\circ}\)角的直角三角形的直角邊為\(8cm\)，求斜邊的長度（分\(30^{\circ}\)角所對直角邊和\(60^{\circ}\)角所對直角邊兩種情況計算）

。如圖，在\(\triangleDEF\)中，\(\angleE=90^{\circ}\)，\(\angleD=30^{\circ}\)，\(DF\)的垂直平分線交\(DF\)于點\(G\)，交\(DE\)于點\(H\)，若\(DH=4cm\)，求\(DE\)的長度

。拓展作業(yè)：查閱資料，了解含\(30^{\circ}\)角的直角三角形性質(zhì)在橋梁建造、機械設(shè)計等領(lǐng)域的應(yīng)用實例，寫一篇不少于\(300\)字的數(shù)學小報告，闡述其應(yīng)用原理和作用

。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解學習目標合理應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，強化應(yīng)用意識.經(jīng)歷探究含30°角的直角三角形性質(zhì)的過程，提升推理能力.掌握含30°角的直角三角形的邊角性質(zhì).情境導入a.量一量這個三角板的短直角邊和斜邊的長度.說一說你發(fā)現(xiàn)了什么？短直角邊：6.9cm斜邊：13.8cm短直角邊的長是斜邊長的一半b.將兩個全等的含30°角的直角三角尺擺在一起.你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？CABD情境導入猜測：理由：①△ABD為等邊三角形；②△ADC與△ABC關(guān)于直線AC軸對稱.如圖，在△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，測量∠A

所對的直角邊BC

與斜邊AB，你能得到什么結(jié)論？探究新知含30°角的直角三角形的性質(zhì)探究ABC30°再畫幾個滿足條件的三角形，你得到的結(jié)論還成立嗎？仍然成立.你能證明你的結(jié)論嗎？含30°角的直角三角形的性質(zhì)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：分析：2BC=AB構(gòu)造長為2BC

的線段

ABC30°構(gòu)造線段ABC30°DABC30°D證明：如圖，延長BC

到D，使CD=BC，連接AD，則AC

是BD

的垂直平分線.所以AB=AD.又因為∠B=90°–∠BAC

=90°–30°=60°，所以△ABD

是等邊三角形，所以BD=AB.方法①ABC30°D含30°角的直角三角形的性質(zhì)

∴∠B=

90°–30°=60°.又BD=BC，∴△BCD

是等邊三角形.∴BD=CD=BC，∠BCD=60°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB–∠BCD=30°.又∠A

=30°，∴∠A

=∠ACD.∴AD

=CD

=BC

=BD.證明：如圖，在AB

邊上截取BD

=BC，連接CD.在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，ABC30°D方法②含30°角的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.在Rt△ABC

中，∵∠C

=90°，∠A

=30°，

幾何語言：含30°角的直角三角形的性質(zhì)ABC30°針對訓練1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B

和∠A各是多少度？邊AB

與BC

之間有什么關(guān)系？教材P84練習第1題解：∵∠C

=

90°，∠B

=

2∠A，∠A+∠B+∠C

=

180°，∴∠A+2∠A+90°=

180°.∴∠A

=

30°.∴∠B

=

2∠A

=

60°.∴AB

=

2