【金榜教程】2025高三總復(fù)習(xí)人教A版數(shù)學(xué)（理）配套練習(xí)：第2章 第4講

第頁(yè)第二章第4講(時(shí)間：45分鐘分值：100分)一、選擇題1.[2025·開封模擬]已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，則k＋α＝()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(3,2) D.2答案：C解析：∵f(x)＝k·xα是冪函數(shù)，∴k＝1.又f(x)的圖象過點(diǎn)(eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，∴(eq\f(1,2))α＝eq\f(\r(2),2)，∴α＝eq\f(1,2)，∴k＋α＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).2.已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3C.a≤－3或a≥－2 D.－3≤a≤－2答案：A解析：對(duì)稱軸a≤2或a≥3，函數(shù)在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增，選A項(xiàng)．3.[2025·南寧段考]已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)則不等式f(|x|)≤2的解集是()A.{x|－4≤x≤4} B.{x|0≤x≤4}C.{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)} D.{x|0<x≤eq\r(2)}答案：A解析：由題表知eq\f(\r(2),2)＝(eq\f(1,2))α，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.4.[2025·威海模擬]已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為()A.1 B.－1C.0 D.2答案：A解析：∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，且x∈[0,1]，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴a＝－2，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.5.[2025·杭州模擬]函數(shù)f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒滿足f(x)<0，則a的取值范圍是()A.a≤0 B.a<－4C.－4<a<0 D.－4<a≤0答案：D解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；當(dāng)a≠0時(shí)，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,a2＋4a<0))，∴－4<a<0.綜上可知：－4<a≤0.6.[2025·陜西五校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A.[1,3] B.(1,3)C.[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)] D.(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))答案：D解析：函數(shù)f(x)＝ex－1的值域?yàn)?－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域?yàn)?－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，則需g(b)>－1，即－b2＋4b－3>－1，∴b2－4b＋2<0，∴2－eq\r(2)<b<2＋eq\r(2).二、填空題7.[2025·廣州一測(cè)]已知冪函數(shù)y＝(m2－5m＋7)xm2－6在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m答案：3解析：由m2－5m＋7＝1，得m＝2或mm＝2時(shí)，y＝x－2在(0，＋∞)遞減，m＝3時(shí)，y＝x3在(0，＋∞)遞增，故m＝3.8.[2025·撫順模擬]已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a－1,2a]，則y＝f(答案：{y|1≤y≤eq\f(31,27)}解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b∴其定義域[a－1,2a即a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3)，∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2＋1，x∈[－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)]，其值域?yàn)閧y|1≤y≤eq\f(31,27)}．9.[2025·金版原創(chuàng)]已知函數(shù)f(x)＝，給出下列命題：①若x>1，則f(x)>1；②若0<x1<x2，則f(x2)－f(x1)>x2－x1；③若0<x1<x2，則x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，則eq\f(fx1＋fx2,2)<f(eq\f(x1＋x2,2))．則所有正確命題的序號(hào)是________．答案：①④解析：對(duì)于①，f(x)＝是增函數(shù)，f(1)＝1，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>1，①正確；對(duì)于②，eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>1，可舉例(1,1)，(4,2)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，eq\f(fx1－0,x1－0)<eq\f(fx2－0,x2－0)，說明圖象上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))到原點(diǎn)連線的斜率越來越大，由圖象可知，③錯(cuò)；對(duì)于④，eq\f(fx1＋fx2,2)<f(eq\f(x1＋x2,2))，根據(jù)圖象可判斷出④正確．三、解答題10.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且f(x)>－2x的解集為{x|1<x<3}，方程f(x)＋6a＝0有兩相等實(shí)數(shù)，求f(x解：設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)，則f(x)＝ax2－4ax＋3a－2xf(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝(4a＋2)216a2＋16a＋4－36a2＝0,20a5a2－4a－1＝0，(5a解得a＝－eq\f(1,5)，或a＝1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)＝－eq\f(1,5)(x－1)(x－3)－2x＝－eq\f(1,5)x2－eq\f(6,5)x－eq\f(3,5).11.[2025·聊城調(diào)研]已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝(x＋eq\f(a,2))2－eq\f(a2,4)＋3－a.①當(dāng)－eq\f(a,2)<－2，即a>4時(shí)，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤eq\f(7,3)，又a>4，故此時(shí)a不存在．②當(dāng)－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時(shí)，f(x)min＝f(－eq\f(a,2))＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，∴a2＋4a－12≤∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.③當(dāng)－eq\f(a,2)>2，即a<－4時(shí)，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.又a<－4，故－7≤a<－4.綜上得－7≤a≤2.12.[2025·德州模擬]是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的定義域?yàn)閇－1,1]時(shí)，值域?yàn)閇－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.當(dāng)a<－1時(shí)，f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝1＋3a＝－2，,f1＝1－a＝2))?a＝－1(舍去)；當(dāng)－1≤a≤0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝a－a2＝－2，,f1＝1－a＝2))?a＝－1；當(dāng)