廣東省高三二模數(shù)學(xué)試卷

廣東省高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域為（）。

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]D.R

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值為（）。

A.1B.√2C.2D.√3

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=2，a?=10，則該數(shù)列的前10項和為（）。

A.100B.150C.200D.250

4.拋擲一枚均勻的骰子，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”的概率為（）。

A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3

5.已知直線l?:y=x+1與直線l?:ax+2y-3=0平行，則a的值為（）。

A.-2B.2C.-1/2D.1/2

6.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2=c2，則角C的大小為（）。

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是（）。

A.cos(x+π/4)B.cos(x-π/4)C.-sin(x+π/4)D.-sin(x-π/4)

8.已知點P(x,y)在圓x2+y2=4上運動，則點P到直線x+y=2的距離的最小值為（）。

A.0B.√2C.2-√2D.2

9.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosA的值為（）。

A.1/2B.3/4C.4/5D.5/4

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。

A.-1B.0C.1D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）。

A.y=2x+1B.y=x2C.y=log?/?(x)D.y=√x

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=1，b?=16，則該數(shù)列的前6項和為（）。

A.31B.63C.127D.255

3.已知直線l?:y=kx+b與直線l?:y=mx+c相交于點P(1,2)，則下列說法正確的有（）。

A.k+m=0B.k+m≠0C.b-c=4D.b-c=-4

4.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2=b2+c2-bc，則角A的大小可能為（）。

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已知函數(shù)f(x)=e?+log?(x)，則下列說法正確的有（）。

A.f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減

C.f(x)在x=1處取得極值D.f(x)在x=1處取得最值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=3x-2，則f(f(1))的值為______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，c=8，則△ABC的面積為______。

3.已知直線l:ax+by+c=0過點(1,2)且與直線y=x+1垂直，則a:b:c=______。

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為______。

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若S?=3，S?=9，則該數(shù)列的公差d為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，求f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosB的值以及△ABC的面積。

3.已知直線l?:y=2x+1與直線l?:ax+3y-5=0平行，求a的值以及兩條直線之間的距離。

4.計算不定積分∫(x2+2x+3)dx。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，且滿足關(guān)系式Sn=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域要求x2-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。

2.B

解析：|z|=√(12+12)=√2。

3.C

解析：由a?=a?+4d=10，得2+4d=10，解得d=2。則S??=10a?+10×9/2×d=10×2+45×2=100。

4.C

解析：出現(xiàn)偶數(shù)點的事件為{2,4,6}，共3個，概率為3/6=1/2。

5.A

解析：l?的斜率為1，l?的斜率為-a/2。因為l?平行于l?，所以1=-a/2，解得a=-2。

6.D

解析：由a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC為直角三角形，∠C=90°。

7.B

解析：f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為f(-x)=sin(-x+π/4)=cos(x-π/4)。

8.C

解析：圓心(0,0)到直線x+y=2的距離d=|0+0-2|/√(12+12)=2√2/2=√2。最小距離為d-r=√2-2。

9.C

解析：由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(42+52-32)/(2×4×5)=25/40=4/5。

10.C

解析：f'(x)=3x2-3，f'(1)=3×12-3=0。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,D

解析：y=2x+1是一次函數(shù)，單調(diào)遞增；y=√x是冪函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x2是二次函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但在(-∞,0)上單調(diào)遞減。y=log?/?(x)是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)小于1，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.A,B

解析：b?=b?q3=16，得q3=16，解得q=2。S?=b?(1-q?)/(1-q)=1(1-2?)/(1-2)=63。

3.B,C

解析：直線l?與l?相交于點P(1,2)，代入l?得2=k+b，代入l?得2=m+c。所以k+m≠0。由k+b=2和m+c=2，得b-c=2-m。因為k+m≠0，不能確定b-c的具體值，但可以確定k+m≠0。

4.A,C,D

解析：a2=b2+c2-bc，等價于a2+bc=b2+c2。由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA，比較得-2bc*cosA=bc，即cosA=-1/2。所以角A=120°。選項中只有30°和60°是可能的補(bǔ)角，但120°的補(bǔ)角是60°。所以角A可能為60°或90°。如果角A為90°，則a2=b2+c2-bc=b2+c2-bc=b2+c2-2bc*cos90°=b2+c2，符合條件。如果角A為60°，則cos60°=1/2，代入a2+bc=b2+c2，得a2+bc=b2+c2-2bc*(1/2)=b2+c2-bc，即a2=b2+c2-bc，符合條件。所以角A可能為30°,60°,90°。

5.A,D

解析：f'(x)=e?+1/x。在(0,+∞)上，e?>0且1/x>0，所以f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。f'(1)=e+1>0，說明x=1是極小值點，不是極大值點。因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以x=1處取得極小值，也取得最小值。

三、填空題答案及解析

1.7

解析：f(1)=3×1-2=1，f(f(1))=f(1)=7。

2.12√3

解析：由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(42+52-32)/(2×4×5)=25/40=5/8。sinA=√(1-cos2A)=√(1-(5/8)2)=√(39/64)=√39/8。面積S=1/2*bc*sinA=1/2*4*5*(√39/8)=10√39/8=5√3。

3.1:-2:-3

解析：直線y=x+1的斜率為1，所以l的斜率k=-1。由ax+by+c=0，得y=(-a/b)x-c/b。斜率為-a/b=-1，得a/b=1，即a=b。又直線過點(1,2)，代入得a×1+b×2+c=0，即a+2a+c=0，得3a+c=0，即c=-3a。所以a:b:c=a:a:-3a=1:1:-3=1:-2:-3。

4.π

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.2

解析：由S?=a?=3，S?=a?+a?+a?=9。得3+a?+a?=9，即a?+a?=6。又a?=a?+d=3+d，a?=a?+2d=3+2d。所以3+d+3+2d=6，得3d+6=6，解得d=0。這里推導(dǎo)有誤，應(yīng)為a?+a?+a?=9=>3+(3+d)+(3+2d)=9=>9+3d=9=>3d=0=>d=0。所以公差d=0。但題目條件S?=3,S?=9不滿足等差數(shù)列性質(zhì)（若d=0則S?=S?=3）。假設(shè)題目意圖是S?=3,S?=9，則4a?+6d=9=>4*3+6d=9=>12+6d=9=>6d=-3=>d=-1/2。重新計算S?=3+2*(-1/2)=3-1=2，不滿足S?=9。假設(shè)題目意圖是S?=3,S?=9，則2a?+d=3=>2*3+d=3=>6+d=3=>d=-3。重新計算S?=3+(-3)+(3+2*(-3))=3-3+(3-6)=3-3-3=-3，不滿足S?=9。假設(shè)題目意圖是S?=3,S?=9，則2a?+d=3=>2*3+d=3=>6+d=3=>d=-3。重新計算S?=3+(3+d)+(3+2d)+(3+3d)+(3+4d)=3+(3-3)+(3-6)+(3-9)+(3-12)=3+0-3-6-9-9=-24，不滿足S?=9?？磥眍}目條件有誤，若按S?=3,S?=9推導(dǎo)，則d必須為0，但此時S?≠9。若題目意圖是考察等差數(shù)列性質(zhì)，則S?-S?=a?+a?=6，S?-S?=a?=3，這也不成立。若題目意圖是考察S?-S?=3d，S?-S?=3d，則3d=9/3=3，d=1。此時S?-S?=a?+a?=3d=3，成立。所以公差d=1。重新計算a?=a?+(n-1)d=3+(n-1)*1=n+2。

6.2

解析：由S?=a?+a?+a?=9。又a?=a?+d=3+d，a?=a?+2d=3+2d。所以3+(3+d)+(3+2d)=9=>9+3d=9=>3d=0=>d=0。但S?=3=>a?=3，S?=9=>a?+a?+a?=9=>3+a?+3=9=>a?=3。所以a?=a?=a?=3，數(shù)列為常數(shù)列，公差d=a?-a?=3-3=0。

四、計算題答案及解析

1.解：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0。解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2(-2)+1=-8-12-4+1=-23。f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)+1=(1-3√3/3+9/9-√3/33)-3(1-2√3/3+3/9)+2-2√3/3+1=(1-√3+1-√3/9)-3(1-2√3/3+1/3)+3-2√3/3=(2-√3-√3/9)-3+2√3-1+3-2√3/3=2-√3-√3/9-3+2√3-1+3-2√3/3=1-√3(1+1/9+2/3)=1-√3(1+1/9+6/9)=1-√3(16/9)=1-16√3/9=1-8√3/9。f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)+1=(1+3√3/3+9/9+√3/33)-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3+1=(1+√3+1+√3/9)-3(1+2√3/3+1/3)+3+2√3/3=(2+√3+√3/9)-3-2√3-1+3+2√3/3=2+√3+√3/9-3+2√3-1+3+2√3/3=1+√3(1+1/9+2/3)=1+√3(1+1/9+6/9)=1+√3(16/9)=1+16√3/9=1+8√3/9。比較f(-2),f(1-√3/3),f(1+√3/3)。f(-2)=-23。f(1-√3/3)=1-8√3/9。f(1+√3/3)=1+8√3/9。因為√3≈1.732，所以8√3/9≈8*1.732/9≈13.856/9≈1.539。所以f(1-√3/3)≈1-1.539=-0.539。f(1+√3/3)≈1+1.539=2.539。所以f(-2)<f(1-√3/3)<f(1+√3/3)。最大值為f(1+√3/3)=1+8√3/9。最小值為f(-2)=-23。

2.解：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2×3×5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。由sin2B+cos2B=1，得sin2B=1-cos2B=1-(3/5)2=1-9/25=16/25。因為b<c，所以B為銳角，sinB>0。sinB=√16/25=4/5。面積S=1/2*a*c*sinB=1/2*3*5*4/5=15/2*4/5=3*4/2=6。

3.解：l?的斜率為k?=2。l?的斜率為k?=-a/3。因為l?平行于l?，所以k?=k?，即2=-a/3。解得a=-6。兩條平行線之間的距離d=|c?-c?|/√(a2+b2)=|-3-(-5)|/√((-6)2+32)=|2|/√(36+9)=2/√45=2/(3√5)=2√5/15。

4.解：∫(x2+2x+3)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫3dx=x3/3+x2+3x+C。

5.解：由Sn=n2+n，得a?=S?=12+1=2。當(dāng)n≥2時，a?=Sn-Sn??=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-n2+2n-n=2n。對于n=1，a?=2，也滿足a?=2n。所以通項公式a?=2n。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)高三階段的核心內(nèi)容，主要包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計等部分。

1.函數(shù)部分：

-函數(shù)的概念、定義域、值域和圖像

-函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

-函數(shù)的解析式求解和化簡

-函數(shù)的零點、最值問題

-指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像

-函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值）

-不定積分的計算

2.數(shù)列部分：

-等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式

-數(shù)列的遞推關(guān)系式

-數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用

3.解析幾何部分：

-直線的方程、斜率、平行、垂直

-直線與直線的位置關(guān)系（平行、相交、垂直）

-直線與圓的位置關(guān)系（相離、相切、相交