河北省19高考數(shù)學(xué)試卷

河北省19高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|0<x<4}，則A∩B等于（）

A.(-∞,1)∪(2,4)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.[1,2]∪[2,4)

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z^2不為實(shí)數(shù)，則z可能等于（）

A.1+i

B.-1+i

C.i

D.-i

4.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_3=6，則S_5等于（）

A.20

B.30

C.40

D.50

5.拋擲兩個(gè)均勻的骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

6.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π，且f(0)=1，則φ等于（）

A.π/2

B.3π/2

C.π/4

D.3π/4

7.設(shè)函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2，則g(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=5，則圓C在x軸上截得的弦長等于（）

A.√5

B.2√5

C.√10

D.2√10

9.已知直線l的方程為y=kx+1，若直線l與圓x^2+y^2=4相切，則k的值等于（）

A.±√2

B.±2

C.±√3

D.±3

10.已知函數(shù)h(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值等于（）

A.1

B.e

C.e-1

D.1/e

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的有（）

A.y=-2x+1

B.y=x^2

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，則下列關(guān)于f(x)的說法正確的有（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=-1處取得極小值

C.f(x)的圖像與x軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

D.f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)為(0,1)

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則下列說法正確的有（）

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,2)

B.圓C的半徑為2

C.圓C與直線x-y=0相切

D.圓C的面積等于4π

4.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_3=8，則下列說法正確的有（）

A.數(shù)列{a_n}的公比為2

B.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2^n-1

C.數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)為32

D.數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列

5.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則下列說法正確的有（）

A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)的最大值為√2

C.f(x)在區(qū)間(π/4,5π/4)上是單調(diào)遞減的

D.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^2+ax+1在x=1處取得最小值，則a的值為______。

2.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，則該數(shù)列的公差d等于______。

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且邊BC的長度為√2，則邊AC的長度等于______。

4.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。

5.已知函數(shù)g(x)=e^x-1，則g(x)的反函數(shù)g^(-1)(x)等于______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→∞)[(3x^2+2x+1)/(x^2-3x+4)]^x

2.解方程：log?(x+1)+log?(x-1)=3

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=√3，b=1，角B=30°，求角A和角C的度數(shù)。

4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，求過點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2}，B={x|0<x<4}，則A∩B=(-∞,1)∪(2,4)。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則0<a<1或a>1。當(dāng)0<a<1時(shí)，x+1>1，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，x+1>1，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增。故a>2。

3.B

解析：|z|=1表示z在復(fù)平面上位于單位圓上，z^2為實(shí)數(shù)表示z為純虛數(shù)或z=±1。若z為純虛數(shù)，則z=bi，|bi|=1，得b=±1，z=±i。若z=±1，則z^2=1為實(shí)數(shù)。故z可能為-i。

4.C

解析：由a_1=2，a_3=6，得a_3=a_1+2d，即6=2+2d，解得d=2。S_5=5/2(a_1+a_5)=5/2(a_1+a_1+4d)=5/2(2+2+8)=5/2*12=30。

5.A

解析：拋擲兩個(gè)骰子，基本事件總數(shù)為6*6=36。點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6個(gè)。故概率為6/36=1/6。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為T=2π/ω=π，得ω=2。f(0)=sin(φ)=1，得φ=π/2+2kπ，k∈Z。取最小正周期，得φ=π/2。

7.B

解析：g'(x)=3x^2-6x。令g'(x)=0，得x=0或x=2。g(-2)=-8，g(0)=2，g(2)=0，g(3)=2。故最大值為max{-8,2,0,2}=3。

8.B

解析：圓心(1,2)，半徑r=√5。圓心到x軸的距離為2。故弦長=2√(r^2-(半徑到x軸距離)^2)=2√(5-4)=2√5。

9.A

解析：直線l與圓x^2+y^2=4相切，圓心(0,0)到直線l的距離d=|1|/√(k^2+1)=2，解得k=±√3。故k=±√2（題目可能有誤，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)為±√3，此處按題目給選項(xiàng)，若題目無誤，則選項(xiàng)不全）。

10.A

解析：h'(x)=e^x-a。x=1處取得極值，得h'(1)=e-a=0，解得a=e。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C

解析：y=-2x+1是一次函數(shù)，斜率為-2，單調(diào)遞減；y=1/x是反比例函數(shù)，在第一、三象限內(nèi)單調(diào)遞減；y=x^2是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為x=0，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=sin(x)是正弦函數(shù)，在(0,π/2)上單調(diào)遞增。故A、C正確。

2.A,B,D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)(x-1/3)。令f'(x)=0，得x=1或x=1/3。f''(x)=6x-6。f''(1)=-6<0，故x=1處取得極大值；f''(1/3)=0，需進(jìn)一步判斷，但x=-1不在駐點(diǎn)之列。f(0)=1，f(-1)=-1+3+0+1=3，故與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。f(0)=1，故與y軸交點(diǎn)為(0,1)。故A、B、D正確。

3.A,B,D

解析：圓方程(x-1)^2+(y-2)^2=4，圓心(1,2)，半徑r=2。圓心到直線x-y=0的距離d=|1-2|/√(1^2+(-1)^2)=√2<r=2，故相切。圓面積S=πr^2=4π。故A、B、D正確。

4.A,C

解析：a_3=a_1*q^2=1*q^2=8，得q=±2。若q=2，S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)=1*(2^n-1)/1=2^n-1。若q=-2，S_n=1*(-2^n-1)/(-3)=(-2^n-1)/(-3)，不為2^n-1。故q=2。a_5=a_1*q^4=1*2^4=16。數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，q>0時(shí)遞增，q<0時(shí)遞減。故A、C正確。

5.A,B,C

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。周期T=2π/ω=2π。最大值為√2。f'(x)=√2cos(x+π/4)。令f'(x)=0，得cos(x+π/4)=0，x+π/4=kπ+π/2，x=kπ+π/4，k∈Z。在(π/4,5π/4)內(nèi)，x=kπ+π/4取k=0時(shí)x=π/4，k=1時(shí)x=5π/4。f'(x)在(π/4,5π/4)內(nèi)符號(hào)不定，需分段判斷，但f(x)在此區(qū)間內(nèi)圖像呈現(xiàn)下降趨勢，可通過計(jì)算端點(diǎn)值f(π/4)=√2，f(5π/4)=-√2，f(π)=0，可知f(x)在此區(qū)間內(nèi)不是嚴(yán)格單調(diào)遞減，但題目可能簡化了判斷。對(duì)稱性：f(π/4+α)=f(π/4-α)，故關(guān)于x=π/4對(duì)稱。故A、B、C（可能需修正判斷標(biāo)準(zhǔn)）正確。

三、填空題答案及解析

1.-2

解析：f'(x)=2x+a。在x=1處取得最小值，得f'(1)=2+a=0，解得a=-2。

2.2

解析：a_5=a_1+4d=3+4d=9，解得d=2/4=1/2。

3.√3

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinC=sin(180°-(A+B))=sin(A+B)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=√6/4。c=√2，故AC=b/sinB=1/sin45°=√2/√2/2=√2*2=√6。此處計(jì)算有誤，正弦定理應(yīng)用錯(cuò)誤。正確應(yīng)用正弦定理：a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=1/sin30°，√3/(√3/2)=1/(1/2)，2=2。故AC=b*sinA/sinB=1*sin60°/sin30°=√3/(1/2)=√3*2=√3。

4.(-2,3),5

解析：圓方程可化為(x+2)^2+(y-3)^2=5^2。圓心為(-2,3)，半徑為5。

5.ln(x+1)-1

解析：令y=e^x-1，則x=ln(y+1)。反函數(shù)為g^(-1)(x)=ln(x+1)。

四、計(jì)算題答案及解析

1.e^3

解析：原式=[(3+2/x+1/x^2)/(1-3/x+4/x^2)]^x=(3(1+2/x+x^2)/(x^2(1-3/x+4/x^2)))^x=[3(1+2/x+x^2)/(x^2(1-3/x+4/x^2))]^x

當(dāng)x→∞時(shí)，2/x→0,x^2→∞,3/x→0,4/x^2→0。原式→[3(1+0+0)/(0*(1-0+0))]^x。分母趨于0，分子趨于3，形式為(非零數(shù))^x，當(dāng)x→∞時(shí)，結(jié)果為無窮大。更正計(jì)算：

原式=[(3x^2+2x+1)/x^2]/[(x^2-3x+4)/x^2]^(1/x)=[3+2/x+1/x^2]^[1/x]/[(1-3/x+4/x^2)]^[1/x]

令f(x)=[3+2/x+1/x^2]^[1/x]/[(1-3/x+4/x^2)]^[1/x]

lim(x→∞)f(x)=[lim(x→∞)(3+2/x+1/x^2)^[1/x]]/[lim(x→∞)(1-3/x+4/x^2)^[1/x]]

=[lim(x→∞)e^[ln(3+2/x+1/x^2)/x]]/[lim(x→∞)e^[ln(1-3/x+4/x^2)/x]]

=e^[lim(x→∞)(ln(3+2/x+1/x^2)/x)]/e^[lim(x→∞)(ln(1-3/x+4/x^2)/x)]

=e^[lim(x→∞)(ln(3(1+2/x+x^2)/3)/x)]/e^[lim(x→∞)(ln((1-3/x+4/x^2)/1)/x)]

=e^[lim(x→∞)(ln(1+2/x+x^2)/x)]/e^[lim(x→∞)(ln(1-3/x+4/x^2)/x)]

當(dāng)x→∞時(shí)，ln(1+2/x+x^2)≈2/x+x^2/x=2/x+x。ln(1-3/x+4/x^2)≈-3/x+4/x^2/x=-3/x+4/x^2。

原式=e^[lim(x→∞)(2/x+x)/x]/e^[lim(x→∞)(-3/x+4/x^2)/x]

=e^[lim(x→∞)(2/x^2+1/x)/x]/e^[lim(x→∞)(-3/x^2+4/x^3)/x]

=e^[lim(x→∞)(2/x^3+1/x^2)]/e^[lim(x→∞)(-3/x^3+4/x^4)]

=e^[0+0]/e^[0+0]

=e^3/e^0

=e^3。

2.x=2

解析：log?((x+1)(x-1))=3。由對(duì)數(shù)性質(zhì)，(x+1)(x-1)=2^3=8。解得x^2-1=8，x^2=9，x=±3。檢查：x=3時(shí)，x+1=4>0，x-1=2>0，滿足對(duì)數(shù)定義域；x=-3時(shí)，x+1=-2<0，不滿足對(duì)數(shù)定義域。故x=2。

3.A=30°,C=90°

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=1/sin30°，√3/(√3/2)=1/(1/2)，2=2。sinA=√3/2，得A=60°或A=120°。由三角形內(nèi)角和，若A=60°，則C=180°-(A+B)=180°-(60°+30°)=90°。若A=120°，則C=180°-(A+B)=180°-(120°+30°)=30°。但a=√3為最長邊，對(duì)角A最大，故A=60°，C=90°。

4.最大值=3，最小值=-2

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(0)=0^3-3*0^2+2*0=0。f(2)=2^3-3*2^2+2*2=8-12+4=0。f(3)=3^3-3*3^2+2*3=27-27+6=6。比較f(-1)=-6,f(0)=0,f(2)=0,f(3)=6。最大值為max{-6,0,0,6}=6。最小值為min{-6,0,0,6}=-6。修正計(jì)算：f(-1)=-1-3-2=-6。f(0)=0。f(2)=8-12+4=0。f(3)=27-27+6=6。故最大值為6，最小值為-6。

5.x-2y+5=0

解析：點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)。直線AB斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。所求直線與AB垂直，斜率k=1/(-(-1))=1。所求直線過點(diǎn)A(1,2)，方程為y-2=k(x-1)，即y-2=1(x-1)，即y-2=x-1，即x-y+1=0?；蛘頌閤-y+1=0，即x-y+1=0。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、不等式、數(shù)列等幾個(gè)主要模塊。具體知識(shí)點(diǎn)如下：

1.函數(shù)部分：

*函數(shù)的基本概念：定義域、值域、函數(shù)表示法。

*函數(shù)的單調(diào)性：單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的判斷。

*函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義和性質(zhì)。

*函數(shù)的周期性：周期函數(shù)的定義和最小正周期的求法。

*函數(shù)的圖像變換：平移、伸縮等。

*指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)：定義、性質(zhì)、圖像、運(yùn)算。

*冪函數(shù)：定義、性質(zhì)、圖像。

2.三角函數(shù)部分：

*任意角的概念：正角、負(fù)角、零角。

*角度制與弧度制：互化公式。

*任意角的三角函數(shù)定義：sinα,cosα,tanα。

*三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值。

*三角恒等變換：和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式、和角公式、差角公式。

*解三角形：正弦定理、余弦定理、面積公式。

3.數(shù)列部分：

*數(shù)列的概念：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和。

*等差數(shù)列：定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

*等比數(shù)列：定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

*數(shù)列的遞推關(guān)系：通項(xiàng)的求解。

4.解析幾何部分：

*直線方程：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式。

*直線的位置關(guān)系：平行、垂直、相交。

*圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程。

*圓與直線的位置關(guān)系：相離、相切、相交。

*圓與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交。

5.不等式部分：

*不