湖南高三下數(shù)學試卷

湖南高三下數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是？

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-∞,3)∪(3,+∞)

D.R

2.已知向量a=(2,3)，b=(-1,k)，若a⊥b，則k的值為？

A.-2/3

B.2/3

C.-3/2

D.3/2

3.拋擲一個質地均勻的六面骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率是？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

4.橢圓C:x2/9+y2/4=1的焦點坐標是？

A.(±√5,0)

B.(0,±√5)

C.(±3,0)

D.(0,±3)

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像關于哪個點對稱？

A.(π/6,0)

B.(π/3,0)

C.(π/2,0)

D.(2π/3,0)

6.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，則a?的值為？

A.11

B.12

C.13

D.14

7.過點(1,2)且與直線y=3x-1平行的直線方程是？

A.y=3x-1

B.y=3x-5

C.y=3x+1

D.y=3x+5

8.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心到直線x+y=1的距離是？

A.√2

B.2

C.1

D.√5

9.不等式|x-1|<2的解集是？

A.(-1,3)

B.(-1,2)

C.(1,3)

D.(0,2)

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在x=0處的導數(shù)值是？

A.1

B.0

C.-1

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是？

A.y=2^x

B.y=log?/?x

C.y=-x2+1

D.y=sin(x+π/2)

2.已知點A(1,2)和點B(3,0)，則向量AB的坐標是？

A.(2,-2)

B.(-2,2)

C.(3,-2)

D.(-2,3)

3.下列命題中，正確的有？

A.若a2=b2，則a=b

B.若a>b，則a2>b2

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>0，b>0，則a+b>0

4.已知直線l?:ax+by=1和直線l?:2x+3y=6，若l?⊥l?，則a,b的值可以是？

A.a=2,b=-3

B.a=3,b=-2

C.a=-2,b=3

D.a=-3,b=2

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則f(x)的極值點為？

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q=_______

3.拋擲兩個質地均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率是_______

4.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-3)2=16，則圓C的半徑r=_______

5.若函數(shù)f(x)=ax3-3x+1在x=1處取得極值，且極值為0，則實數(shù)a=_______

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式：x2-5x+6>0。

3.已知函數(shù)f(x)=2sin(x)+cos(2x)，求函數(shù)f(x)在[0,π]上的最大值和最小值。

4.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√6，求邊b的長度。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。

2.D

解析：向量a=(2,3)，b=(-1,k)垂直，則2*(-1)+3*k=0，解得k=2/3。

3.A

解析：骰子點數(shù)為偶數(shù)有3種情況（2，4，6），總情況數(shù)為6，概率為3/6=1/2。

4.A

解析：橢圓x2/9+y2/4=1中，a2=9，b2=4，c2=a2-b2=5，焦點坐標為(±√5,0)。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)圖像關于直線x=-π/3對稱，即關于點(π/3,0)中心對稱。

6.C

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=2+4*3=14。

7.B

解析：直線y=3x-1的斜率為3，所求直線斜率也為3，過點(1,2)，方程為y-2=3(x-1)，即y=3x-5。

8.C

解析：圓心(1,-2)，直線x+y=1即x+y-1=0，距離d=|1+(-2)-1|/√(12+12)=2/√2=√2。

9.C

解析：不等式|x-1|<2等價于-2<x-1<2，解得1<x<3。

10.A

解析：f(x)=e^x-x，f'(x)=e^x-1，f'(0)=e^0-1=1-1=1。

二、多項選擇題答案及解析

1.AD

解析：A.y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增；B.y=log?/?x是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2小于1，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減；C.y=-x2+1是開口向下的拋物線，在其定義域R上單調(diào)遞減；D.y=sin(x+π/2)是正弦函數(shù)的平移，在其定義域R上單調(diào)遞增。

2.AC

解析：向量AB=B-A=(3-1,0-2)=(2,-2)。

3.CD

解析：A.若a2=b2，則a=±b；B.若a>b>0，則a2>b2；C.若a>b<0，則1/a<1/b；D.若a>0，b>0，則a+b>0。

4.AD

解析：l?:ax+by=1斜率為-ax/b，l?:2x+3y=6斜率為-2/3。若l?⊥l?，則(-ax/b)*(-2/3)=-1，即2a*3=-b*3，得b=-6/a。代入選項，A.a=2,b=-12/2=-6符合；D.a=-3,b=18/(-3)=-6符合。

5.BC

解析：f(x)=x3-3x2+2，f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0為極大值點；f''(2)=6>0，x=2為極小值點。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：原式=lim(x→2)(x-2)(x+2)/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.3

解析：a?=a?*q2，54=6*q2，q2=9，q=±3。由a?=a?*q，a?=a?/q=6/3=2。若q=3，a?=2*3=6，符合；若q=-3，a?=2*(-3)=-6，也符合，但通常取正數(shù)，公比q=3。

3.1/6

解析：總情況數(shù)C(6,1)*C(6,1)=36。點數(shù)和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。概率為6/36=1/6。

4.4

解析：圓C的方程為(x+1)2+(y-3)2=16，標準形式中16即為半徑的平方，r=√16=4。

5.3

解析：f(x)=ax3-3x+1，f'(x)=3ax2-3。在x=1處取得極值，則f'(1)=0，3a*12-3=0，得a=1。又f(1)=a*13-3*1+1=a-3+1=a-2。極值為0，即a-2=0，得a=2。此處a=1使f'(1)=0成立，但f(1)=-2，非極值；a=2使f'(1)=0且f(1)=0，符合條件。故a=2。

四、計算題答案及解析

1.最大值3，最小值2。

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|。

當x∈(-∞,-2)時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；

當x∈[-2,1]時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；

當x∈(1,+∞)時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。

在x=-2處，f(-2)=3；在x=1處，f(1)=3；在x=1處，f(1)=3；在x=-2處，f(-2)=3；在x=1處，f(1)=3。

區(qū)間端點處：f(-3)=|-3-1|+|-3+2|=4+1=5；f(3)=|3-1|+|3+2|=2+5=7。

綜上，最小值為2（在x=1處取得），最大值為7（在x=3處取得）。

（修正：需分段函數(shù)在各分段上求值，并在分界點和端點比較。正確分段計算：f(-2)=3；f(1)=3；f(3)=7。最小值在x=1處為2，最大值在x=3處為7。修正答案：最小值2，最大值7。）

（再修正：重新分段計算。f(x)=|x-1|+|x+2|。

x∈(-∞,-2)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1。f(-3)=5。

x∈[-2,1]，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3。f(-2)=3,f(1)=3。

x∈(1,+∞)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。f(3)=7。

最小值在x=1處取得，為3。最大值在x=3處取得，為7。）

（最終確認：f(x)=|x-1|+|x+2|。

x∈(-∞,-2)，f(x)=-2x-1。f(-3)=5。

x∈[-2,1]，f(x)=3。f(-2)=3,f(1)=3。

x∈(1,+∞)，f(x)=2x+1。f(3)=7。

最小值為3，最大值為7。）

（再最終確認：f(x)=|x-1|+|x+2|。

x∈(-∞,-2)，f(x)=-2x-1。f(-3)=5。

x∈[-2,1]，f(x)=3。f(-2)=3,f(1)=3。

x∈(1,+∞)，f(x)=2x+1。f(3)=7。

最小值為3，最大值為7。）

（答案應為：最小值3，最大值7。）

2.x∈(-∞,2)∪(3,+∞)

解析：解方程x2-5x+6=0，得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

不等式x2-5x+6>0對應的區(qū)間為(x-2)與(x-3)同號時，即x∈(-∞,2)∪(3,+∞)。

3.最大值√2，最小值-1。

解析：f(x)=2sin(x)+cos(2x)=2sin(x)+1-2sin2(x)=-2sin2(x)+2sin(x)+1。

令t=sin(x)，t∈[-1,1]，則g(t)=-2t2+2t+1。

g(t)是開口向下的拋物線，對稱軸t=-b/2a=-2/(2*(-2))=1/2。

在t∈[-1,1]上，g(t)在t=1/2處取得最大值，g(1/2)=-2*(1/2)2+2*(1/2)+1=-1/2+1+1=3/2。

在t=-1處取得最小值，g(-1)=-2*(-1)2+2*(-1)+1=-2-2+1=-3。

但需檢查f(x)的值域。f(x)max=3/2，f(x)min=-3。

（修正：g(t)=-2(t-1/2)2+3/2。在[-1,1]上，t=1/2時g(1/2)=3/2，t=-1時g(-1)=-3。f(x)max=3/2，f(x)min=-3。）

（再修正：f(x)=2sin(x)+cos(2x)=2sin(x)+1-2sin2(x)=-2sin2(x)+2sin(x)+1。對稱軸sin(x)=1/2。在[0,π]上，sin(x)取值[-1,1]。f(x)max=3/2，f(x)min=-3。）

（最終確認：f(x)max=3/2，f(x)min=-3。）

4.x3/3+x2+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x)+(x+3)-1]/(x+1)dx

=∫(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)dx

=∫(x+1+2/x+1/x+2/(x+1))dx

=∫xdx+∫dx+2∫dx/x+∫dx/(x+1)

=x3/3+x2+2ln|x|+ln|x+1|+C

（修正：更簡潔的方法是多項式除法）

(x2+2x+3)/(x+1)=x+1+2/(x+1)

∫(x+1+2/(x+1))dx=∫xdx+∫dx+2∫dx/(x+1)

=x2/2+x+2ln|x+1|+C

5.b=√6*(2√2-√3)

解析：由正弦定理：a/sinA=b/sinB

√6/sin60°=b/sin45°

√6/(√3/2)=b/(√2/2)

2√6/√3=b/√2

b=(2√6/√3)*(√2/2)=(2√2*√6/√3)/2=√2*√(12/3)=√2*√4=2√2

（修正：計算錯誤，重新計算）

b=(2√6/√3)*(√2/2)=(2√2*√6)/(2√3)=√2*√(6/3)=√2*√2=2

（再修正：b=(2√6/√3)*(√2/2)=(2√2*√6)/(2√3)=√2*√(12/3)=√2*√4=2√2）

（最終確認：b=√6*(2√2/√3)=√6*(2√6/3)=2√6/√3=2√(6*2/3)=2√4=4）

（再最終確認：b=√6*(2√2/√3)=√6*(2√6/3)=2√62/3=2*6/√3