合肥市三?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

合肥市三模考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3},B={x|-2<x<4},則集合A∩B等于

A.{x|-1<x<3}

B.{x|1<x<4}

C.{x|0<x<3}

D.{x|-1<x<4}

2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的值域為

A.(0,+∞)

B.(1,+∞)

C.(2,+∞)

D.R

3.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=2,a?=8,則該數(shù)列的通項公式為

A.a?=2n

B.a?=2n-2

C.a?=2n+1

D.a?=2n-1

4.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且arg(z)=π/3,則z等于

A.2+2i

B.1+i

C.2i

D.2-2i

5.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊a=√2,則邊b等于

A.1

B.√3

C.2

D.√2

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/4)的最小正周期為

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為4,則p等于

A.2

B.4

C.8

D.16

8.在直角坐標(biāo)系中,點P(a,b)關(guān)于直線x-y=0的對稱點為

A.(a,b)

B.(-a,-b)

C.(b,a)

D.(-b,-a)

9.若函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m,則M-m等于

A.12

B.8

C.4

D.0

10.已知圓O的半徑為2,圓心O到直線l的距離為1,則圓O與直線l的位置關(guān)系為

A.相離

B.相切

C.相交

D.內(nèi)含

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有

A.y=2?

B.y=3?

C.y=1/2?

D.y=1/3?

2.在等比數(shù)列{b?}中,若b?=1,b?=16,則該數(shù)列的前n項和S?等于

A.2?-1

B.2?+1

C.16?-1

D.16?+1

3.已知向量?a=(1,2),?b=(-2,1),則下列說法正確的有

A.|?a|=√5

B.|?b|=√5

C.?a·?b=-3

D.?a與?b的夾角為π/2

4.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊BC=√2,則下列結(jié)論正確的有

A.sinC=√3/2

B.cosC=-1/4

C.AC=2√2

D.BC=√6+√2

5.已知橢圓C:mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的離心率為√2/2,則下列說法正確的有

A.m=n

B.m+n=1

C.橢圓C的焦點在x軸上

D.橢圓C的短軸長為1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-ax+1在x=1處取得最小值,則實數(shù)a的值為______.

2.已知tanα=√3,α為銳角,則sin(α+π/6)的值為______.

3.在△ABC中,若角A=45°,角B=60°,邊a=√3,則角C的對邊c的值為______.

4.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a-1)y+4=0互相平行,則實數(shù)a的值為______.

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則圓C的圓心坐標(biāo)為______,半徑長為______.

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1.

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值.

2.已知復(fù)數(shù)z=1+i,求復(fù)數(shù)z?的模和輻角主值.

3.已知等差數(shù)列{a?}的首項a?=5,公差d=-2.

(1)求該數(shù)列的通項公式a?;

(2)求該數(shù)列的前10項和S??.

4.解方程組:

{

2x+y-z=1,

3x-y+2z=5,

x+2y-3z=0.

}

5.已知圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=9,直線l的方程為x+y-4=0.

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑;

(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;若相切,求切點坐標(biāo).

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B分析：A∩B為集合A和集合B中共同存在的元素構(gòu)成的集合。根據(jù)A={x|1<x<3}和B={x|-2<x<4}，可得A∩B={x|1<x<3}。

2.A分析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域為x2-2x+3>0，解得x∈R。值域為(0,+∞)，因為x2-2x+3的最小值為2，log?函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

3.D分析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d，代入a?=2,a?=8，得8=2+4d，解得d=3/2。通項公式為a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)3/2=2n/2-3/2+2=2n-1/2。化簡得a?=2n-1。

4.A分析：復(fù)數(shù)z的模為|z|=2，輻角為π/3。根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式，z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。但選項中沒有1+√3i，檢查題目和選項，發(fā)現(xiàn)原題中arg(z)=π/3，對應(yīng)的是角度制，而標(biāo)準(zhǔn)三角形式中π/3對應(yīng)弧度制，cos(π/3)=1/2,sin(π/3)=√3/2。所以z=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。選項A為2+2i，可能題目或選項有誤，如果按標(biāo)準(zhǔn)答案，應(yīng)為1+√3i。

5.B分析：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB，代入a=√2,A=60°,B=45°，得√2/sin60°=b/sin45°，解得b=√2/(√3/2)/√2/2=√2*2/√3*2/√2=2/√3*√2/√2=2/√3*1=2√3/3。但選項中沒有2√3/3，檢查計算過程，發(fā)現(xiàn)錯誤在最后一步，應(yīng)為b=√2/(√3/2)*2/√2=2/√3=2√3/3。選項B為√3，可能題目或選項有誤。

6.A分析：正弦函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的周期為T=2π/|ω|。對于f(x)=sin(2x+π/4)，ω=2，所以T=2π/2=π。

7.B分析：拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為(F,0)，準(zhǔn)線方程為x=-p/2。焦點到準(zhǔn)線的距離為F-(-p/2)=F+p/2。題目中該距離為4，所以F+p/2=4。由于焦點在x軸上，F(xiàn)=p/2，代入得p/2+p/2=4，解得p=4。

8.C分析：點P(a,b)關(guān)于直線x-y=0的對稱點P'的坐標(biāo)變換為交換x和y，即P'=(b,a)。

9.A分析：函數(shù)f(x)=x3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x2=1，解得x=±1。將x=±1代入f(x)，得f(1)=13-3*1+1=-1，f(-1)=(-1)3-3*(-1)+1=3。又f(-2)=-8+6+1=-1，f(2)=8-6+1=3。所以最大值M=3，最小值m=-1，M-m=3-(-1)=4。但選項中沒有4，檢查計算過程，發(fā)現(xiàn)錯誤在f(-2)的計算，f(-2)=-8+6+1=-1，f(2)=8-6+1=3。最大值M=3，最小值m=-1，M-m=3-(-1)=4。選項A為12，可能題目或選項有誤。

10.B分析：圓O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為1。若圓心到直線的距離小于半徑，則圓與直線相交；若等于半徑，則相切；若大于半徑，則相離。因為1<2，所以圓O與直線l相切。

二、多項選擇題答案及解析

1.AB分析：指數(shù)函數(shù)y=a?(a>1)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。所以y=2?和y=3?在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.AB分析：等比數(shù)列{b?}中，b?=1，b?=b?q3=16，所以q3=16，解得q=2。前n項和S?=b?(1-q?)/(1-q)=1*(1-2?)/(1-2)=2?-1。所以S?=2?-1或2?+1。選項A和B都符合。

3.AB分析：|?a|=√12+22=√5，|?b|=√(-2)2+12=√5。?a·?b=1*(-2)+2*1=-2+2=0，所以?a與?b的夾角為0，不是π/2。選項C和D錯誤。

4.AC分析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，所以角C=180°-60°-45°=75°。sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=√6/4+√2/4=√6+√2/4≠√3/2。cosC=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=√2/2*√3/2-√2/2*1/2=√6/4-√2/4=√6-√2/4≠-1/4。AC=BC/sinB=√2/sin45°=√2/(√2/2)=2。BC=√2，AC=2√2。選項A和C正確。

5.BD分析：橢圓C:mx2+ny2=1的離心率e=√(1-n/m)/√m。題目中e=√2/2，所以√(1-n/m)/√m=√2/2，平方兩邊得(1-n/m)/m=1/2，解得n/m=1/2，即n=1/2m。又m+n=1，所以m+1/2m=1，解得3m/2=1，m=2/3，n=1/3。橢圓的焦點在x軸上，因為m<n。短軸長為2√(n/m)=2√(1/2)=√2≠1。選項B和D正確。

三、填空題答案及解析

1.2分析：函數(shù)f(x)=x2-ax+1在x=1處取得最小值，所以x=1是對稱軸x=-b/2a的x坐標(biāo)，即1=-(-a)/(2*1)，解得a=2。

2.1分析：tanα=√3，α為銳角，所以α=π/3。sin(α+π/6)=sin(π/3+π/6)=sinπ/2=1。

3.√3分析：在△ABC中，角A=45°，角B=60°，邊a=√3。根據(jù)正弦定理，a/sinA=c/sinC，所以c=a*sinC/sinA=√3*sin60°/sin45°=√3*(√3/2)/(√2/2)=3/√2=√6/2。但選項中沒有√6/2，檢查計算過程，發(fā)現(xiàn)錯誤在正弦定理應(yīng)用，應(yīng)為c=a*sinC/sinA=√3*sin60°/sin45°=√3*(√3/2)/(√2/2)=3/√2=√6/2。選項√3可能題目或選項有誤。

4.-1分析：直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a-1)y+4=0互相平行，所以它們的斜率相等。l?的斜率為-ax/2，l?的斜率為-x/(a-1)。所以-ax/2=-x/(a-1)，解得a=-1。

5.(1,-2),2分析：圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，所以圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑長為√4=2。

四、計算題答案及解析

1.解：

(1)f'(x)=3x2-6x+2.

(2)f'(-1)=3*(-1)2-6*(-1)+2=11，f'(0)=3*02-6*0+2=2，f'(1)=3*12-6*1+2=-1，f'(3)=3*32-6*3+2=11。又f(-1)=-1，f(0)=1，f(1)=0，f(3)=7。所以最大值M=max{7,11}=-1，最小值m=min{-1,-1}=-1。但計算結(jié)果矛盾，重新檢查，發(fā)現(xiàn)(2)中最大值和最小值計算錯誤，應(yīng)為M=max{7,11}=11，m=min{-1,0,7}=0。

2.解：z=1+i，z?=(1+i)?=(1+i2)2=(-1)2=1。模|z?|=|1|=1。輻角主值為arg(z?)=arg(1)=0。

3.解：

(1)a?=a?+(n-1)d=5+(n-1)*(-2)=5-2n+2=7-2n.

(2)S??=10*a?+(10*9)/2*d=10*5+(10*9)/2*(-2)=50-90=-40.但計算結(jié)果不合理，重新檢查，發(fā)現(xiàn)S??計算錯誤，應(yīng)為S??=10*5+(10*9)/2*(-2)=50-45=5。

4.解：

將方程組寫成矩陣形式：

[21-1|1]

[3-12|5]

[12-3|0]

進(jìn)行行變換：

R?-3/2*R?→R?：

[21-1|1]

[0-5/27/2|13/2]

[12-3|0]

R?-1/2*R?→R?：

[21-1|1]

[0-5/27/2|13/2]

[03/2-5/2|-1/2]

R?*(-2/5)→R?：

[21-1|1]

[01-7/5|-13/5]

[03/2-5/2|-1/2]

R?-3/2*R?→R?：

[21-1|1]

[01-7/5|-13/5]

[00-1/10|4/5]

R?*(-10)→R?：

[21-1|1]

[01-7/5|-13/5]

[001|-8]

R?+7/5*R?→R?：

[21-1|1]

[010|-3]

[001|-8]

R?+R?→R?：

[210|-7]

[010|-3]

[001|-8]

R?-R?→R?：

[200|-4]

[010|-3]

[001|-8]

R?/2→R?：

[100|-2]

[010|-3]

[001|-8]

解得x=-2,y=-3,z=-8.

5.解：

(1)圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=9，所以圓心坐標(biāo)為(2,-1)，半徑長為√9=3.

(2)圓心到直線x+y-4=0的距離為|2+(-1)-4|/√(12+12)=|-3|/√2=3/√2=√6/2.因為距離小于半徑，所以直線與圓相交。設(shè)切點坐標(biāo)為(x?,y?)，則切線方程為(x?-2)(x-x?)+(y?+1)(y-y?)=0，代入直線方程x+y-4=0，得(x?-2)x+(y?+1)y-x?*y?-2y?+x?*4+y?*4=0，即(x?-2)x+(y?+1)y-4x?-2y?+4y?=0，即(x?-2)x+(y?+1)y-4x?+2y?=0。與x+y-4=