廣技師數(shù)學(xué)試卷

廣技師數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是？

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的導(dǎo)數(shù)是？

A.-3

B.0

C.3

D.6

3.曲線y=sin(x)在x=π/2處的切線斜率是？

A.-1

B.0

C.1

D.2

4.不等式|x-1|<2的解集是？

A.(-1,3)

B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-3,1)

5.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式中x^2項(xiàng)的系數(shù)是？

A.1

B.e

C.e^2

D.0

6.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值是？

A.-2

B.2

C.-5

D.5

7.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的收斂性是？

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對收斂

D.無法判斷

8.向量v=(1,2,3)的模長|v|是？

A.√14

B.√6

C.√13

D.√10

9.微分方程y'+y=0的通解是？

A.y=Ce^x

B.y=Ce^-x

C.y=Cx

D.y=C

10.設(shè)A是n階可逆矩陣，則|A^-1|的值是？

A.|A|

B.1/|A|

C.-|A|

D.0

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=1/x

2.下列不等式正確的是？

A.log2(3)>log3(2)

B.e^2>e^3

C.(1/2)^(-3)>(1/3)^(-3)

D.sqrt(2)<sqrt(3)

3.若向量u=(1,1,1)和v=(1,-1,1)，則下列說法正確的有？

A.u和v的向量積為零向量

B.u和v的點(diǎn)積為1

C.u和v的模長相等

D.u和v互相垂直

4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有？

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1^n)

5.下列矩陣中，可逆的有？

A.[[1,0],[0,1]]

B.[[1,2],[2,4]]

C.[[3,0],[0,3]]

D.[[0,0],[0,0]]

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(1)=2，則a+b+c的值是？

2.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|，則f'(1)的值是？

3.矩陣A=[[1,2],[3,4]]和B=[[2,0],[1,2]]，則矩陣A+2B的行列式det(A+2B)的值是？

4.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/(2^n))的和是？

5.微分方程y''-4y'+4y=0的特征方程是？

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求其在x=2處的值。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2-2x+1)dx。

4.解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=3

x+y+z=2

5.計(jì)算矩陣A=[[0,1],[1,0]]的n次冪A^n(n為正整數(shù))。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4

2.B.0

解析：f'(x)=3x^2-3，f'(0)=3(0)^2-3=0

3.C.1

解析：y'=cos(x)，y'(π/2)=cos(π/2)=1

4.C.(1,3)

解析：|x-1|<2=>-2<x-1<2=>-1<x<3=>(1,3)

5.A.1

解析：f(x)=e^x的泰勒展開式為e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，x^2項(xiàng)系數(shù)為1/2!

6.A.-2

解析：det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2

7.C.絕對收斂

解析：p=2>1，根據(jù)p-級(jí)數(shù)判別法，∑(n=1to∞)(1/n^2)絕對收斂

8.C.√13

解析：|v|=sqrt(1^2+2^2+3^2)=sqrt(14)

9.B.y=Ce^-x

解析：特征方程r+1=0=>r=-1，通解為y=Ce^-x

10.B.1/|A|

解析：|A^-1|=1/|A|，因?yàn)閨AB|=|A||B|，|AA^-1|=|I|=1=>|A||A^-1|=1

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：f(x)=x^2在x=0處可導(dǎo)，f'(0)=2x|_0=0；f(x)=sin(x)在x=0處可導(dǎo)，f'(0)=cos(0)=1；f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)；f(x)=1/x在x=0處無定義

2.A,C,D

解析：log2(3)>log3(2)因?yàn)?^(log2(3))=3>2^(log3(2))=2；e^2<e^3；(1/2)^(-3)=8>(1/3)^(-3)=27；sqrt(2)<sqrt(3)因?yàn)?<3

3.B,C

解析：u·v=(1)(1)+(1)(-1)+(1)(1)=1；|u|=sqrt(1^2+1^2+1^2)=sqrt(3)；|v|=sqrt(1^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(3)；u·v≠0，u與v不垂直

4.B,C

解析：p-級(jí)數(shù)收斂當(dāng)p>1，B收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)，|a_n|=1/n單調(diào)遞減趨于0，C收斂；A發(fā)散；D發(fā)散

5.A,C

解析：|I|=1≠0，|3I|=3^2=9≠0；|[[1,2],[2,4]]|=(1)(4)-(2)(2)=0；|3I|=9≠0；|[[0,0],[0,0]]|=(0)(0)-(0)(0)=0

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f'(x)=2ax+b，f'(1)=0=>2a+b=0；f(1)=a(1)^2+b(1)+c=2=>a+b+c=2；由2a+b=0得b=-2a，代入a-2a+c=2=>-a+c=2=>c=a+2；a+b+c=a-2a+a+2=2=>0+2=2=>a=0,b=0,c=2=>a+b+c=0+0+2=2=>1

2.不存在

解析：f(x)=|x-1|在x=1處的左導(dǎo)數(shù)f'_-(1)=lim(h→0^-)(|1+h-1|/h)=lim(h→0^-)(-h/h)=-1；右導(dǎo)數(shù)f'_+(1)=lim(h→0^+)(|1+h-1|/h)=lim(h→0^+)(h/h)=1；左右導(dǎo)數(shù)不相等，不存在導(dǎo)數(shù)

3.-4

解析：A+2B=[[1,2],[3,4]]+2[[2,0],[1,2]]=[[1+4,2+0],[3+2,4+4]]=[[5,2],[5,8]]；det(A+2B)=(5)(8)-(2)(5)=40-10=30

4.1

解析：∑(n=1to∞)(1/(2^n))是等比數(shù)列求和，首項(xiàng)a_1=1/2，公比q=1/2，|q|<1，和S=a_1/(1-q)=(1/2)/(1-1/2)=1/2/1/2=1

5.r^2-4r+4=0

解析：y''-4y'+4y=0的特征方程為r^2-4r+4=0=>(r-2)^2=0=>r=2(重根)

四、計(jì)算題答案及解析

1.3

解析：lim(x→0)(sin(3x)/x)=lim(x→0)(sin(3x)/(3x))*3=1*3=3

2.f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=12-12=0

解析：f'(x)=3x^2-6x；f'(2)=3(2)^2-6(2)=12-12=0

3.∫(x^2-2x+1)dx=x^3/3-x^2+x+C

解析：∫x^2dx=x^3/3；∫(-2x)dx=-x^2；∫1dx=x；∫(x^2-2x+1)dx=x^3/3-x^2+x+C

4.x=1,y=0,z=1

解析：(1)2x+y-z=1(2)x-y+2z=3(3)x+y+z=2

由(3)-(2)得3x+2z=1=>3x=1-2z=>x=(1-2z)/3

由(3)-(1)得2x+2y=1=>x+y=1/2=>y=1/2-x

代入x=(1-2z)/3=>y=1/2-(1-2z)/3=3/6-(1-2z)/3=(3-2+4z)/6=(1+4z)/6=(1/6+2z/3)

代入(2)x-y+2z=3=>(1-2z)/3-(1/6+2z/3)+2z=3

=>(2-4z-1-4z+12z)/6=3=>(1+4z)/6=3=>1+4z=18=>4z=17=>z=17/4

=>x=(1-2(17/4))/3=(1-17/2)/3=(-15/2)/3=-15/6=-5/2

=>y=1/2-x=1/2-(-5/2)=1/2+5/2=6/2=3

=>x=1,y=0,z=1

5.A^n=[[(-1)^(n+1),(-1)^n],[(-1)^n,(-1)^(n+1)]]

解析：A^2=[[0,1],[1,0]]*[[0,1],[1,0]]=[[1,0],[0,1]]=I；A^n=A^(n-1)*A

當(dāng)n=1時(shí)A^1=A=[[0,1],[1,0]]

當(dāng)n=2時(shí)A^2=I

當(dāng)n=3時(shí)A^3=A^2*A=I*A=A

當(dāng)n=4時(shí)A^4=A^3*A=A*A=A^2=I

歸納法：假設(shè)A^(n-1)=[[(-1)^(n),(-1)^(n-1)]],[[(-1)^(n-1),(-1)^n]]

則A^n=A^(n-1)*A=[[(-1)^(n),(-1)^(n-1)]],[[(-1)^(n-1),(-1)^n]]*[[0,1],[1,0]]

=[[(-1)^(n)*0+(-1)^(n-1)*1,(-1)^(n)*1+(-1)^(n-1)*0],[(-1)^(n-1)*0+(-1)^n*1,(-1)^(n-1)*1+(-1)^n*0]]

=[[(-1)^(n-1),(-1)^n],[(-1)^n,(-1)^(n+1)]]

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本次試卷主要考察了高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、級(jí)數(shù)、微分方程、矩陣運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，涵蓋了函數(shù)的極限與連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、常微分方程、線性代數(shù)等內(nèi)容。

一、極限與連續(xù)性

極限的概念與性質(zhì)、求極限的方法（直接代入、因式分解、有理化、重要極限、洛必達(dá)法則等）、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值最小值定理、介值定理）。

二、導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義、求導(dǎo)公式與運(yùn)算法則（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)）、高階導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用（函數(shù)線性逼近、誤差估計(jì)）、微分方程的概念與解法（可分離變量方程、一階線性方程、可降階的高階方程、二階常系數(shù)線性微分方程）。

三、積分

不定積分的概念與性質(zhì)、基本積分公式、積分方法（換元積分法、分部積分法）、定積分的概念與性質(zhì)、定積分的計(jì)算、定積分的應(yīng)用（計(jì)算面積、旋轉(zhuǎn)體體積、弧長等）。

四、級(jí)數(shù)

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與收斂性判別法（正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、一般級(jí)數(shù)）、冪級(jí)數(shù)的概念與收斂域、函數(shù)的