《利用三角函數(shù)解判斷說理問題》專項訓(xùn)練

專項訓(xùn)練利用三角函數(shù)解判斷說理問題方法指導(dǎo)：利用三角函數(shù)解答實際中的“判斷說理”問題：其關(guān)鍵是將實際問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型，運用解直角三角形的知識來解決實際問題．.航行路線問題1．如圖，某貨船以24nmile/h的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30min后到達B處，此時再測得該島在北偏東30°的方向上，已知在島C周圍9nmile的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．工程規(guī)劃問題2．A，B兩市相距150km，分別從A，B處測得國家級風景區(qū)中心C處的方向角如圖所示，風景區(qū)區(qū)域是以C為圓心、45km為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.為了開發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計修建連接A，B兩市的高速公路．問連接A，B兩市的高速公路會穿過風景區(qū)嗎？請說明理由．攔截問題3．如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1000m到達C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值)．

參考答案1．解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AM于點D.依題意，知AB＝24×eq\f(30,60)＝12(nmile)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\r(3)CD.又∵AD＝AB＋BD，∴eq\r(3)CD＝12＋eq\f(\r(3),3)CD，解得CD＝6eq\r(3)nmile.∵6eq\r(3)＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．技巧點撥：將這道航海問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型．該貨船有無觸礁危險取決于島C到航線AM的距離與9nmile的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AM的距離．2．解：不會穿過風景區(qū)．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意得∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB.∴CD＝eq\f(AB,tanα＋tanβ)＝eq\f(150,1.627＋1.373)＝eq\f(150,3)＝50(km)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的高速公路不會穿過風景區(qū)．3．解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點D處到公路的距離DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×1000＝500(m)．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000m，∴CF＝CDcos∠DCF＝