《構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學模型》專項訓練_第1頁
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專項訓練構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學模型方法指導:解直角三角形及其應用是近幾年各地中考命題的熱點之一,考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計算距離、高度、角度的應用題,還有要求同學們根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建三角函數(shù)的基本圖形,建立數(shù)學模型,將某些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題來求解.運用銳角三角函數(shù)知識解決與實際生活、生產(chǎn)相關(guān)的應用題是近年來中考的熱點題型.構(gòu)造一個直角三角形解實際問題1.如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖,汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8m,已知小汽車車門寬AO為1.2m,當車門打開角度∠AOB為40°時,車門是否會碰到墻?請說明理由(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題2.黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學開展數(shù)學活動,帶領(lǐng)同學們測量學校附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上,某天在太陽光的照射下,電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°,在C處測得電線桿頂端A的仰角為45°,斜坡與地面成60°角,CD=4m,請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)(結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù):eq\r(2)≈1.4,eq\r(3)≈1.7).構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題3.如圖,學校的實驗樓對面是一幢教學樓,小敏在實驗樓的窗口C測得教學樓頂部D的仰角為18°,教學樓底部B的俯角為20°,量得實驗樓與教學樓之間的距離AB=30m.(1)求∠BCD的度數(shù).(2)求教學樓的高BD(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):tan20°≈0.36,tan18°≈0.32).構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題4.如圖,某數(shù)學興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度.該樓底層為車庫,高2.5m;上面五層居住,每層高度相等.測角儀支架離地1.5m,在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°,在B處測得四樓頂部點E的仰角為30°,AB=14m.求居民樓的高度(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):eq\r(3)≈1.73).參考答案1.解:如圖,過點A作AC⊥OB,垂足為點C,在Rt△ACO中,∵∠AOC=40°,AO=1.2m,∴AC=AO·sin∠AOC≈0.64×1.2=0.768(m).∵汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8m,∴車門不會碰到墻.2.解:延長AD交BC的延長線于點G,作DH⊥BG于點H,如圖所示.在Rt△DHC中,∠DCH=60°,CD=4m,則CH=CD·cos∠DCH=4×cos60°=2(m),DH=CD·sin∠DCH=4×sin60°=2eq\r(3)(m).∵DH⊥BG,又易知∠G=30°,∴HG=eq\f(DH,tanG)=eq\f(2\r(3),tan30°)=6(m).∴CG=CH+HG=2+6=8(m).設(shè)AB=xm,∵AB⊥BG,∠G=30°,∠BCA=45°,∴BC=xm,BG=eq\f(AB,tanG)=eq\f(x,tan30°)=eq\r(3)xm.∵BG-BC=CG,∴eq\r(3)x-x=8.解得x≈11.答:電線桿的高約為11m.3.解:(1)如圖,過點C作CE⊥BD于點E,則有∠DCE=18°,∠BCE=20°,∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.(2)由題意得,CE=AB=30m,在Rt△CBE中,BE=CE·tan20°,在Rt△CDE中,DE=CE·tan18°,∴教學樓的高BD=BE+DE=CE·tan20°+CE·tan18°≈20.4(m).答:教學樓的高約為20.4m.4.解:設(shè)每層樓高為xm,由題意得MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1(m),則DC′=(5x+1)m,EC′=(4x+1)m.在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°,∴C′A′=eq\f(DC′,tan60°)=eq\f(\r(3),3)(5x+1)m.在Rt△EC′B′中,∠EB′C′=30°,∴C′B′=eq\f(EC′,tan30°)=eq\r(3)(4x+1)m.∵A′B′=C′B′-C′A′=AB,

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