黑龍江數(shù)學試卷

黑龍江數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作（B）。

A.A?B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.實數(shù)集R的補集在自然數(shù)集N中記作（C）。

A.R-N

B.N-R

C.R?N

D.N?R

3.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像為拋物線，當（A）時，拋物線開口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

4.極限lim(x→∞)(3x+2)/(5x-1)的值為（B）。

A.0

B.3/5

C.5/3

D.∞

5.在三角函數(shù)中，sin(π/2)的值等于（C）。

A.0

B.1

C.-1

D.√2

6.矩陣M=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣M^T為（A）。

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[1,4],[2,3]]

C.[[3,1],[4,2]]

D.[[2,1],[4,3]]

7.在微積分中，函數(shù)f(x)在點x?處可導的充分必要條件是（B）。

A.f(x)在x?處連續(xù)

B.f(x)在x?處連續(xù)且左右導數(shù)存在且相等

C.f(x)在x?處左右導數(shù)存在

D.f(x)在x?處可微

8.向量u=[3,4]的模長|u|等于（D）。

A.7

B.8

C.9

D.5

9.在概率論中，事件A和事件B互斥的定義是（A）。

A.P(A∩B)=0

B.P(A∪B)=1

C.P(A|B)=0

D.P(B|A)=1

10.在線性代數(shù)中，矩陣A的秩rank(A)等于（C）。

A.A中非零子式的最大階數(shù)

B.A中非零元素的最大個數(shù)

C.A的行向量組或列向量組的最大線性無關(guān)組個數(shù)

D.A的行數(shù)或列數(shù)的最小值

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù)的有（ABD）。

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=√x

2.在線性方程組Ax=b中，下列說法正確的有（AD）。

A.若A可逆，則方程組有唯一解

B.若方程組無解，則A的秩小于b的秩

C.若方程組有解，則A的秩等于b的秩

D.若A的秩等于增廣矩陣的秩且小于未知數(shù)個數(shù)，則方程組有無窮多解

3.在概率論中，事件A,B,C兩兩獨立，則下列說法正確的有（ABD）。

A.P(A∩B)=P(A)P(B)

B.P(A∩C)=P(A)P(C)

C.P(B∩C)=P(B)P(C)

D.P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)

4.在數(shù)列極限中，下列數(shù)列收斂的有（AC）。

A.a?=1/n

B.a?=(-1)?

C.a?=(1+1/n)?

D.a?=n2

5.在空間解析幾何中，下列說法正確的有（ACD）。

A.向量u=[1,0,0]平行于x軸

B.平面x+y+z=1的法向量為[1,1,1]

C.球面x2+y2+z2=4的半徑為2

D.直線x=t,y=2t,z=3t過原點

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為____2____。

2.拋物線y=x2的焦點坐標為____(0,1/4)____。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，d=3，則a?的值為____14____。

4.若向量u=[2,3],v=[1,-1]，則向量u與v的夾角余弦值為____-1/13____。

5.在二元函數(shù)z=x2+y2中，點(1,1)處的梯度?z的值為____[2,2]____。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+1)dx。

2.求極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

3.解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

x+y+z=4。

4.計算向量場F(x,y)=(x2y,xy2)沿曲線C:x=t,y=t2(0≤t≤1)的線積分∫CF·dr。

5.求解微分方程y'+y=e^x。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）答案

1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.A

7.B

8.D

9.A

10.C

二、多項選擇題（每題4分，共20分）答案

1.ABD

2.AD

3.ABD

4.AC

5.ACD

三、填空題（每題4分，共20分）答案

1.2

2.(0,1/4)

3.14

4.-1/13

5.[2,2]

四、計算題（每題10分，共50分）答案

1.解：∫(x2+2x+1)dx=∫(x+1)2dx=∫(x2+2x+1)dx=(1/3)x3+x2+x+C。

2.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)(e^x-1)/(2x)=lim(x→0)e^x/2=1/2。

3.解：

(1)×2+(2)得5z=0，得z=0；

(1)×1-(3)得3x=0，得x=0；

(1)得y=1；

故方程組的解為x=0，y=1，z=0。

4.解：∫CF·dr=∫?1[(t2·t2,t·t?)]·(1,2t)dt=∫?1(t?,t?)·(1,2t)dt=∫?1(t?+2t?)dt=[1/5t?+2/7t?]?1=1/5+2/7=19/35。

5.解：y'+y=e^x，

y=e^(-∫1dx)(∫e^xe^∫1dxdx+C)=e^(-x)(e^x+C)=1+Ce^(-x)。

知識點總結(jié)：

1.集合論：集合的包含關(guān)系、補集運算。

2.函數(shù)：函數(shù)的連續(xù)性、極限計算、三角函數(shù)值、函數(shù)圖像性質(zhì)。

3.微積分：導數(shù)與極限、矩陣運算、向量運算、梯度計算。

4.概率論：事件獨立性、概率計算。

5.數(shù)列極限：數(shù)列收斂性判斷。

6.空間解析幾何：向量平行性、平面法向量、球面方程、直線方程。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例：

一、選擇題：

1.集合論：A?B表示A是B的子集，正確答案是B。

2.集合論：R?N表示實數(shù)集去掉自然數(shù)集，正確答案是C。

3.函數(shù)：a>0時，ax2+bx+c開口向上，正確答案是A。

4.極限：lim(x→∞)(3x+2)/(5x-1)=3/5，正確答案是B。

5.三角函數(shù)：sin(π/2)=1，正確答案是C。

6.矩陣：轉(zhuǎn)置矩陣是將行變列，列變行，正確答案是A。

7.微積分：可導必連續(xù)，連續(xù)不一定可導，正確答案是B。

8.向量：向量模長|u|=√(32+42)=5，正確答案是D。

9.概率論：互斥事件P(A∩B)=0，正確答案是A。

10.線性代數(shù)：矩陣秩是最大線性無關(guān)組個數(shù)，正確答案是C。

二、多項選擇題：

1.連續(xù)性：1/x在(0,1)連續(xù)，sin(x)在(0,1)連續(xù)，tan(x)在(0,1)不連續(xù)，√x在(0,1)連續(xù)，正確答案是ABD。

2.線性方程組：Ax=b有解當且僅當r(A)=r(A|b)，唯一解當且僅當A可逆，正確答案是AD。

3.概率論：兩兩獨立不一定相互獨立，正確答案是ABD。

4.數(shù)列極限：1/n收斂，(-1)?發(fā)散，(1+1/n)?收斂于e，n2發(fā)散，正確答案是AC。

5.空間解析幾何：向量[1,0,0]平行x軸，平面x+y+z=1法向量[1,1,1]，球面x2+y2+z2=4半徑為2，直線過原點，正確答案是ACD。

三、填空題：

1.極值：f'(1)=3(1)2-1=2，a=2，正確答案是2。

2.拋物線：焦點(0,1/4a)，a=1，正確答案是(0,1/4)。

3.等差數(shù)列：a?=a?+4d=5+12=14，正確答案是14。

4.向量：cosθ=(u·v)/|u||v|=(2×1+3×(-1))/√(22+32)√(12+(-1)2)=-1/13，正確答案是-1/13。

5.梯度：?z=[?z/?x,?z/?y]=[2x,2y]evaluatedat(1,1)=[2,2]，正確答案是[2,2]。

四、計算題：

1.不定積分：∫(x2+2x+1)dx=∫(x+1)2dx=(1/3)x3+x2+x+C，正確答案是(1/3)x3+x2+x+C。

2.極限：用洛必達法則lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)e^x/2=1/2，正確答案是1/2。

3.線性方程組：

(1)×2+(2)得5z=0，得z=0；

(1)×1-(3)得3x=0，得x=0；

(1)得y=1