廣東省自主招生數(shù)學(xué)試卷

廣東省自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z的值是

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

4.設(shè)函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，若f(1)=1，f(-1)=-1，則b的值是

A.0

B.1

C.-1

D.2

5.直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，則k的取值范圍是

A.[-2,2]

B.(-2,2)

C.(-∞,-2]∪[2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

6.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則a_10的值是

A.19

B.20

C.21

D.22

7.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是

A.e

B.e^1

C.1

D.0

8.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則角B的度數(shù)是

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)，則f(x)的周期是

A.2π

B.π

C.4π

D.π/2

10.已知點(diǎn)P(x,y)在圓(x-1)^2+(y-1)^2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是

A.1

B.√2/2

C.√3/2

D.√5/2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=log_a(x)(a>1)

D.y=-x^3

2.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，則下列結(jié)論正確的有

A.△ABC是銳角三角形

B.△ABC是直角三角形

C.cosA=11/14

D.sinB=3√5/14

3.下列不等式正確的有

A.(1/2)^-3>(1/2)^-2

B.log_2(8)>log_2(4)

C.sin(π/6)<sin(π/3)

D.arctan(1)>arctan(0)

4.下列函數(shù)中，以x=π/2為對稱軸的有

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=-cos(x)

5.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=a_n+n(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的有

A.數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列

B.a_5=15

C.a_n=n(n+1)/2

D.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n(n+1)/2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+1在x=1時(shí)取得極值，且極值為0，則a+b的值是

2.設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，則a_5的值是

3.直線y=2x+1與直線3x-ay=6平行，則a的值是

4.函數(shù)f(x)=|x-1|-|x+2|在區(qū)間[-3,3]上的最大值是

5.已知向量u=(1,k)與向量v=(3,-2)垂直，則k的值是

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{3x-2y+z=-1

3.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值。

4.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.A,B

3.A

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.A

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.B,C

2.A,C,D

3.A,B,C,D

4.A,D

5.B,C,D

三、填空題答案

1.-3

2.48

3.6

4.3

5.-6/5

四、計(jì)算題答案

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx

=∫(x+1)^2/(x+1)dx+∫2(x+1)/(x+1)dx+∫1/(x+1)dx

=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx

=(x^2/2+x)+2x+ln|x+1|+C

=x^2/2+3x+ln|x+1|+C

2.解：

由第一個(gè)方程得：2x+y=z+1

由第二個(gè)方程得：x-y=2z-4

由第三個(gè)方程得：3x-2y=-z-1

將第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程得：x-(z+1)=2z-4=>x-z-1=2z-4=>x-3z=-3=>x=3z-3

將第一個(gè)方程代入第三個(gè)方程得：3x-2(z+1)=-z-1=>3x-2z-2=-z-1=>3x-z=1

將x=3z-3代入上式得：3(3z-3)-z=1=>9z-9-z=1=>8z=10=>z=5/4

將z=5/4代入x=3z-3得：x=3(5/4)-3=15/4-12/4=3/4

將x=3/4,z=5/4代入2x+y=z+1得：2(3/4)+y=5/4+1=>6/4+y=9/4=>y=3/4

所以解為：x=3/4,y=3/4,z=5/4

3.解：f'(x)=cos(x)-sin(x)

令f'(x)=0得：cos(x)-sin(x)=0=>cos(x)=sin(x)=>tan(x)=1=>x=π/4

f''(x)=-sin(x)-cos(x)

f''(π/4)=-sin(π/4)-cos(π/4)=-√2/2-√2/2=-√2

因?yàn)閒''(π/4)<0，所以x=π/4是f(x)的極大值點(diǎn)

f(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2

在區(qū)間[0,π/2]的端點(diǎn)處，f(0)=sin(0)+cos(0)=1,f(π/2)=sin(π/2)+cos(π/2)=1

所以f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值是√2

4.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2

使用洛必達(dá)法則，因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，分子和分母都趨近于0

原式=lim(x→0)[e^x-1]/(2x)

=lim(x→0)e^x/2

=e^0/2

=1/2

5.解：中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)

長度=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋了數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。

其中，選擇題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、極限、積分等概念；

多項(xiàng)選擇題主要考察了三角函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的求和、向量的垂直等知識(shí)點(diǎn)；

填空題主要考察了函數(shù)的極值、直線平行、絕對值函數(shù)的性質(zhì)、向量的數(shù)量積等概念；

計(jì)算題則綜合考察了不定積分的計(jì)算、方程組的求解、函數(shù)的最大值、極限的計(jì)算、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等計(jì)算能力。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

選擇題：

1.函數(shù)的單調(diào)性：通過判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

示例：y=x^3在x>0時(shí)單調(diào)遞增。

2.函數(shù)的奇偶性：通過判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)來確定函數(shù)的奇偶性。

示例：y=sin(x)是奇函數(shù)，y=cos(x)是偶函數(shù)。

3.函數(shù)的周期性：通過判斷是否存在一個(gè)正數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)來確定函數(shù)的周期性。

示例：y=sin(x)的周期是2π。

4.函數(shù)的極限：通過計(jì)算函數(shù)在x趨近于某個(gè)值時(shí)的極限來判斷函數(shù)的性質(zhì)。

示例：lim(x→0)x/sin(x)=1。

5.函數(shù)的不定積分：通過計(jì)算函數(shù)的原函數(shù)來確定函數(shù)的不定積分。

示例：∫xdx=x^2/2+C。

多項(xiàng)選擇題：

1.三角函數(shù)的性質(zhì)：通過判斷三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)來解決問題。

示例：y=sin(x)是奇函數(shù)，周期為2π，在[0,π/2]上單調(diào)遞增。

2.數(shù)列的求和：通過運(yùn)用數(shù)列的求和公式或遞推關(guān)系來計(jì)算數(shù)列的和。

示例：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n(a_1+a_n)/2。

3.向量的垂直：通過判斷兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為0來確定兩個(gè)向量是否垂直。

示例：向量u=(1,2)與向量v=(3,-6)垂直，因?yàn)?*3+2*(-6)=0。

填空題：

1.函數(shù)的極值：通過計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來確定函數(shù)的極值。

示例：y=x^2在x=0時(shí)取得極小值0。

2.直線平行：通過判斷兩條直線的斜率是否相等來確定兩條直線是否平行。

示例：直線y=2x+1與直線y=2x-3平行。

3.絕對值函數(shù)的性質(zhì)：通過分段討論絕對值函數(shù)的表達(dá)式來解決問題。

示例：y=|x|在x≥0時(shí)等于x，在x<0時(shí)等于-x。

4.向量的數(shù)量積：通過計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積來確定兩個(gè)向量的關(guān)系。

示例：向量u=(a,b)與向量v=(c,d)的數(shù)量積為ac+bd。

計(jì)算題：

1.不定積分的計(jì)算：通過運(yùn)用積分公式、換元積分法、分部積分法等方法來計(jì)算不定積分。

示例：∫sin(x)dx=-cos(x)+C。

2.方程組的求解：通過運(yùn)用代入法、消元法、矩陣法等方法來求解方程組。

示例：解方程組{x+y=5{x-y=1得x=3,y=2。

3.