線性代數(shù)期末考試試題及答案

線性代數(shù)期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.03.若\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(A\)的秩為\(n\)C.\(A\)與單位矩陣\(E\)等價(jià)D.\(A\)一定是對稱矩陣4.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階矩陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)5.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）只有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性無關(guān)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)6.設(shè)矩陣\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，則\(\vertA\vert\)等于（）A.6B.5C.7D.87.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)相等B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.1B.-1C.\(\pm1\)D.010.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}\)等于（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算的說法正確的有（）A.\((AB)C=A(BC)\)B.\((A+B)C=AC+BC\)C.\(C(A+B)=CA+CB\)D.\(AB=BA\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件有（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩小于\(s\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一個(gè)向量都可由其余向量線性表示3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆C.若\(A\)可逆，則\((A^{-1})^{-1}=A\)D.若\(A\)可逆，則\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(k\neq0)\)4.對于線性方程組\(Ax=b\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣），以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=n\)，則方程組一定有解5.設(shè)矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，則（）A.\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)B.\(A\)的跡\(tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\)C.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda^m\)是\(A^m\)的特征值（\(m\)為正整數(shù)）6.下列矩陣中，屬于正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列說法正確的是（）A.二次型的矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.\(A\)的秩為1C.該二次型可通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形\(f=3y_1^2\)D.該二次型是正定的8.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階矩陣，且\(A\)與\(B\)等價(jià)，則（）A.\(r(A)=r(B)\)B.存在可逆矩陣\(P\)、\(Q\)，使得\(PAQ=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值9.向量空間\(R^n\)中，以下說法正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)正交基不唯一B.任意\(n\)個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為\(R^n\)的基C.向量在不同基下的坐標(biāo)可能不同D.基變換矩陣一定是可逆矩陣10.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，關(guān)于\(A\)的特征向量，下列說法正確的是（）A.屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)B.若\(\xi\)是\(A\)的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)的特征向量C.一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量唯一D.特征向量不能為零向量三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組一定線性相關(guān)。（）2.兩個(gè)矩陣\(A\)、\(B\)，若\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）3.非齊次線性方程組\(Ax=b\)的任意兩個(gè)解的差是對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的解。（）4.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（）5.正交矩陣的行列式的值一定為1。（）6.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)是正定的。（）7.向量組\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(1,0,1)\)線性無關(guān)。（）8.若\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則\(A^m\xi=\lambda^m\xi\)（\(m\)為正整數(shù)）。（）9.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）10.對于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是0或1。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩陣可逆的定義及可逆的充分必要條件。答案：若存在矩陣\(B\)，使\(AB=BA=E\)，則\(A\)可逆，\(B\)是\(A\)的逆矩陣。充分必要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。3.簡述二次型正定的判定方法。答案：方法一：二次型矩陣\(A\)的各階順序主子式都大于0；方法二：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中所有系數(shù)都大于0。4.什么是矩陣的秩？如何求矩陣的秩？答案：矩陣\(A\)中不為零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩。求秩可通過對矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)，以及基礎(chǔ)解系的作用。答案：非齊次線性方程組\(Ax=b\)的解由其一個(gè)特解與對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解之和構(gòu)成。基礎(chǔ)解系是齊次線性方程組\(Ax=0\)解空間的極大線性無關(guān)組，可用來表示其通解。2.談?wù)勏嗨凭仃嚭秃贤仃嚨穆?lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：相似矩陣和合同矩陣都具有等價(jià)關(guān)系。區(qū)別：相似是\(P^{-1}AP=B\)，關(guān)注特征值；合同是\(P^TAP=B\)，對于實(shí)對稱矩陣，合同主要關(guān)注正負(fù)慣性指數(shù)。3.探討特征值與特征向量在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：在物理中用于分析振動系統(tǒng)的固有頻率；在圖像處理中用于圖像壓縮、特征提?。辉跀?shù)據(jù)分析中用于主成分分析，提取重要信息，降維等。4.闡述矩陣初等變換在解線性方程組、求逆矩陣等方面的應(yīng)用原理。答案：解線性方程組時(shí)，通過初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形或行最簡形，可判斷解的情況并求解。求逆矩陣時(shí)，對\((A|E)\)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)\(A\)化為\(E\)時(shí)