線性代數(shù)期末考試題及答案

線性代數(shù)期末考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的秩\(r(A)=n\)2.若矩陣\(A\)與\(B\)等價，則（）A.\(|A|=|B|\)B.\(A\)與\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)合同3.設(shè)\(A\)是\(m×n\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性相關(guān)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^2+E\)的一個特征值是（）A.\(\lambda^2\)B.\(\lambda^2+1\)C.\(\lambda+1\)D.\(\lambda-1\)5.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個零向量B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有兩個向量成比例C.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任一部分組線性相關(guān)6.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|2A|\)的值為（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)7.若\(A\)是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.\(|A|^2=1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的行向量組是正交單位向量組D.\(A\)的列向量組不一定是正交單位向量組8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的兩個不同的解，則\(Ax=0\)的通解為（）A.\(k\alpha_1\)，\(k\)為任意實數(shù)B.\(k\alpha_2\)，\(k\)為任意實數(shù)C.\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)，\(k\)為任意實數(shù)D.\(k(\alpha_1+\alpha_2)\)，\(k\)為任意實數(shù)9.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B=P^TAP\)，若\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(B\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量為（）A.\(P\xi\)B.\(P^{-1}\xi\)C.\(P^T\xi\)D.\((P^T)^{-1}\xi\)10.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\alpha_4=(1,1,1)^T\)，則向量組的極大線性無關(guān)組是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)C.\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)D.\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)答案：1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.C9.B10.A多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運算的說法正確的是（）A.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）B.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆C.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為非零常數(shù)，則\((\lambdaA)^=\lambda^{n-1}A^\)2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)\)表示\(A\)的秩，則（）A.\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)（若\(A\)是\(m×n\)矩陣）B.\(r(A^T)=r(A)\)C.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)（\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣）D.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)3.下列向量組中，線性相關(guān)的是（）A.\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(4,5,6)^T\)，\(\alpha_3=(7,8,9)^T\)B.\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)C.\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,-1,1)^T\)，\(\alpha_3=(1,0,1)^T\)D.\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)4.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交5.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m×n\)矩陣）有非零解的充分條件是（）A.\(m\ltn\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(A\)的列向量組線性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(|A|=|B|\)D.\(r(A)=r(B)\)7.下列關(guān)于二次型的說法正確的是（）A.二次型的矩陣一定是對稱矩陣B.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)經(jīng)可逆線性變換\(X=CY\)后，其矩陣變?yōu)閈(C^TAC\)C.正定二次型的矩陣的各階順序主子式都大于零D.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)為正定的充要條件是其正慣性指數(shù)等于\(n\)8.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是\(n\)維向量組，\(\beta\)是\(n\)維向量，則（）A.若\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性表示，則\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)B.若\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性表示，則\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+1\)C.若\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)，則\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性表示D.若\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+1\)，則\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性表示9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可逆的是（）A.\(|A|\neq0\)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=E\)10.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_2+\alpha_3\)，\(\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1-\alpha_2\)，\(\alpha_2-\alpha_3\)，\(\alpha_3-\alpha_1\)C.\(\alpha_1+2\alpha_2\)，\(2\alpha_2+3\alpha_3\)，\(3\alpha_3+\alpha_1\)D.\(\alpha_1\)，\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)答案：1.BCD2.ABCD3.AD4.ABCD5.ABC6.ACD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ACD判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\(|A+B|=|A|+|B|\)。（）2.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零。（）3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則其任意部分組也線性無關(guān)。（）4.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量。（）5.實對稱矩陣\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交。（）6.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（）7.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)，\(r(A)\)為矩陣\(A\)的秩）。（）8.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)正定的充要條件是其矩陣\(A\)的所有特征值都大于零。（）9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)能由向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)線性表示，則\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\leqr(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)\)。（）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(A\)可表示為有限個初等矩陣的乘積；齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解等。2.求向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\