線性代數(shù)期末試題及答案

線性代數(shù)期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\times3\)矩陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=(\)\)A.\(-16\)B.\(-4\)C.\(4\)D.\(16\)2.若矩陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值可能是（）A.\(0\)和\(1\)B.\(1\)和\(2\)C.\(-1\)和\(0\)D.\(-1\)和\(1\)3.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，則該向量組（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.部分相關(guān)D.無法確定4.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-2&1\\3&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)5.設(shè)\(A\)、\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則必有（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)6.已知\(n\)階方陣\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)=(\)\)A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(1\)D.\(0\)7.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B=P^TAP\)，則\(A\)與\(B\)（）A.合同B.相似C.相等D.正交相似8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}\)9.已知矩陣\(A\)的一個特征值為\(\lambda\)，則矩陣\(A^2+3A+E\)的一個特征值為（）A.\(\lambda^2+3\lambda+1\)B.\(\lambda^2+3\)C.\(\lambda+3\)D.\(\lambda^2+1\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^3=E\)，則\(A\)的特征值可能是（）A.\(1,\omega,\omega^2\)（其中\(zhòng)(\omega=e^{\frac{2\pii}{3}}\)）B.\(1,-1,1\)C.\(1,1,-1\)D.\(-1,-1,-1\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣運算正確的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時）C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)（\(k\neq0\)，\(A\)可逆）2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩小于\(s\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一個向量都可由其余向量線性表示3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.若\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.若\(A\)的秩\(r(A)=n\)，則\(A\)可逆D.若\(A\)的特征值都不為\(0\)，則\(A\)可逆4.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)5.關(guān)于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實對稱矩陣），下列說法正確的是（）A.二次型的矩陣\(A\)唯一確定B.若二次型\(f\)經(jīng)可逆線性變換\(X=PY\)化為\(g(Y)=Y^TBY\)，則\(A\)與\(B\)合同C.二次型\(f\)正定的充要條件是\(A\)的特征值全大于\(0\)D.二次型\(f\)的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一6.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)7.已知向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，\(\alpha_4=(1,1,1)\)，則（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)線性相關(guān)C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的秩為\(3\)D.\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量C.若\(\mu\neq\lambda\)，則\(\xi\)不是\(A\)對應(yīng)于\(\mu\)的特征向量D.\(A\)的屬于\(\lambda\)的特征向量全體構(gòu)成一個向量空間9.下列關(guān)于矩陣的秩說法正確的是（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timess\)矩陣，且\(AB=0\)，則\(r(A)+r(B)\leqn\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，下列說法正確的是（）A.\(A\)必可相似對角化B.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的特征值都是實數(shù)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組一定線性相關(guān)。（）2.兩個\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)相似。（）3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則向量組\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)也線性無關(guān)。（）4.矩陣\(A\)的特征值之和等于\(A\)的主對角線元素之和。（）5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）6.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)與\(B\)同時可相似對角化。（）7.一個向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的。（）8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A\)可逆。（）9.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（）10.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為\(0\)，且任意\(r+1\)階子式都為\(0\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)；\(A\)可表示為有限個初等矩陣的乘積等。2.如何判斷向量組的線性相關(guān)性？答：可通過定義，看是否存在不全為零的數(shù)使線性組合為零向量；也可求向量組的秩，若秩小于向量個數(shù)則線性相關(guān)；還可通過行列式（向量個數(shù)與維數(shù)相等時），行列式為零則線性相關(guān)。3.什么是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形？答：二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)經(jīng)可逆線性變換\(X=PY\)化為只含平方項的形式\(f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\)，此形式就是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。4.簡述相似矩陣的性質(zhì)。答：相似矩陣有相同的特征值、行列式、秩、跡（主對角線元素之和）。若\(A\)與\(B\)相似，則\(A^k\)與\(B^k\)相似，\(f(A)\)與\(f(B)\)相似（\(f\)為多項式）。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關(guān)系。答：設(shè)線性方程組\(Ax=b\)，\(A\)為系數(shù)矩陣，\(\overline{A}=(A\vertb)\)為增廣矩陣。若\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r(\overline{A})\ltn\)，有無窮多解；若\(r(A)\ltr(\overline{A})\)，無解。2.探討實對稱矩陣對角化的方法及意義。答：方法：先求特征值，再求對應(yīng)的特征向量，將重特征值的特征向量正交化、單位化，最后以這些單位正交特征向量為列構(gòu)成正交矩陣\(Q\)，使\(Q^TAQ\)為對角矩陣。意義：簡化矩陣運算，在二次型、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。3.分析向量組的極大線性無關(guān)組與向量組秩的聯(lián)系。答：向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)就是向量組的秩。極大線性無關(guān)組是向量組中線性無關(guān)且能表示其余向量的部分組，通過求極大線性無關(guān)組可確定向量組的秩，秩反映了向量組的本質(zhì)線性無關(guān)程度。4.論述矩陣的初等變換在求解線性代數(shù)問題中的作用。答：初等變換可用于求矩陣的秩，將矩陣化為行階梯形或行最簡形來確定秩；可求可逆矩陣的逆，通過\((A\vertE)\)作