1.1二次函數(shù)浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

1.1二次函數(shù)【考點(diǎn)1：二次函數(shù)的概念】我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù),稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).【例題精講】1．下列函數(shù)中，其中是以x為自變量的二次函數(shù)是（A）A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C．y=x2+ D．y=2．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（D）A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1【鞏固練習(xí)】1．函數(shù)y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函數(shù)時(shí)，則a的值是（B）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【考點(diǎn)2：二次函數(shù)的解析式以及三種形式】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:把已知點(diǎn)代入二次函數(shù),解出其中的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),即可求出解析式.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用三種方法：1．已知拋物線過三點(diǎn)，設(shè)一般式為y＝ax2＋bx＋c．2．已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及一點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k．3．已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（或已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），設(shè)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（其中x1、x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）【例題精講】1．函數(shù)y=x2+2x﹣2寫成y=a（x﹣h）2+k的形式是（C）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x+1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣12．二次函數(shù)y=﹣3x2+6x變形為y=a（x+m）2+n形式，正確的是（D）A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=﹣3（x﹣1）2+33．將二次函數(shù)y=x2+4x+3化成頂點(diǎn)式，變形正確的是（D）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣14．二次函數(shù)y=2（x﹣1）（x﹣2）的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（C）A．（0，1） B．（0，2）C．（0，4） D．（0，﹣4）(3)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)【例題精講】例1、滿足a﹤O，b＞0，c=0的函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是圖中的（C）例2、已知一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)y=ax2+bx+c，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的大致圖象是中的（C）【鞏固練習(xí)】1；如圖，函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（B）A． B． C． D．2．當(dāng)ab＞0時(shí)，y=ax2與y=ax+b的圖象大致是（D）A． B． C． D．【課堂檢測(cè)】2、在二次函數(shù)y=x2+bx+c中，若b+c=0，則它的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（D）A．（1，1）B．（1，1）C．（1，1）D．（1，1）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)OOxy11圖象大致為（C）5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（D）A． B． C． D．6．如果在二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么這個(gè)二次函數(shù)的圖象可能是（C）A． B． C． D．7．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，且過點(diǎn)A（3，0），二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1，下列結(jié)論正確的是（D）A．b2＜4ac B．a(chǎn)c＞0 C．2a﹣b=0 D．a(chǎn)﹣b+c=0⑴它的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；⑵圖象與軸的交點(diǎn)為（1，0）（3，0），與軸的交點(diǎn)為（0，3）。9．頂點(diǎn)為（－2，－5）且過點(diǎn)（1，－14）的拋物線的解析式為y=x24x9．10．對(duì)稱軸是軸且過點(diǎn)A（1，3）、點(diǎn)B（－2，－6）的拋物線的解析式為y=3x2+6．．11．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函數(shù)，則m的值是2．12．若函數(shù)y=（m2﹣m）x是二次函數(shù)，則m=2．13．若y=（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m=3．14．拋物線與x軸交于點(diǎn)（1，0），（﹣3，0），則該拋物線可設(shè)為：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．15．把二次函數(shù)y=（x﹣2）2+1化為y=x2+bx+c的形式，其中b、c為常數(shù)，則b+c=1．16、如圖2612，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線x=1．下面給出了4個(gè)結(jié)論：①a﹤O，b＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a+2b+c=0．正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④.17．求出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．（1）y=x2+2x﹣3（配方法）；（2）y=x2﹣x+3（公式法）．【分析】（1）利用配方法把一般式變形為頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x+1）2﹣4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式分別計(jì)算出﹣和的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）y=x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4，所以拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線x=﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；（2）﹣=﹣=1，==，所以拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）．18．已知一次函數(shù)y=kx+3與二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3a的圖象交于y軸上的點(diǎn)P．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式．【分析】（1）先由一次函數(shù)的解析式確定直線與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，得到a的值從而確定二次函數(shù)解析式；（2）先求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）一次函數(shù)y=kx+3交于y軸上的點(diǎn)P．當(dāng)x=0時(shí)，y=3．∴點(diǎn)P（0，3）由于二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，∴3=3a，解得，a=1∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3y=（x﹣2）2﹣1∴二次函數(shù)y=x2﹣4x+3的頂點(diǎn)為（2，﹣1），由于一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過（2，﹣1）∴2k+3=﹣1解得，k=﹣2所以一次函數(shù)的解析式為y=﹣2x+3．【課后鞏固】1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（D）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的圖象可能是（B）A． B． C D．3．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0），下列結(jié)論：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（B）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（C）A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③5．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸是x=﹣1，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為（D）A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+36．拋物線y=2（x+1）2﹣2與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（D）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0）7．一元二次方程x2+bx+c=0有一個(gè)根為x=2，則二次函數(shù)y=2x2﹣bx﹣c的圖象必過點(diǎn)（A）A．（2，12） B．（2，0） C．（﹣2，12） D．（﹣2，0）8．若二次函數(shù)y=x2+bx+5配方后為y=（x﹣2）2+k，則b+k=3．9．如果拋物線y=﹣x2+（m﹣1）x+3經(jīng)過點(diǎn)（2，1），那么m的值為2．11．已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），且其圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣5），求此二次函數(shù)的解析式．【分析】設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，解得a=﹣1，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4．12．已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣1）和點(diǎn)B（3，﹣1）．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)的最值．【分析】（1）由條件可知點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入解析式可得到關(guān)于a和b的二元一次方程組，解得a和b，可寫出二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)a的值可確定開口方向，并將拋物線的解析式配方后可得對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)的最值．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，﹣1）和點(diǎn)B（3，﹣1）代入y=ax2+bx+2中，得，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+2；（2）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2=﹣（x﹣1）2+3，∵a=﹣1，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸是：x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），二次函數(shù)的最大值為3．13．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；（2）請(qǐng)你判斷點(diǎn)P（﹣2，3）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上？【分析】（1）根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）代入x=﹣2求出y值，將其與3比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，將（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴此二次函數(shù)的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．（2）當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3，∴點(diǎn)P（﹣2，3）在此二次函數(shù)的圖象上14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，并且經(jīng)過點(diǎn)B（3，n）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如果拋物線y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）與線段AB有唯一公共點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）把x=3代入y=x+1，即可得到結(jié)論；（2）由題意：線段ABy=x+1（0≤x≤3），由于拋物線y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)得到不等式組①或②于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，4）；（2）由題意：線段ABy=x+1（0≤x≤3），∵y=ax2﹣4ax+4a﹣1=a（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），∵點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（3，4），∵當(dāng)拋物線y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，∴①或②解①得≤a＜5，②無解，綜上所述，當(dāng)≤a＜5時(shí)，拋物線與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．15．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3．（1）作出函數(shù)的圖象；（2）當(dāng)1＜x＜5時(shí)，求y的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)對(duì)稱軸，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可作出函數(shù)的圖象；（2）對(duì)稱軸是x=1，則當(dāng)x=5時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則y的取值范圍即可確