高一預習-5.2三角函數(shù)的概念（教師版）-初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）

5.2三角函數(shù)的概念【知識梳理】知識點一任意角的三角函數(shù)設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．知識點二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內的符號1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識點三公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．知識點四同角三角函數(shù)的基本關系1．平方關系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關系：同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα，其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．【基礎自測】1．已知點P(sinα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C2．已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)等于()A.eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C.eqC.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)【答案】A【詳解】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).3．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα) B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α) D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)【答案】B【詳解】由商數(shù)關系可知A，D均不正確．當α為第二象限角時，cosα<0，sinα>0，故B正確．4．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝.【答案】eq\r(3)【詳解】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).5．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，若A(－1，y)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，則y＝________.【答案】－3【詳解】因為sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ終邊上一點，所以y<0，由三角函數(shù)的定義，得eq\f(y,\r(y2＋1))＝－eq\f(3\r(10),10).解得y＝－3.【例題詳解】一、任意角三角函數(shù)的定義及應用【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于基礎題.【分析】直接利用三角函數(shù)的坐標定義求解.【詳解】r＝＝5|a|.當a＞0時，r＝5a，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝；當a＜0時，r＝－5a，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.綜上可知，sinα＝，cosα＝，tanα＝或sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.三角函數(shù)值符號的運用例2(1)已知點P(tanα，cosα)在第四象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【詳解】(1)因為點P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α的終邊在第三象限．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C為第一或第三象限角；故選：C.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】首先判斷位于第四象限，再根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號特征判斷即可.故選：D三、公式一的應用例3計算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)tan4π.【詳解】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).A． B．1 C．1 D．0【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，判斷自變量值所屬集合，再分段代入計算作答.故選：D【答案】（1）；(2)【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導公式一可得,(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導公式一可得.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義以及誘導公式一,屬于基礎題.四、已知一個三角函數(shù)值求另兩個三角函數(shù)值例4已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【詳解】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．當角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)；當角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3\r(10),10).跟蹤訓練4求解下列各題.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式的綜合應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.題型五、正、余弦齊次式的計算【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②A． B．4 C． D．【答案】C故選：C．題型六、sinθ±cosθ型求值問題【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于中檔題．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系，運用“弦化切”求解即可.故選：A.題型七、化簡求值與恒等式的證明【答案】（1）－2tanα；（2）cos2θ.【詳解】解：（1）因為α是第三象限角，【答案】詳見解析【證明】方法一右邊，原式成立．原式成立．【詳解】證明：方法一右邊，原式成立.方法二原式成立.【答案】證明見解析【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】[方法二]：[方法三]：[方法四]：∴等式成立.[方法五]：[方法六]：[方法七]：【整體點評】方法一：利用平方關系，從左邊證到右邊，是證明題的通性通法；方法二：利用平方關系，從右邊證到左邊；方法三：利用左邊=中間，右邊=中間證出；方法四：利用作差法證出；方法五：利用平方關系，從左邊證到右邊；方法六：根據(jù)平方關系變形證出；方法七：根據(jù)分析法證出.【課堂鞏固】A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導公式即可求解.故選：DA．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限【答案】C當為偶數(shù)時，的終邊在第一象限；當為奇數(shù)時，的終邊在第三象限.故選C.A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】C∴當cosθ<0，tanθ>0時，θ∈第三象限；當cosθ>0，tanθ<0時，θ∈第四象限，故選C．A． B． C． D．【答案】C故選：C.【答案】或.故答案為：或.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡單.【答案】故答案為：【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)平方關系和商數(shù)關系求值的問題，易錯點是忽略正余弦的大小關系，造成求解正切值時出現(xiàn)增根.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.【答案】(1)5；(2)；(3).【點睛】本題考查了利用同角公式進行化簡、證明恒等式，屬于基礎題.【課時作業(yè)】【答案】D【詳解】∵sina=,且a為第四象限角,故選D.A． B． C． D．【答案】C故選：C.【答案】BA． B．0 C．7 D．【答案】D故選：DA．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【答案】C可得終邊在第一或第三象限．故選：．【點睛】本題考查象限角與等分角，考查交集及其運算，屬于基礎題．A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D所以角是第四象限角，故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則,屬于基礎題.【答案】BC故選:BCA．0 B．1 C．2 D．3【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件結合同角公式化簡函數(shù)式，再借助正余弦值的正負計算作答.故選：BD【點睛】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義,屬于基礎題.【答案】

故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查特殊角的三角函數(shù)值，考查終邊相同