廣義相對論的引力場方程

PAGEPAGE5廣義相對論的引力場方程１９５５年，物理學家玻恩在一次報告中評價道：“對于廣義相對論的提出，我過去和現(xiàn)在都認為是人類認識大自然的最偉大的成果，它把哲學的深奧、物理學的直觀和數(shù)學的技藝令人驚嘆地結(jié)合在一起.”德布羅意（LouisdeBroglie，1892－1987）在《阿爾伯特·愛因斯坦科學工作概況》中談到廣義相對論時說：“依靠黎曼（G·Riemann，1826-1866）的彎曲空間理論，借助于張量運算，廣義相對論提出一種萬有引力現(xiàn)象的解釋，這種解釋的雅致和美麗是無可爭辯的，它該作為20世紀數(shù)學物理學的一個最優(yōu)美的紀念碑而永垂不朽.”１９８３年諾貝爾物理學獎獲得者昌德拉塞卡說得更清楚：愛因斯坦是“通過定性討論一個與對于數(shù)學的優(yōu)美和簡單的切實感相結(jié)合的物理世界，得到了他的場方程.”相對論實在可以說是對麥克思韋和洛倫茲的偉大構(gòu)思畫了最后一筆，因為它力圖把場物理學擴充到包括引力在內(nèi)的一切現(xiàn)象.愛因斯坦在1905年發(fā)表了狹義相對論公式之后的幾十年內(nèi)，他就對數(shù)學的各個領(lǐng)域爛熟于心了，而同時代的大多數(shù)物理學家則對這些領(lǐng)域知之甚少甚至一無所知.在他邁向廣義相對論的最終等式的過程中，在將這些數(shù)學結(jié)構(gòu)同他的物理學直覺結(jié)合在一起這個方面，愛因斯坦展示出了罕見的天賦.廣義相對論理論的核心是新的引力場定律和引力場方程.有人說，麥克斯韋在電磁場上做過什么工作，

Einstein在引力場也做過什么工作.廣義相對論引人注目的特征之一是將牛頓力學中的引力簡化為四維時空中的彎曲，“宇宙圖景”的新情景不再是“三維空間中一片以太海洋的受迫振動”，而是“四維空間世界線上的一個紐結(jié)”.1914年，Einstein與洛倫茲的學生?？芤黄鸢l(fā)表了一篇嚴格遵守廣義協(xié)變性要求的引力理論的簡短論文，發(fā)現(xiàn)從絕對運算和廣義協(xié)變性的要求出發(fā)，可以證明諾茨屈勞姆的理論只是Einstein—格羅斯曼理論的一種特殊情況，其標志是真空光速不變這一附加條件；Einstein—格羅斯曼理論包含著光的彎曲，而諾茨屈勞姆的理論沒有光的彎曲.廣義相對論具有最簡單，最優(yōu)雅的幾何基礎(chǔ)（三個公理：(1)具有度規(guī)；（2）度規(guī)由愛因斯坦方程G=8πT支配;（3）在度規(guī)的局部洛倫茲標架中所有狹義相對論的物理規(guī)律是正確的）.1.廣義坐標變換設(shè)一個時空區(qū)域同時被舊坐標系和新坐標系所覆蓋，其中，c是光速，t與t’是時間.新舊坐標之間的關(guān)系可表示為（1）,每一個新坐標都是四個舊坐標的函數(shù).微分（1）式，得到廣義坐標變換下微分的變換關(guān)系（2）這里采用了Einstein慣例.（2）的逆變換為（3）定義在坐標變換中不變的量為標量.在廣義坐標變換下，向坐標微分元一樣變換的量，稱為逆變矢量，（4）在廣義坐標變換下，變換規(guī)律為（5）的量稱為協(xié)變矢量.容易看出，逆變和協(xié)變矢量都有四個分量組成.在廣義坐標變換下按變換的量分別稱為逆變張量、協(xié)變張量、混合張量.2.張量的運算：（9）（10）縮并運算：（11）3.度規(guī)張量在四維時空中，我們把兩點間的距離推廣為“間隔”.在直角坐標系中，它可表示為（12）間隔的平方應(yīng)與坐標微元的二次方有關(guān)（13）,但左邊是標量，而右邊是逆變矢量，必須讓坐標微分元與一個二階協(xié)變張量縮并（14）張量稱度規(guī)張量共十六個分量，可用矩陣表示（15）,它是一個對稱張量.3、時間與空間R稱曲率標量因此，如果把方程（34）、（35）改寫成（41）(42)矛盾就消除了.這兩個方程就是Einstein給出的廣義相對論的基本方程——場方程.它們通常稱為Einstein場方程，反映物質(zhì)的能量—動量如何決定時空曲率.引力場的表達式中起參量作用的物理量數(shù)目比牛頓引力理論中的要多．其中不但有引力質(zhì)量，還有電荷、磁荷、電的(或磁的)偶極矩、宇宙常數(shù)等等，其中只有引力質(zhì)量是廣義相對論和狹義相對論所共有的引力參量．由于有物質(zhì)的存在，空間和時間會發(fā)生彎曲，而引力場實際上就是一個彎曲的時空.

Einstein根據(jù)這一結(jié)論，給出了著名的引力場方程式：Einstein引力場方程是二階的，以時空為自變量，以度規(guī)為因變量的，帶有橢圓型約束的雙曲型偏微分方程.當然，

Einstein的這個引力場方程并非完美，在具體計算中，使用的只是一個近似解，而真正的球面對稱的準確解——史瓦茲解，是在此之后才找到的.廣義相對論認為:一個物體使自已周圍space-time彎曲,另一物體在彎曲space-time中沿短程線運動,這就是引力的本質(zhì).由廣義相對論引力場方程和短程線方程,在線性近似下得到另一組方程(1-3)，(1-4)這組方程成功解釋了行星近日點的移動.光子經(jīng)過太陽附近時受到太陽的吸引而改變方向,由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是Newton理論預(yù)期值的一倍.實際觀察結(jié)果是與廣義相對論一致,Einstein取得巨大勝利.隨后人們觀察到從太陽發(fā)出的光線到達地球時其頻率由變?yōu)椋?1-5)廣義相對論用引力勢場中不同點時間間隔不同解釋了這個實驗結(jié)果.所以人們認為上述三個經(jīng)典相對論引力實驗支持廣義相對論,并且進一步得到space-time是彎曲的結(jié)論.廣義相對速度表達式，式中表明，近處物體或大質(zhì)量物體對研究物體的廣義相對速度影響較大.一個小質(zhì)量物體A從遠處靠近一個大質(zhì)量且廣義相對速度不為零的物體B，如果它相對B的速度不變，那么它的廣義相對速度必然發(fā)生變化.然而在不受力的作用、物體處于慣性運動的情況下，它的廣義相對速度是保持不變的，所以上面所說的過程，A相對B的速度要發(fā)生相應(yīng)的調(diào)整.定性分析得知，A接近B時，為了保證A的廣義相對速度不變，A、B之間的相對速度必將減小，從而可以說，大質(zhì)量的B部分地同化了小質(zhì)量的A的運動速度.當然，A也部分地同化了B的運動速度，只是質(zhì)量比例很小而表現(xiàn)得更加微弱.近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應(yīng)用.在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何.在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的.在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的.黎曼張量和物質(zhì)能量-動量張量間的關(guān)系1927年Einstein等人提出，質(zhì)點系統(tǒng)的運動方程應(yīng)該包括在引力場方程之中.1938年，Einstein及其合作者完成了這一理論.他們采用后來稱為后牛頓近似的方法，在對質(zhì)點系能量動量張量的簡單假定下，從引力場方程中推導(dǎo)出了質(zhì)點系的運動方程，這就是著名的廣義相對論的運動理論.50年代以來，一些物理學家指出，質(zhì)點運動方程也可以直接從能量動量張量的守恒定律推導(dǎo)出來.A.巴巴別特魯由運動理論導(dǎo)出了自旋粒子會受到的自旋和曲率的耦合項.引力場方程包含著粒子運動方程，這是廣義相對論的一個重要特點.60年代以來，彭羅塞等人系統(tǒng)地運用整體微分幾何的方法來研究廣義相對論.彭羅塞和霍金等人建立的奇性理論，提示了廣義相對論時空結(jié)構(gòu)的重要性質(zhì)和問題.不過Penrose與Hawking等人的方法雖然不需要直接求解場方程，但它與描述物質(zhì)分布的能量動量張量的性質(zhì)仍有著密切的關(guān)系.這一點從物理上講是顯而易見的，因為正是物質(zhì)的分布決定了時空的結(jié)構(gòu).黎曼關(guān)于度規(guī)、距離法則決定了一種幾何學的思想，對于廣義相對論的創(chuàng)建有著特殊的啟發(fā)力.度規(guī)張量表征著彎曲空間的內(nèi)稟性質(zhì)，協(xié)變導(dǎo)數(shù)解決了彎曲空間中的矢量求導(dǎo)和無窮小平移問題，仿射聯(lián)絡(luò)能恰當刻畫彎曲空間矢量的平移性質(zhì)與度規(guī)張量（空間內(nèi)稟性質(zhì)）之間的確定聯(lián)系，黎曼聯(lián)絡(luò)是引力勢對坐標偏微分（變化率）的組合，體現(xiàn)著引力場的分布等等.聯(lián)絡(luò)解決了彎曲空間中不同時空點測量標尺的差異和可換算性問題，后來成為規(guī)范場理論思想的一個源頭.宇宙奧秘深藏于數(shù)學規(guī)律的畢達哥拉斯主義理念，在愛因斯坦的引力場論中被具體化和精細化了.Einstein曾經(jīng)把他的場方程比喻為一座建筑，這座建筑的一半是用精美的大理石砌成的，另一半?yún)s是用劣質(zhì)的木材建造的.用精美的大理石砌成的那一半是方程的左端：Rμν-(1/2)gμνR，那是一個描述時空結(jié)構(gòu)的優(yōu)美的幾何量，被稱為Einstein張量.而用劣質(zhì)木材建造的那一半則是方程的右端，也就是描述物質(zhì)分布的能量動量張量：8πGTμν.為什么說這部分是用劣質(zhì)木材建造的呢？因為自然界的物質(zhì)分布種類繁多，物態(tài)方程千差萬別，找不到一個普適的能量動量張量來描述所有已知的物質(zhì)分布.不僅如此，在廣義相對論所涉及的許多極端條件(比如某些星體內(nèi)部的超高溫、超高壓、超高密度等條件)下還可能存在大量未知的物質(zhì)形態(tài)與分布，而且所有這些物質(zhì)分布還可能在空間及時間上相互混合.廣義相對論存