“中考數學專題復習--圓來如此簡單”經典幾何模型之隱圓專題

1、經典幾何模型之隱圓”“圓來如此簡單”一.名稱由來在中考數學中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會出現，明明圖形中沒有出現“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識點，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。正所謂：有“圓”千里來相會，無“圓”對面不相逢。“隱圓模型”的題的關鍵突破口 就在于能否看出這個“隱藏的圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：動點到定點定長（通俗講究是一個動的點到一個固定的點的距離不變）】【模型三：直角所對的是直徑】【模型四：四點共圓】三模型基本類型圖形解讀【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：動點到定點定長】【模型三：直角所對的是直

2、徑】【模型四：四點共圓】四“隱圓”破解策略牢記口訣：定點定長走圓周，定線定角跑雙弧。直角必有外接圓，對角互補也共圓。五“隱圓”題型知識儲備六“隱圓”典型例題【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如圖 1，ABC 為等邊三角形，AB=2，若 P 為ABC 內一動點，且滿足PAB=ACP，則線段 PB 長度的最小值為_ 。簡答：因為PAB=PCA，PAB+PAC=60，所以PAC+PCA=60，即APC=120。因為 AC 定長、APC=120定角，故滿足“定弦定角模型”，P 在圓上，圓周角APC=120，通過簡單推導可知圓心角AOC=60，故以 AC 為邊向下作等邊AOC，以 O 為圓心，O

3、A 為半徑作O，P 在O 上。當 B、P、O 三點共線時，BP 最短（知識儲備一：點圓距離），3此時 BP=2-22. 如圖 1 所示，邊長為 2 的等邊ABC 的原點 A 在 x 軸的正半軸上移動，BOD=30， 頂點 A 在射線 OD 上移動，則頂點 C 到原點 O 的最大距離為 。簡答：因為AOB=30（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O 三點共圓，圓心角為 60，故以 AB 為邊向 O 方向作等邊ABQ，AQB=60為圓心角，Q 為圓心，以 QA 為半徑作 Q （ 如 圖 2 ）， 由 知 識 儲 備 二 可 知 當 OC AB 時 ， OC 距 離 最 大 ，33OC=OQ+Q

4、H+HC=2+=2+2【思考：若BOD=45呢？（提示：需要構造倍角3模型）】223. 如圖 1，點 A 是直線 y=-x 上的一個動點，點 B 是 x 軸上的動點，若 AB=2，則AOB 面積最大值為（）2A. 2B.+ 1C. -1D. 2簡答：因為 AB=2（定弦），AOB=135（定角），因為AOB 是圓周角，故圓心角為 90，以 AB 為斜邊向上方作等腰直角QAB，則 Q 為圓心（如圖 2），由“知識儲備二”可知，當 OQ AB 時 ， 此 時 OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 積 最 大 。 面 積 為1 AB OH = 1 2 ( 2 - 1) =222 - 1 ，所以此題選

5、擇 B。同學：老師，你說錯答案了，選 C。小段老師：沒錯啊，就選 B 啊。同學：你是老師，你說了算，你開心就好.小段老師：題目有告訴你們 A、B 在哪里嗎，為什么想當然覺得AOB=135呢，難道不可能等于 45嗎？如圖 3，構建Q，由“知識儲備二”可知當 OQAB 時，此時OAB 的面積最大為 1 AB OH = 1 2 ( 2 +1) =222 +1 ，故答案選 B34. 如圖 1，AC 為邊長為 2 的菱形 ABCD 的對角線，ABC=60，點 M、N 分別從點 B、C 同時出發(fā)，以相同速度沿 BC、CA 向終點 C 和 A 運動，連接 AM 和 BN，求APB 周長的最大值簡答：如圖 2

6、，由 M、N 點速度相同可知 BM=CN，易證ABMBCN，故NBC=BAM（如圖 2），又因為NBC+ABN=60，所以BAM+ABN=APN=60（外角性質），所以APB=120（定角），又因為 AB 長度固定（定弦），故以 AB 為底向左側構建等腰 QAB，AQB=120，則 P 在Q 上，由“知識儲備三”可知，當ABP 是等腰三角形時，3ABP 周長最短。又由APB 是定角為 120的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1:，3AB=AC=2，故 PB=PA=2，故ABP 的周長最大值為 4+23【模型二：動點到定點定長】1. 如圖 1，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD,若CA

7、D=76，則CBD= 度。簡答：如圖 2，因為 AB=AC=AD，故 B、C、D 三點在以 A 為圓心的圓上，故CBD= 1 2CAD=382. 如圖，在ABC 內有一點 D，使得 DA=DB=DC，若DAB=20，則ACB= 。簡答：如圖 2，因為 DA=DB=DC，故 A、B、C 三點在D 上，DAB=DBA=20，故ADB=140，故ACB= 1 ADB=7023. 如圖 1，已知四邊形 ABCD 中，ABCD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD簡答：因為1=2，ADBC，故3=1，4=2，故易證AEBACD，故 EB=CD=6， ED=2AD=10，故 BD=84. 如圖 1，長

8、 2 米的梯子 AB 豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子 AB 的中點 P 的移動軌跡長度為？.簡答：由斜邊上的中點等于斜邊的一半可知，OP=1，動點 P 到定點 O 的距離始終等于 1， 滿足圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓），故 P 的運動軌跡是圓弧，圓心角為 90，軌跡長度為四分之一圓的長度，省略。5. 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，現有一根長為 2 的木棒 EF 緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），接逆時針方向滑動一周，則木棒 EF 的中點 P 在運動過程中所圍成的圍形的面積為？如圖 1如圖 2簡答：由上一題可知，P 的

9、運動軌跡是圓弧，因為滑動一周，故有四個圓弧，則點 P 所圍成的圖形為中間的圖形，用矩形的面積減去四個四分之一圓的面積即可，答案： 6 -p6. 如圖 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，點 E，F 分別為 AD、DC 邊上的點，且 EF=2， G 為 EF 的中點，P 為 BC 邊上一動點，則 PA+PG 的最小值為？如圖 1如圖 2簡單：G 的運動軌跡為圓，求 AP+PG 典型的“將軍飲馬”問題，故做 A 關于 BC 的對稱點A，則 AP+PG=AP+PG，當 A、P、G 三點共線時，最短，又因為 A為固定點，G 在圓上運動，由“知識儲備一”可知當 A、G、D 三點共線時，此時 A

10、G 最短，為 47. 在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為（3，0），B 為 y 軸正半軸上的點，C 為第一象限內的點，且 AC=2.設 tANBOC=M，則 M 的取值范圍為？簡答：因為 AC=2，A 是定點，通過圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓） 可知，C 在A 上運動，當 OC 與A 相切時，此時BOC 最小，tANBOC 也最小，此時BOC+AOC=AOC+CAO=90，故BOC=CAO，此時 tANCAO= OC =5 ，AC2又因為角度越大，正切值越大，故 tANBOC=M 528. 如圖 1，在 RtABC 中，C=90，AC=7，BC=8，點 F 在邊 AC 上，

11、并且 CF=2，點 E 為邊 BC 上的動點，將CEF 沿直線 EF 翻折，點 C 落在點 P 處，則點 P 到邊 AB 距離的最小值是？簡答：E 是動點，導致 EF、EC、EP 都在變化，但是 FP=FC=2 不變，故 P 點到 F 點的距離永遠等于 2，故 P 在F 上運動，如圖 2。由垂線段最短可知，FHAB 時，FH 最短， 當 F、P、H 三點共線時，PH 最短，又因為AFHABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因為 AF=5，故 FH=4，又因為 FP=2，故 PH 最短為 29. 如圖，在ABCD 中，BCD30，BC4，CD 3 3 ，M 是 AD 邊的中點，N 是AB

12、 邊上一動點，將AMN 沿 MN 所在直線翻折得到PMN，連接 PC，則 PC 長度的最小值是？簡答：翻折過程中，MP=MA=2，故 P 在M 上運動，當 M、P、C 三點共線時，PC 最短。3PC=MC-MP，要求 MP 需要過 M 作 MHCD 于 H，HDM=30，故 HM=1，HD=，3故 HC=4，故易求 MC=7，則 PC=7-2=5【模型三：直角所對的是直徑】1. 如圖 1，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 內部的一個動點，且始終有APBP，則線段 CP 長的最小值為？簡答：如圖 2，因為 APBP，P=90（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB

13、 為直徑的H 上，當 H、P、C 三點共線時 CP 最短，HB=3，BC=4 則 HC=5，故 CP=5-3=22. 如圖 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 為直徑作圓 M，射線 OF 交圓 M 于 E、F 兩點，C為弧 AB 的中點，D 為弦 EF 的中點，當射線繞 O 旋轉時，CD 的最小值為？簡答：因為 D 是 EF 中點，故 MDEF，故ODM 始終等于 90，故 D 在以 OM 為直徑的圓上，如圖 2。易知 A 為圓心，當 A、D、C 三點共線時，CD 最短，CD=AC-AD，又易22知 C（2,1），故 AC=，故 CD=-13. 在ABC 中,ABC=90,AB=6,BC

14、=8,O 為 AC 的中點,過 O 作 OEOF,OE、OF 分別交射線 AB,BC 于 E、F，則 EF 的最小值為？簡答：因為EOF=90，C=90，故 C、O 均在以 EF 為直徑的圓上（也稱四點共圓），因為 EF 是圓的直徑，O、C 均在圓上，且 OC 長度固定，要使得 EF 最短，則圓最小，要使圓最小，OC 為固定長度，則 OC 為直徑時，圓最小（此處比較難，思維量比較大，大家慢慢琢磨），此時 CO=EF=OA=OB=5（斜邊上中線等于斜邊一半）4. 如圖 1，已知 RtABC 中，AC5，BC12，ACB90，P 是邊 AB 上的動點，Q 是邊 BC 上的動點，且CPQ90，求線段

15、 CQ 的取值范圍簡答：以 CQ 為直徑作O，根據直徑所對的圓周角是直角，若 AB 邊上的動點 P 在圓上，CPQ 就為直角當O 與 AB 相切時（如圖 2），直徑 CQ 最小由切線長定理，得 APAC5，所以 BP1358再根據BPOBCA，所以 OP 10 ，CQ 20 當點 Q33與點 B 重合時（如圖 3），直徑 CQ 最大，此時綜上所述， 20 CQ1235. 如圖 1，半徑為 4 的O 中，CD 為直徑，弦 ABCD 且過半徑 OD 的中點，點 E 為O 上一動點，CFAE 于點 F當點 E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點 D 時，點 F 所經過的路徑長為？3簡答：因為CFA=90（

16、定角），AC=4（定弦），故 F 在以 AC 為直徑的Q 上，當 E在 B 處時，F 在 G 處，當 E 在 D 處時，F 在 A 處，故 F 的運動路徑為弧 AG 的長度，易求60出ACD=30，故AQG=60，故弧 AG 長度= 2 2 3= 2 336036.（2013 武漢）如圖 1，E，F 是正方形 ABCD 的邊 AD 上兩個動點，滿足 AE=DF連接CF 交 BD 于點 G，連接 BE 交 AG 于點 H若正方形的邊長為 2，則線段 DH 長度的最小值是？簡答：易證ABEDCF，DAGDCG，故DAG=DCG=ABE，又因為ABE+AEB=90，故EAH+AEH=90，故AHB=

17、90，故 H 在以 AB 為直徑的O 上，5當 O、H、D 三點共線的時候 DH 最小，DH=OD-OH=-17.如圖 1，在 RtABC 中，B=90，C=30，AB=1，D 為線段 AC 上一動點，將 BDC 沿著 BD 翻折，點 C 的對應點為 F，E 為 AC 的中點，在 D 從 C 到 A 的運動過程中， 當 EF 最短時，CD 為？簡答：在折疊過程中，BF 始終等于 BC，故 F 到 B 點的距離是定值，F 在B 上，當 EF 最短時，B、E、F 三點共線（如圖 2），此時BFD=BCD=30，FBD=CBD=15（因為 BE=CE，故EBC=BCE=30），故FDH=CDH=45

18、，FED=60，故 FDCE，3EF=BF-BE=-1 ， 又 因 為 DF=DC ， 在 Rt EDF 中ED = 1 EF =3 -1 ， 故CD=1-ED=1 -223 -1 = 3 - 32238.（2017 宿遷）如圖，在矩形紙片 ABCD 中，已知 AB=1，BC=，點 E 在邊 CD 上移動，連接 AE，將多邊形 ABCE 沿直線 AE 翻折，得到多邊形 ABCE，點 B、C 的對應點分別為點 B、C（1） 當 BC恰好經過點 D 時（如圖 1），求線段 CE 的長；（2） 若 BC分別交邊 AD，CD 于點 F，G，且DAE=22.5（如圖 2），求DFG 的面積；（3） 在點

19、 E 從點 C 移動到點 D 的過程中，求點 C運動的路徑長6簡答：（1）“K 字形”秒殺，過程略，答案：- 2（2） 由翻折全等可知BAE=BAE=67.5，又因為DAE=22.5，故B6AF=45，故ABF、DFE 均為等腰直角三角形，后面略，答案： 5 -2（3） 折疊過程中始終有 AC=AC，故 C在以 A 為圓心，AC 為半徑的圓上。根據點 E 在 C 時，C在 C 點，點 E 移動到 D 時，C在如圖 3 位置，易求 C運動的圓弧的圓心角為 60，故 C運動的軌跡為 60 2 2= 2【模型四：四點共圓】36031. 如圖 1，正方形 ABCD 中，EAF=45，AF 與 BD 交

20、于 N，AE 與 BD 交于 M，連接MF、NE，求證ANE、AMF 是等腰直角三角形簡答：因為1=2=45，3=4，故 A、B、E、N 四點共圓，因為ABE=90，故 AE 為直徑，故ANE=90，故ANE 是等腰直角三角形，同理可證AMF 是等腰直角三角形（此題也是很經典的“半角模型”問題之一）2. 如圖 1，等邊ABC 中，AB=6，P 為 AB 上一動點，PDBC，PEAC，則 DE 的最小值為？簡答：因為PEC=PDC=90，故四邊形 PDCE 對角互補，故 PDCE 四點共圓，如圖 2。EOD=2ECD=120，故 ED= 3R ，要使得 DE 最小則要使圓的半徑 R 最小，故直徑 PC最小，當 CPAB 時，PC 最短為3，故 R= 3 3 ，故 DE=323R =3 3 3 = 9223.