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文檔簡介
1、經(jīng)典幾何模型之隱圓”“圓來如此簡單”一.名稱由來在中考數(shù)學(xué)中,有一類高頻率考題,幾乎每年各地都會出現(xiàn),明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”,但是解題中必須用到“圓”的知識點(diǎn),像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。正所謂:有“圓”千里來相會,無“圓”對面不相逢?!半[圓模型”的題的關(guān)鍵突破口 就在于能否看出這個“隱藏的圓”。一旦“圓”形畢露,則答案手到擒來!二.模型建立【模型一:定弦定角】【模型二:動點(diǎn)到定點(diǎn)定長(通俗講究是一個動的點(diǎn)到一個固定的點(diǎn)的距離不變)】【模型三:直角所對的是直徑】【模型四:四點(diǎn)共圓】三模型基本類型圖形解讀【模型一:定弦定角的“前世今生”】【模型二:動點(diǎn)到定點(diǎn)定長】【模型三:直角所對的是直
2、徑】【模型四:四點(diǎn)共圓】四“隱圓”破解策略牢記口訣:定點(diǎn)定長走圓周,定線定角跑雙弧。直角必有外接圓,對角互補(bǔ)也共圓。五“隱圓”題型知識儲備六“隱圓”典型例題【模型一:定弦定角】1.(2017 威海)如圖 1,ABC 為等邊三角形,AB=2,若 P 為ABC 內(nèi)一動點(diǎn),且滿足PAB=ACP,則線段 PB 長度的最小值為_ 。簡答:因?yàn)镻AB=PCA,PAB+PAC=60,所以PAC+PCA=60,即APC=120。因?yàn)?AC 定長、APC=120定角,故滿足“定弦定角模型”,P 在圓上,圓周角APC=120,通過簡單推導(dǎo)可知圓心角AOC=60,故以 AC 為邊向下作等邊AOC,以 O 為圓心,O
3、A 為半徑作O,P 在O 上。當(dāng) B、P、O 三點(diǎn)共線時,BP 最短(知識儲備一:點(diǎn)圓距離),3此時 BP=2-22. 如圖 1 所示,邊長為 2 的等邊ABC 的原點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上移動,BOD=30, 頂點(diǎn) A 在射線 OD 上移動,則頂點(diǎn) C 到原點(diǎn) O 的最大距離為 。簡答:因?yàn)锳OB=30(定角),AB=2(定弦),故 A、B、O 三點(diǎn)共圓,圓心角為 60,故以 AB 為邊向 O 方向作等邊ABQ,AQB=60為圓心角,Q 為圓心,以 QA 為半徑作 Q ( 如 圖 2 ), 由 知 識 儲 備 二 可 知 當(dāng) OC AB 時 , OC 距 離 最 大 ,33OC=OQ+Q
4、H+HC=2+=2+2【思考:若BOD=45呢?(提示:需要構(gòu)造倍角3模型)】223. 如圖 1,點(diǎn) A 是直線 y=-x 上的一個動點(diǎn),點(diǎn) B 是 x 軸上的動點(diǎn),若 AB=2,則AOB 面積最大值為()2A. 2B.+ 1C. -1D. 2簡答:因?yàn)?AB=2(定弦),AOB=135(定角),因?yàn)锳OB 是圓周角,故圓心角為 90,以 AB 為斜邊向上方作等腰直角QAB,則 Q 為圓心(如圖 2),由“知識儲備二”可知,當(dāng) OQ AB 時 , 此 時 OAB 的 高 OH 最 大 , 面 積 最 大 。 面 積 為1 AB OH = 1 2 ( 2 - 1) =222 - 1 ,所以此題選
5、擇 B。同學(xué):老師,你說錯答案了,選 C。小段老師:沒錯啊,就選 B 啊。同學(xué):你是老師,你說了算,你開心就好.小段老師:題目有告訴你們 A、B 在哪里嗎,為什么想當(dāng)然覺得AOB=135呢,難道不可能等于 45嗎?如圖 3,構(gòu)建Q,由“知識儲備二”可知當(dāng) OQAB 時,此時OAB 的面積最大為 1 AB OH = 1 2 ( 2 +1) =222 +1 ,故答案選 B34. 如圖 1,AC 為邊長為 2 的菱形 ABCD 的對角線,ABC=60,點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) B、C 同時出發(fā),以相同速度沿 BC、CA 向終點(diǎn) C 和 A 運(yùn)動,連接 AM 和 BN,求APB 周長的最大值簡答:如圖 2
6、,由 M、N 點(diǎn)速度相同可知 BM=CN,易證ABMBCN,故NBC=BAM(如圖 2),又因?yàn)镹BC+ABN=60,所以BAM+ABN=APN=60(外角性質(zhì)),所以APB=120(定角),又因?yàn)?AB 長度固定(定弦),故以 AB 為底向左側(cè)構(gòu)建等腰 QAB,AQB=120,則 P 在Q 上,由“知識儲備三”可知,當(dāng)ABP 是等腰三角形時,3ABP 周長最短。又由APB 是定角為 120的等腰三角形,故 AP:BP:AB=1:1:,3AB=AC=2,故 PB=PA=2,故ABP 的周長最大值為 4+23【模型二:動點(diǎn)到定點(diǎn)定長】1. 如圖 1,四邊形 ABCD 中,AB=AC=AD,若CA
7、D=76,則CBD= 度。簡答:如圖 2,因?yàn)?AB=AC=AD,故 B、C、D 三點(diǎn)在以 A 為圓心的圓上,故CBD= 1 2CAD=382. 如圖,在ABC 內(nèi)有一點(diǎn) D,使得 DA=DB=DC,若DAB=20,則ACB= 。簡答:如圖 2,因?yàn)?DA=DB=DC,故 A、B、C 三點(diǎn)在D 上,DAB=DBA=20,故ADB=140,故ACB= 1 ADB=7023. 如圖 1,已知四邊形 ABCD 中,ABCD,AB=AC=AD=5,BC=6,求 BD簡答:因?yàn)?=2,ADBC,故3=1,4=2,故易證AEBACD,故 EB=CD=6, ED=2AD=10,故 BD=84. 如圖 1,長
8、 2 米的梯子 AB 豎直放在墻角,在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中,梯子 AB 的中點(diǎn) P 的移動軌跡長度為?.簡答:由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知,OP=1,動點(diǎn) P 到定點(diǎn) O 的距離始終等于 1, 滿足圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓),故 P 的運(yùn)動軌跡是圓弧,圓心角為 90,軌跡長度為四分之一圓的長度,省略。5. 在矩形 ABCD 中,已知 AB=2,BC=3,現(xiàn)有一根長為 2 的木棒 EF 緊貼著矩形的邊(即兩個端點(diǎn)始終落在矩形的邊上),接逆時針方向滑動一周,則木棒 EF 的中點(diǎn) P 在運(yùn)動過程中所圍成的圍形的面積為?如圖 1如圖 2簡答:由上一題可知,P 的
9、運(yùn)動軌跡是圓弧,因?yàn)榛瑒右恢?,故有四個圓弧,則點(diǎn) P 所圍成的圖形為中間的圖形,用矩形的面積減去四個四分之一圓的面積即可,答案: 6 -p6. 如圖 1,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,點(diǎn) E,F(xiàn) 分別為 AD、DC 邊上的點(diǎn),且 EF=2, G 為 EF 的中點(diǎn),P 為 BC 邊上一動點(diǎn),則 PA+PG 的最小值為?如圖 1如圖 2簡單:G 的運(yùn)動軌跡為圓,求 AP+PG 典型的“將軍飲馬”問題,故做 A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn)A,則 AP+PG=AP+PG,當(dāng) A、P、G 三點(diǎn)共線時,最短,又因?yàn)?A為固定點(diǎn),G 在圓上運(yùn)動,由“知識儲備一”可知當(dāng) A、G、D 三點(diǎn)共線時,此時 A
10、G 最短,為 47. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(3,0),B 為 y 軸正半軸上的點(diǎn),C 為第一象限內(nèi)的點(diǎn),且 AC=2.設(shè) tANBOC=M,則 M 的取值范圍為?簡答:因?yàn)?AC=2,A 是定點(diǎn),通過圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓) 可知,C 在A 上運(yùn)動,當(dāng) OC 與A 相切時,此時BOC 最小,tANBOC 也最小,此時BOC+AOC=AOC+CAO=90,故BOC=CAO,此時 tANCAO= OC =5 ,AC2又因?yàn)榻嵌仍酱?,正切值越大,?tANBOC=M 528. 如圖 1,在 RtABC 中,C=90,AC=7,BC=8,點(diǎn) F 在邊 AC 上,
11、并且 CF=2,點(diǎn) E 為邊 BC 上的動點(diǎn),將CEF 沿直線 EF 翻折,點(diǎn) C 落在點(diǎn) P 處,則點(diǎn) P 到邊 AB 距離的最小值是?簡答:E 是動點(diǎn),導(dǎo)致 EF、EC、EP 都在變化,但是 FP=FC=2 不變,故 P 點(diǎn)到 F 點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于 2,故 P 在F 上運(yùn)動,如圖 2。由垂線段最短可知,F(xiàn)HAB 時,F(xiàn)H 最短, 當(dāng) F、P、H 三點(diǎn)共線時,PH 最短,又因?yàn)锳FHABC,所以 AF:FH:AH=5:4:3,又因?yàn)?AF=5,故 FH=4,又因?yàn)?FP=2,故 PH 最短為 29. 如圖,在ABCD 中,BCD30,BC4,CD 3 3 ,M 是 AD 邊的中點(diǎn),N 是AB
12、 邊上一動點(diǎn),將AMN 沿 MN 所在直線翻折得到PMN,連接 PC,則 PC 長度的最小值是?簡答:翻折過程中,MP=MA=2,故 P 在M 上運(yùn)動,當(dāng) M、P、C 三點(diǎn)共線時,PC 最短。3PC=MC-MP,要求 MP 需要過 M 作 MHCD 于 H,HDM=30,故 HM=1,HD=,3故 HC=4,故易求 MC=7,則 PC=7-2=5【模型三:直角所對的是直徑】1. 如圖 1,RtABC 中,ABBC,AB=6,BC=4,P 是ABC 內(nèi)部的一個動點(diǎn),且始終有APBP,則線段 CP 長的最小值為?簡答:如圖 2,因?yàn)?APBP,P=90(定角),AB=6(定弦),故 P 在以 AB
13、 為直徑的H 上,當(dāng) H、P、C 三點(diǎn)共線時 CP 最短,HB=3,BC=4 則 HC=5,故 CP=5-3=22. 如圖 1,A(1,0)、B(3,0),以 AB 為直徑作圓 M,射線 OF 交圓 M 于 E、F 兩點(diǎn),C為弧 AB 的中點(diǎn),D 為弦 EF 的中點(diǎn),當(dāng)射線繞 O 旋轉(zhuǎn)時,CD 的最小值為?簡答:因?yàn)?D 是 EF 中點(diǎn),故 MDEF,故ODM 始終等于 90,故 D 在以 OM 為直徑的圓上,如圖 2。易知 A 為圓心,當(dāng) A、D、C 三點(diǎn)共線時,CD 最短,CD=AC-AD,又易22知 C(2,1),故 AC=,故 CD=-13. 在ABC 中,ABC=90,AB=6,BC
14、=8,O 為 AC 的中點(diǎn),過 O 作 OEOF,OE、OF 分別交射線 AB,BC 于 E、F,則 EF 的最小值為?簡答:因?yàn)镋OF=90,C=90,故 C、O 均在以 EF 為直徑的圓上(也稱四點(diǎn)共圓),因?yàn)?EF 是圓的直徑,O、C 均在圓上,且 OC 長度固定,要使得 EF 最短,則圓最小,要使圓最小,OC 為固定長度,則 OC 為直徑時,圓最?。ù颂幈容^難,思維量比較大,大家慢慢琢磨),此時 CO=EF=OA=OB=5(斜邊上中線等于斜邊一半)4. 如圖 1,已知 RtABC 中,AC5,BC12,ACB90,P 是邊 AB 上的動點(diǎn),Q 是邊 BC 上的動點(diǎn),且CPQ90,求線段
15、 CQ 的取值范圍簡答:以 CQ 為直徑作O,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,若 AB 邊上的動點(diǎn) P 在圓上,CPQ 就為直角當(dāng)O 與 AB 相切時(如圖 2),直徑 CQ 最小由切線長定理,得 APAC5,所以 BP1358再根據(jù)BPOBCA,所以 OP 10 ,CQ 20 當(dāng)點(diǎn) Q33與點(diǎn) B 重合時(如圖 3),直徑 CQ 最大,此時綜上所述, 20 CQ1235. 如圖 1,半徑為 4 的O 中,CD 為直徑,弦 ABCD 且過半徑 OD 的中點(diǎn),點(diǎn) E 為O 上一動點(diǎn),CFAE 于點(diǎn) F當(dāng)點(diǎn) E 從點(diǎn) B 出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn) D 時,點(diǎn) F 所經(jīng)過的路徑長為?3簡答:因?yàn)镃FA=90(
16、定角),AC=4(定弦),故 F 在以 AC 為直徑的Q 上,當(dāng) E在 B 處時,F(xiàn) 在 G 處,當(dāng) E 在 D 處時,F(xiàn) 在 A 處,故 F 的運(yùn)動路徑為弧 AG 的長度,易求60出ACD=30,故AQG=60,故弧 AG 長度= 2 2 3= 2 336036.(2013 武漢)如圖 1,E,F(xiàn) 是正方形 ABCD 的邊 AD 上兩個動點(diǎn),滿足 AE=DF連接CF 交 BD 于點(diǎn) G,連接 BE 交 AG 于點(diǎn) H若正方形的邊長為 2,則線段 DH 長度的最小值是?簡答:易證ABEDCF,DAGDCG,故DAG=DCG=ABE,又因?yàn)锳BE+AEB=90,故EAH+AEH=90,故AHB=
17、90,故 H 在以 AB 為直徑的O 上,5當(dāng) O、H、D 三點(diǎn)共線的時候 DH 最小,DH=OD-OH=-17.如圖 1,在 RtABC 中,B=90,C=30,AB=1,D 為線段 AC 上一動點(diǎn),將 BDC 沿著 BD 翻折,點(diǎn) C 的對應(yīng)點(diǎn)為 F,E 為 AC 的中點(diǎn),在 D 從 C 到 A 的運(yùn)動過程中, 當(dāng) EF 最短時,CD 為?簡答:在折疊過程中,BF 始終等于 BC,故 F 到 B 點(diǎn)的距離是定值,F(xiàn) 在B 上,當(dāng) EF 最短時,B、E、F 三點(diǎn)共線(如圖 2),此時BFD=BCD=30,F(xiàn)BD=CBD=15(因?yàn)?BE=CE,故EBC=BCE=30),故FDH=CDH=45
18、,F(xiàn)ED=60,故 FDCE,3EF=BF-BE=-1 , 又 因 為 DF=DC , 在 Rt EDF 中ED = 1 EF =3 -1 , 故CD=1-ED=1 -223 -1 = 3 - 32238.(2017 宿遷)如圖,在矩形紙片 ABCD 中,已知 AB=1,BC=,點(diǎn) E 在邊 CD 上移動,連接 AE,將多邊形 ABCE 沿直線 AE 翻折,得到多邊形 ABCE,點(diǎn) B、C 的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) B、C(1) 當(dāng) BC恰好經(jīng)過點(diǎn) D 時(如圖 1),求線段 CE 的長;(2) 若 BC分別交邊 AD,CD 于點(diǎn) F,G,且DAE=22.5(如圖 2),求DFG 的面積;(3) 在點(diǎn)
19、 E 從點(diǎn) C 移動到點(diǎn) D 的過程中,求點(diǎn) C運(yùn)動的路徑長6簡答:(1)“K 字形”秒殺,過程略,答案:- 2(2) 由翻折全等可知BAE=BAE=67.5,又因?yàn)镈AE=22.5,故B6AF=45,故ABF、DFE 均為等腰直角三角形,后面略,答案: 5 -2(3) 折疊過程中始終有 AC=AC,故 C在以 A 為圓心,AC 為半徑的圓上。根據(jù)點(diǎn) E 在 C 時,C在 C 點(diǎn),點(diǎn) E 移動到 D 時,C在如圖 3 位置,易求 C運(yùn)動的圓弧的圓心角為 60,故 C運(yùn)動的軌跡為 60 2 2= 2【模型四:四點(diǎn)共圓】36031. 如圖 1,正方形 ABCD 中,EAF=45,AF 與 BD 交
20、于 N,AE 與 BD 交于 M,連接MF、NE,求證ANE、AMF 是等腰直角三角形簡答:因?yàn)?=2=45,3=4,故 A、B、E、N 四點(diǎn)共圓,因?yàn)锳BE=90,故 AE 為直徑,故ANE=90,故ANE 是等腰直角三角形,同理可證AMF 是等腰直角三角形(此題也是很經(jīng)典的“半角模型”問題之一)2. 如圖 1,等邊ABC 中,AB=6,P 為 AB 上一動點(diǎn),PDBC,PEAC,則 DE 的最小值為?簡答:因?yàn)镻EC=PDC=90,故四邊形 PDCE 對角互補(bǔ),故 PDCE 四點(diǎn)共圓,如圖 2。EOD=2ECD=120,故 ED= 3R ,要使得 DE 最小則要使圓的半徑 R 最小,故直徑 PC最小,當(dāng) CPAB 時,PC 最短為3,故 R= 3 3 ,故 DE=323R =3 3 3 = 9223.
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