1_6354511_24.由函數的凸凹性生成的高考試題VIP

中國 高考數學母題一千題 (第 0001 號 ) 由函數的凸凹性生成的高考試題 生成 不等式 的 一個 母題 由函數的凸凹性可得琴生不等式 ,由琴生不等式已生成一類高考試題 ,相信 還會繼 續(xù) 生成高考試題 ,為脫去 琴生不等式的高等數 學 外衣 ,為中學數學所用 ,我們構造如下母題 . 母題結構 :( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導 ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調遞減 ,則對任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當且僅當 x1= =等號成立 ; ( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導 ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調遞增 ,則對任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當且僅當 x1= =等號成立 . 母題 解 析 :( )設 x ,p1+ +,則 +x +(1x + ( +pn)x p2(p3( +pn( 0成立 ;又由 f (x)在區(qū)間 調遞減 f (x) f ( +令 g(x)=x)+ +f( +x 則 g (x)=(x)( + 0 g(x)在 x g(x) g(p1+p2)f( +f(p1+p2) + (p1+p2+p3)f( + f(f(p1+p2+p3) + (p1+ +pn)f(f(p1+ +pn)f(f(0 g( 0 f( + +當且僅當 x1= =等號成立 ;同理可證 ( ). 子題類型 :(1994 年全國高考 理科 試題 )已知函數 f(x)=x (0,2),若 x1,(0,2),且 明 : 21f(f(f(2 21 . 解析 :先證明如下命題 :若 f(x)在區(qū)間 (0,2)上連續(xù) 可導 ,且 f (x)在區(qū)間 (0,2)上 單調遞增 ,則 當 x1,(0,2),且21f(f(f(221 ;不妨設 0f (221; 令 g(x)=21f(x)+f(2,則 g (x)=21f (x)(220 g(x)在區(qū)間 (0, 單調遞增 g(x)g(0 g(0 21 f(f(f( 221 ); 當 x (0,2)時 ,由 f(x)=f (x)=f (x)= f (x)在區(qū)間 (0,2)上 單調遞增 21f( f(f(221 . 點評 :利用母題解決問 題 ,首先要證明題 中對應的 母題 中的命題 ,有時解決一般性問題比解決其特殊問題要簡單得多 ,這也是我們構造 母題 的原因之一 . 子題類型 :(2005 年全國 高考試題 )( )設函數 f(x)=1-x)00),則 g (x)=區(qū)間 (0,+ )上 單調遞增 ; ( )由2 )1()( g(2 )1( ) f(x)=g(x)+g(1 2g(21)=且僅當 x=1 x=21時等號成立 f(x)的最小值 為 ( )由n )()()()( 321 g(n 2321 )=g( +=g(g(g( +g( 點評 :本題中的第 ( )問是在不等式 :2 )()( 21 g(2 21 )中取 x1=x,第 ( )問是在不等式 :g( + +其中 ,p1+ +)中 取 n,且 xi=巧妙選取 n,xi,是利用母題證明或構造 不等式 的關鍵 . 子題類型 :(2012年 湖北 高考試題 )( )已知函數 f(x)=1x0),其中 且 00,時 ,令 g(x)=x0),則 g (x)在區(qū)間 (0,+ )上 單調 遞減 21 2211bb 211 (b1+) ( )推廣 命題 :設 0,k=1,2, ,n).若 b1+ +,則 b +證明 :當 ak(k=1,2, ,n)中 至少 有一個為 0 時 ,則 +當 (k=1,2, ,n)時 ,令g(x)=x0),則 g (x)在區(qū)間 (0,+ )上 單調 遞減 n 21 2211 21 2211(b1+ +1) b an +點評 :由 b ln(b1+)21 2211bb 211 ,對比母題中的不等式 ,類比聯(lián)想到 應研究 函 數 g(x)=用母題證明 不等式 的關鍵 是由待 證 不等式 ,類比聯(lián)想到應研究函數 . 1.(1994 年全國高考 文科 試題 )已知函數 f(x)=x0,且 a 1,x R+),若 x1,R+,判斷2 )()( 21 與 f(2 21 )的大小 ,并加以證明 . 2.(2010 年 陜西 高考試題 )已知函數 f(x)= x ,g(x)=a R. ( )若曲線 y=f(x)與曲線 y=g(x)相交 ,且在交點處有共同的切線 ,求 a 的值和該切線方程 ; ( )設函數 h(x)=f(x)-g(x),當 h(x)存在最小值時 ,求其最小值 (a)的解析式 ; ( )對 ( )中的 (a)和任意的 a0,b0,證明 : (22 )()( (). 3.(2006年四川高考試題 )己知函數 f(x)=x2+x2+x0),f(x)的導函數是 f (x),對任意兩個不相等的正數 x1,明 : ( )當 a 0 時 ,2 )()( 21 )2( 21 ; ( )當 a 4 時 ,|f (f (| 4.(2004 年全國 高考試題 )已知函數 f(x)=+x)-x,g(x)=( )求函數 f(x)的最大值 ; ( )設 01 時 ,f (x)在 (0,+ )上單調遞減 2 )()( 21 f(2 21 ); 當 00); 當 a 0時 ,h (x)0 h(x)在 (0,+ )上遞增 ,無最小值 ; 當 a0時 ,h(x)的最小值 (a)=h(42a(1 ( )由 (a)=2a(1 (a)= (x)=0,+ )上單調遞增 (22 )()( ;由2 )()( () 2 4()2 (a+b)2 4立 . ( )由 f(x)=x2+x2+f (x)=2 f(x)=2+34 a 0 時 ,f (x)0 f (x)在 (0,+ )上 單調遞增 2 )()( 21 )2( 21 ; ( )由 f (x)=2+34當 a 4時 ,f (x)在 (0,+ )上 單調遞增 ;不妨設 x1| f (f (x2f (當 a 4 時 ,g(x)=f (x) (0,+ )上 單調遞增 ;由 g (x)=f (x)+34當 a 0 時 ,g (x)0;當 g (x)0 g(x)在 (0,+ )上 單調遞增 . ( )由 f(x)=+x)-x(x f (x)=x11 f(x)的最大值 =f(0)=0; ( )由 g(x)=g (x)= 在 (0,+ )上單調遞增 g(221g(a)+g(b) g(a)+g(b)0;令h(x)=g(a)+g(x)-(xa),則 h (