圓錐曲線軌跡及方程求法大全.doc

軌跡方程的若干求法求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學們參考.一、直接法 直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程.例1已知點，動點滿足，則點的軌跡是（）圓橢圓雙曲線拋物線解析：由題知，由，得，即，點軌跡為拋物線故選二、定義法運用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程例2在中，上的兩條中線長度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，如圖1，為重心，則有點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.三、轉(zhuǎn)代法此方法適用于動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題. 例3已知abc的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是四、參數(shù)法如果不易直接找出動點的坐標之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把x，y聯(lián)系起來例4已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使有向線段滿足，求直線與的交點的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系設(shè)點， 則由題意，得由點斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點m的軌跡方程評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.五、待定系數(shù)法當曲線的形狀已知時，一般可用待定系數(shù)法解決.例5 已知，三點不在一條直線上，且，（1）求點軌跡方程；（2）過作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求橢圓方程解：（1）設(shè)，由知為中點，易知又，則即點軌跡方程為；（2）設(shè)，中點由題意設(shè)橢圓方程為，直線方程為直線與點的軌跡相切，解得將代入橢圓方程并整理，得，又由題意知，即，解得故所求的橢圓方程為殲滅難點訓練一、選擇題1.已知橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓上的一個動點，如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么動點q的軌跡是( )a.圓b.橢圓c.雙曲線的一支d.拋物線2.設(shè)a1、a2是橢圓=1的長軸兩個端點，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點，則直線a1p1與a2p2交點的軌跡方程為( )a.b.c.d.二、填空題3.abc中，a為動點，b、c為定點，b(,0),c(,0)，且滿足條件sincsinb=sina,則動點a的軌跡方程為_.4.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為a(5，0)、b(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.三、解答題5.已知a、b、c是直線l上的三點，且|ab|=|bc|=6，o切直線l于點a，又過b、c作o異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點p，求點p的軌跡方程.6.雙曲線=1的實軸為a1a2，點p是雙曲線上的一個動點，引a1qa1p，a2qa2p，a1q與a2q的交點為q，求q點的軌跡方程.7.已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點p、q.(1)求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程；(2)當mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率.8.已知橢圓=1(ab0),點p為其上一點，f1、f2為橢圓的焦點，f1pf2的外角平分線為l，點f2關(guān)于l的對稱點為q，f2q交l于點r.(1)當p點在橢圓上運動時，求r形成的軌跡方程；(2)設(shè)點r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交于a、b兩點，當aob的面積取得最大值時，求k的值.參考答案殲滅難點訓練一、1.解析：|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a,動點q到定點f1的距離等于定長2a,故動點q的軌跡是圓.答案：a2.解析：設(shè)交點p(x,y）,a1(3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,y0)a1、p1、p共線，a2、p2、p共線，解得x0=答案：c二、3.解析：由sincsinb=sina,得cb=a,應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：4.解析：設(shè)p(x,y），依題意有,化簡得p點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過b、c異于l的兩切線分別切o于d、e兩點，兩切線交于點p.由切線的性質(zhì)知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|=|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=186=|bc|，故由橢圓定義知，點p的軌跡是以b、c為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以bc的中點為原點，建立坐標系，可求得動點p的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)p(x0,y0）(xa),q(x,y).a1(a,0),a2(a,0).由條件而點p(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得q點的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)設(shè)p點的坐標為(x1,y1)，則q點坐標為(x1,y1),又有a1(m,0),a2(m,0),則a1p的方程為：y=a2q的方程為：y=得：y2=又因點p在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為m的軌跡方程.(2)當mn時，m的軌跡方程是橢圓.()當mn時，焦點坐標為(,0)，準線方程為x=,離心率e=；()當mn時，焦點坐標為(0,),準線方程為y=,離心率e=.8.解：(1)點f2關(guān)于l的對稱點為q，連接pq，f2pr=qpr，|f2r|=|qr|，|pq|=|pf2|又因為l為f1pf2外角的平分線，故點f1、p、q在同一直線上，設(shè)存在r(x0,y0）,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0).|f1q|=|f2p|+|pq|=|f1p|+|pf2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.