2012年高數(shù)專升本真題及其參考答案.docVIP

精品資料，歡迎下載 2012年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進入本科階段學習考試 高等數(shù)學 題號 一 二 三四 五總分分值 60 20 50 12 8 150 注意事項： 答題前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上. 本試卷的試題答案必須答在答題卡上，答在試卷上無效. 一、選擇題 （每小題2 分，共60 分） 在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案， 用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號. 1函數(shù) 的定義域是 （ ）a,+） b(,+) c, 0）(,+) d（, 0）(,+) 【答案】c. 【解析】 要求，即；要求.取二者之交集，得 , 0）(,+) 應選c. 2下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）a b c d. 【答案】b. 【解析】 顯然a，d中的函數(shù)都是非奇非偶，應被排除；至于c， 記 則 所以為奇函數(shù)，c也被排除.應選b. 3當時，下列無窮小量中與等價的是（ ） a b c d【答案】d. 【解析】因為，所以應選d.4設(shè)函數(shù)， 則是的（ ）a連續(xù)點 b可去間斷點 c跳躍間斷點 d第二類間斷點【答案】d 【解析】 因為在處無定義，且無左、右極限，故是的第二類間斷點.選d5函數(shù)在處 a極限不存在 b間斷 c連續(xù)但不可導 d連續(xù)且可導【答案】c. 【解析】因為是初等函數(shù)，且在處有定義，故在處連續(xù)；又，故在處不可導.綜上，應選 c. 6設(shè)函數(shù) ，其中在處連續(xù)且的，則（ ） a不存在 b等于 c存在且等于0 d存在且等于【答案】a. 【解析】；因為，所以不存在，選a. 7若函數(shù)可導，則（ ） a b c d【答案】d b. 【解析】根據(jù)一階微分形式的不變性知 ，故選b. 8過曲線有水平漸進線的充分條件是（ ） a bc d【答案】b. 【解析】根據(jù)水平漸進線的定義： 如果存在，則稱為曲線的一條水平漸進線，易判斷出應選b. 9設(shè)函數(shù)，則（ ） a b c d【答案】d. 【解析】因為，所以， ，選d. 10曲線在點處的切線斜率是（ ） a b c d【答案】b. 【解析】 因為； ，故存在.所以，曲線在點處的切線斜率是，選b. 11 方程（其中為任意實數(shù)）在區(qū)間內(nèi)實根最多有（ ）a個 b 個 c個 d個【答案】d 【解析】 令.則，因此曲線在內(nèi)是上升的，它至多與軸有一個交點，即方程在區(qū)間內(nèi)至多有一個實根.選d12若連續(xù)，則下列等式正確的是（ ）a bc d 【答案】a13如果的一個原函數(shù)為，則 在（ ）a bc d 【答案】c. 【解析】根據(jù)原函數(shù)及不定積分的定義，立知，選c. 14設(shè)，且，則（ ） a b c d 【答案】b. 【解析】因為，故 .又，故即 .所以，選b. 15 （ ）a b c d 【答案】b. 【解析】 ，選b. 16 （ ）a b c d【答案】c. 【解析】 （分部） .選 c. 17下列廣義積分收斂的是（ ） a b. c d 【答案】d. 【解析】因為 ，所以，發(fā)散；因為 ，所以，發(fā)散；因為，所以，發(fā)散；收斂。綜上分析，應選 d. 18微分方程是（ ）a 二階非線性微分方程 b. 二階線性微分方程 c一階非線性微分方程 d一階線性微分方程 【答案】a.19.微分方程的通解為（ ） a b. c d 【答案】b. 【解析】原方程可化為 兩邊積分得 即 化簡得通解為 所以，選b. 20.在空間直角坐標系中，若向量與軸和軸正向的夾角分別為和，則與軸正向的夾角為（ ）a b. c d或【答案】d. 【解析】設(shè)與軸正向的夾角為，則由于 得 故 ，所以或，選d. 21.直線與平面的位置關(guān)系是（ ）a直線在平面內(nèi) b平行c垂直 d相交但不垂直【答案】b. 【解析】直線的方向；平面的法向量.因為，所以直線與平面平行. 選b22下列方程在空間直角坐標系中表示的圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是（ ） a b c d【答案】c. 【解析】 由c：，得 ，所以選 c. 23（ ）a b. c d【答案】b. 【解析】 .選b . 24函數(shù)在點處可微是在該點處兩個偏導數(shù)和存在的（ ） a充分條件 b必要條件 c充分必要條件 d既非充分又非必要條件【答案】a. 25已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c. 【解析】， 所以選c.26冪級數(shù)的和函數(shù)為（ ） a b c d【答案】b 【解析】，所以選b. 27下列級數(shù)發(fā)散的是（ ）a b c d【答案】a. 【解析】因為，從而，因此發(fā)散，故選a. 28若級數(shù)在點處條件收斂，則在，中使該級數(shù)收斂的點有（ ）a個 b 個 c個 d個【答案】c 【解析】令，則原級數(shù)化為標準冪級數(shù)。因為原級數(shù)在點處條件收斂，故在處條件收斂。由abel收斂定理，一方面，由于級數(shù)在處收斂，所以在的點處均絕對收斂，即當時，原級數(shù)絕對收斂，因此，是原級數(shù)的收斂點；另一方面，由于在處僅是條件收斂，因此，在的點處必定發(fā)散，否則在點處應該是絕對收斂的，即當或時，原級數(shù)發(fā)散，所以，是原級數(shù)的發(fā)散點.29.若是曲線上從點到點的一條連續(xù)曲線段，則曲線積分的值為（ ）a b c d【答案】c 【解析】因為，所以積分與路徑無關(guān).故改沿連接兩點的直線段積之.由格林公式得 （利用奇、偶性） 其中 （分部） 將代入得 .選c30.設(shè)，則交換積分次序后，可化為a b c d【答案】a 二、填空題 （每小題 2分，共 20分） 31已知 ，則_ 【答案】填.【解析】由，得 ，故. 所以.32設(shè)，則_【答案】填【解析】由，得，所以，.33如果函數(shù)在點處可導，且為的極大值，則_【答案】填【解析】這是極值的必要條件.34.曲線的拐點是_【答案】填【解析】，.令，解得因當時，而當時，故 的的拐點是35不定積分_ 【答案】填.【解析】 .36微分方程 滿足的特解為_【答案】填.【解析】為一階線性非齊次微分方程，由公式其通解為 將代入式，可得 所以，特解為.37向量在上的投影為_ 【答案】填【解析】.38.設(shè)方程 所確定的隱函數(shù)是，則_ 【答案】填【解析】 當時，由式可求得 令，則.所以，39設(shè)積分區(qū)域為，則_ 【答案】填【解析】之面積= 40 若，則正項級數(shù)的斂、散性為_ 【答案】填發(fā)散.【解析】 由式得 故由比較判別法的極限形式知，與同斂、散，又已知調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，所以也發(fā)散.三. 計算題（每小題5分，共50分）41. 解： （等價替換） .42.已知參數(shù)方程（為參數(shù)），求.解：；，故；所以 . .43.求不定積分解：令，即，則（分部積分） .44.求解：（等價替換） （洛必達法則）.45.求微分方程的通解.解：特征方程為 ，解之得特征根為 ，所以通解為 .46.求函數(shù)的極值.解：（一）解方程組 或 故函數(shù)有兩個駐點：及（二），. （1）因為在點處，故為極大值.（2） 因為在點處，故為極小值.47.求過點且與直線平行的直線方程.解：直線的方向向量為，所以，所求直線的方程為 .48.求函數(shù)的全微分.解：. ； .所以 .49.計算，其中為圓環(huán)：.解：在極坐標下計算之.（分部積分）.50.求冪級數(shù)的收斂域.解：令.則原級數(shù)變?yōu)椋?因為，所以，又當時，級數(shù)變?yōu)椋?，發(fā)散；而當時，級數(shù)變?yōu)椋?，收斂，因此，級?shù)的收斂區(qū)間為即所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為：四.應用題（每小題6分，共12分）51.求函數(shù)在時的最大值，并從數(shù)列1，中選出最大的一項.解：.則.令，得唯一駐點.因為當時，從而在內(nèi)單調(diào)增加；而當時，從而在內(nèi)單調(diào)減少.又，所以，數(shù)列1，中最大的一項就是其第三項.52.求過點作曲線的切線，該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形.試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：（一）設(shè)切點為，則切線斜率為 因此曲線在點處的切線方程為 將點的坐標代入式，得 解得 .因此切點.曲線在點處的切線方程為 化簡得 （二） 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為.其中 ；（分部） .五、證明題（8分）53.證明不等式：，其中為正整數(shù).證明：令，則.在上連續(xù)，在內(nèi)可導.在上應用拉格朗日中值定理知，存在，使得 即 因為，故 又注意到 所以 .我的大學愛情觀目錄：1、 大學概念2、 分析愛情健康觀3、 愛情觀要三思4、 大學需要對愛情要認識和理解5、 總結(jié)1、什么是大學愛情：大學是一個相對寬松，時間自由，自己支配的環(huán)境，也正因為這樣，培植愛情之花最肥沃的土地。大學生戀愛一直是大學校園的熱門話題，戀愛和學業(yè)也就自然成為了大學生在校期間面對的兩個主要問題。戀愛關(guān)系處理得好、正確，健康，可以成為學習和事業(yè)的催化劑，使人學習努力、成績上升；戀愛關(guān)系處理的不當，不健康，可能分散精力、浪費時間、情緒波動、成績下降。因此，大學生的戀愛觀必須樹立在健康之上，并且樹立正確的戀愛觀是十分有必要的。因此我從下面幾方面談談自己的對大學愛情觀。2、什么是健康的愛情：1) 尊重對方，不顯示對愛情的占有欲，不把愛情放第一位，不癡情過分；2) 理解對方，互相關(guān)心，互相支持，互相鼓勵，并以對方的幸福為自己的滿足; 3) 是彼此獨立的前提下結(jié)合；3、什么是不健康的愛情：1)盲目的約會，忽視了學業(yè);2)過于癡情，一味地要求對方表露愛的情懷，這種愛情常有病態(tài)的夸張;3)缺乏體貼憐愛之心，只表現(xiàn)自己強烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大學生處理兩人的在愛情觀需要三思：1. 不影響學習：大學戀愛可以說是一種必要的經(jīng)歷，學習是大學的基本和主要任務，這兩者之間有錯綜復雜的關(guān)系，有的學生因為愛情，過分的忽視了學習，把感情放在第一位；學習的時候就認真的去學，不要去想愛情中的事，談戀愛的時候用心去談，也可以交流下學習，互相鼓勵，共同進步。2. 有足夠的精力：大學生活，說忙也會很忙，但說輕松也是相對會輕松的！大學生戀愛必須合理安排自身的精力，忙于學習的同時不能因為感情的事情分心，不能在學習期間，放棄學習而去談感情，把握合理的精力，分配好學習和感情。3、 有合理的時間；大學時間可以分為學習和生活時間，合理把握好學習時間和生活時間的“度”很重要；學習的時候，不能分配學習時間去安排兩人的在一起的事情，應該以學習為第一；生活時間，兩人可以相互談談戀愛，用心去談，也可以交流下學習，互相鼓勵，共同進步。5、大學生對愛情需要認識與理解，主要涉及到以下幾個方面：（1） 明確學生的主要任務“放棄時間的人，時間也會放棄他?！贝髮W時代是吸納知識、增長才干的時期。作為當代大學生，要認識到現(xiàn)在的任務是學習學習做人、學習知識、學習為人民服務的本領(lǐng)。在校大學生要集中精力，投入到學習和社會實踐中，而不是因把過多的精力、時間用于談情說愛浪費寶貴的青春年華。因此，明確自己的目標，規(guī)劃自己的學習道路，合理分配好學習和戀愛的地位。（2） 樹林正確的戀愛觀提倡志同道合、有默契、相互喜歡的愛情：在戀人的選擇上最重要的條件應該是志同道合，思想品德、事業(yè)理想和生活情趣等大體一致。擺正愛情與學習、事業(yè)的關(guān)系：大學生應該把學習、事業(yè)放在首位，擺正愛情與學習、事業(yè)的關(guān)系，不能把寶貴的大學時間，鍛煉自身的時間都用于談情說有愛而放松了學習。 相互理解、相互信任，是一份責任和奉獻。愛情是奉獻而不時索取，是擁有而不是占有。身邊的人與事時刻為我們敲響警鐘，不再讓悲劇重演。生命只有一次，不會重來，大學生一定要樹立正確的愛情觀。（3） 發(fā)展健康的戀愛行為 在當今大學校園，情侶成雙入對已司空見慣。抑制大學生戀愛是不實際的，大學生一定要發(fā)展健康的戀愛行為。與戀人多談談學習與工作，把戀愛行為限制在社會規(guī)范內(nèi)，不致越軌，要使愛情沿著健康的道路發(fā)展。正如馬克思所說：“在我看來，真正的愛情是表現(xiàn)在戀人對他的偶像采取含蓄、謙恭甚至羞澀的態(tài)度，而絕不是表現(xiàn)在隨意流露熱情和過早的親昵?！保?） 愛情不是一件跟風的事兒。很多大學生的愛情實際上是跟風的結(jié)果，是看到別人有了愛情，看到別人幸福的樣子（注意，只是看上去很美），產(chǎn)生了羊群心理，也就花了大把的時間和精力去尋找愛情（5） 距離才是保持愛情之花常開不敗的法寶。愛情到底需要花多少時間，這是一個很大的問題。有的大學生愛情失敗，不是因為男女雙方在一起的時間太少，而是因為他們在一起的時間太多。相反，很多大學生戀愛成功，不是因為男女雙方在一起的時間太少，而是因為他們準確地把握了在一起的時間的多少程度。（6） 愛情不是自我封閉的二人世界。很多人過分的活在兩人世界，對身邊的同學，身邊好友漸漸的失去聯(lián)系，失去了對話，生活中只有彼此兩人；