2020版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案北師大版.docx

21拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義1定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線2焦點(diǎn)：定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)3準(zhǔn)線：定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y特別提醒：(1)方程特點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸上，x是一次項(xiàng)，y是平方項(xiàng)；焦點(diǎn)在y軸上，y是一次項(xiàng)，x是平方項(xiàng)(2)一次項(xiàng)表明焦點(diǎn)所在軸，它的符號(hào)表明開口方向，有如下口訣：焦點(diǎn)軸一次項(xiàng)，符號(hào)確定開口向；若y是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向下正向上；若x是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向左正向右1到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線()2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p就可以確定()3方程x22ay(a0)表示開口向上的拋物線()題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(2)焦點(diǎn)為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(2)對(duì)于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時(shí)，3，所以p6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，4，所以p8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.反思感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程注意：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2ax或x2ay(a0)的形式，以簡(jiǎn)化討論過程跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且，則p，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.題型二拋物線定義的應(yīng)用命題角度1利用拋物線定義求軌跡(方程)例2若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)題點(diǎn)解由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)反思感悟解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解后者的關(guān)鍵是找到滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件，有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件跟蹤訓(xùn)練2已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，M與直線l：x3的切點(diǎn)為N，則|MA|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x3的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x3為準(zhǔn)線，3，p6，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y212x.命題角度2利用拋物線定義求最值或點(diǎn)的坐標(biāo)例3如圖，已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線上一點(diǎn)(1)若|PF|x0，求x0；(2)已知點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值解(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x，根據(jù)拋物線的定義可得，x0|PF|x0，解得x02.(2)如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部由圖可知，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x02.點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)引申探究若將本例中的點(diǎn)A(3,2)改為點(diǎn)(0,2)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離由圖可知，P點(diǎn)，(0,2)點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知P是拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A.B.C2D.1考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值答案D解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為，所以d|PF|1的最小值為1.拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題典例河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開始不能通航？考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開始不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航素養(yǎng)評(píng)析首先確定與實(shí)際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問題，操作步驟為：(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)計(jì)算：通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求解：求出需要求出的量(5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題1已知拋物線y2px2過點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B.C.D(0,1)考點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程題點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)答案C解析由拋物線y2px2過點(diǎn)(1,4)，可得p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選C.2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)答案A解析由yx2，得x24y，則拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且2p4，即p2，因此準(zhǔn)線方程為y1.3設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A4B6C8D12考點(diǎn)拋物線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)答案B解析由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是426.4若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義確定軌跡及軌跡方程答案y216x解析點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1，點(diǎn)P到直線x4的距離和它到點(diǎn)(4,0)的距離相等根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(4,0)為焦點(diǎn)，以直線x4為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，4，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y216x.5若拋物線y22x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2解析設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，即|AF|x1x1.同理|BF|x2x2.故|AF|BF|x1x215，即x1x24，得2.故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2.1利用拋物線定義可以把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，這一相互轉(zhuǎn)化關(guān)系能給解題帶來很大的方便，要注意運(yùn)用定義解題2在求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由于其標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易于混淆，解題時(shí)一定要做到數(shù)形結(jié)合，按照“定形(拋物線焦點(diǎn)位置)定量(參數(shù)p的值)”的程序求解.一、選擇題1已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的問題答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，由題設(shè)知1，即p2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B.2一動(dòng)圓過點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，圓心在拋物線x24y上，則l的方程為()Ax1BxCy1Dy考點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程題點(diǎn)求拋物線的準(zhǔn)線方程答案C解析因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，所以動(dòng)圓圓心到點(diǎn)(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等，又因?yàn)閯?dòng)圓圓心在拋物線x24y上，且(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，所以l為拋物線的準(zhǔn)線，所以l：y1.3拋物線x24y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A2B3C4D5考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析拋物線的準(zhǔn)線為y1，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5，又點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離相等，距離為5.4已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析點(diǎn)A(2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，2，p4.拋物線的方程為y28x，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)又A(2,3)，根據(jù)斜率公式得kAF.5已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A4B2C4或4D12或2考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案C解析由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故24，p4，x28y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x28y，得m4.6O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4，則POF的面積為()A2B2C2D4考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求點(diǎn)坐標(biāo)答案C解析拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，焦點(diǎn)F(，0)，由|PF|4及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP3，從而縱坐標(biāo)yP2.SPOF|OF|yP|22.7設(shè)F為拋物線y22x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|等于()A.B6C.D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析F為拋物線y22x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則F為ABC的重心，A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為F點(diǎn)橫坐標(biāo)的3倍，即等于，|3.二、填空題8若拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線方程是y2，則a_.考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的問題答案解析拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2y.其準(zhǔn)線方程為y2，所以a.9若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用答案9解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x1.由M到焦點(diǎn)的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM110，解得xM9，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.10一拋物線形拱橋，當(dāng)橋頂離水面2米時(shí)，水面寬4米，若水面下降2米，則水面寬為_米考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案4解析以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)由橋頂離水面2米時(shí)，水面寬4米可得圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，所以42p(2)，解得p1.所以拋物線的方程為x22y.當(dāng)水面下降2米，即當(dāng)y4時(shí)，可得x22(4)8，解得x2，因此水面寬為4米三、解答題11已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y2a2x(a0)考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的簡(jiǎn)單性質(zhì)解(1)由方程y26x，知拋物線開口向左，2p6，p3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)將3x25y0變形為x2y，知拋物線開口向下，2p，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.(3)由方程y2a2x(a0)知拋物線開口向右，2pa2，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.12拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求此拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)焦點(diǎn)為F，M點(diǎn)到準(zhǔn)線