D116高斯公式斯托克斯公式.ppt

,第六節(jié),Green 公式,Gauss 公式,推廣,一、高斯公式,高斯公式,第十一章,斯托克斯公式,二、斯托克斯公式,Stokes 公式,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲, 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) P, Q, R 在,面 所圍成,則有,(Gauss 公式),高斯, 的方向取外側(cè),以下形式：,其中，,是在點(diǎn)(x,y,z)處的法,向量的方向余弦.,例1. 用Gauss 公式計(jì)算,其中 為柱面,閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).,解: 這里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間,思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化?,若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算?,利用質(zhì)心公式, 注意,例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分,其中 為錐面,解: 作輔助面,取上側(cè),介于z = 0及 z = h,之間部分的下側(cè), , , 為法向量的方向角.,所圍區(qū)域?yàn)?,則,利用質(zhì)心公式, 注意,思考: 計(jì)算曲面積分,提示: 作取上側(cè)的輔助面,介于平面 z= 0 及 z = 2,之間部分的下側(cè).,先二后一,例3.,設(shè) 為曲面,取上側(cè), 求,解:,作輔助面,用柱坐標(biāo),用極坐標(biāo),下側(cè),二、 斯托克斯公式,定理2. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式),個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的,側(cè)與 的正向符合右手法則,在包含 在內(nèi)的一,則有,簡(jiǎn)介,注意: 如果 是 xOy 面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,定理1,為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:,或用第一類曲面積分表示:,定理1,例4. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分,其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整,解: 記三角形域?yàn)?, 取上側(cè),則,個(gè)邊界, 方向如圖所示.,利用對(duì)稱性,例5. 為柱面,與平面 y = z 的交線, 從 z,軸正向看為順時(shí)針,解: 設(shè) 為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得,則其法線方向余弦,公式其他形式,計(jì)算,內(nèi)容小結(jié),1. 高斯公式及其應(yīng)用,公式:,應(yīng)用:,計(jì)算曲面積分,(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧),2. 斯托克斯公式,作 業(yè),P236 1 (4), P245 2 (4) P247 4 (2)(3),第七節(jié),思考與練習(xí),所圍立體,判斷下列演算是否正確?,(1),(2), 為,備用題 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體, 是 外法線向量與點(diǎn) ( x , y , z ) 的向徑,試證,證: 設(shè) 的單位外法向量為,則,的夾角,積為V,高斯(1777 1855),德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域 ,在數(shù)論、,級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開(kāi)創(chuàng),性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、,曲面論和位勢(shì)論等.,他在