部分相關(guān)分析功率譜白噪聲.ppt

,2.2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)性分析,實(shí)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：,1.,2.,2019/6/25,2,3.周期過程,，則,非周期過程,4.,: 整個(gè)相關(guān)成分,: 總功率,: 交流相關(guān)成分,: 交流功率,: 直流功率,2019/6/25,3,2019/6/25,4,例:,求,和,解:,2019/6/25,5,例:,是否可能為相關(guān)函數(shù)?,(1),(2),2019/6/25,6,自相關(guān)系數(shù)也有類似性質(zhì):,1.,2.,2019/6/25,7,定義自相關(guān)時(shí)間 ： 1.,2.,(等效矩形),相關(guān)系數(shù)函數(shù)下降越快，,越小，隨機(jī)過程的起伏越快,2019/6/25,8,2019/6/25,9,過程比過程起伏快,2019/6/25,10,聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),1.,注意不是偶函數(shù),2.,（小于幾何平均）,3.,（小于算術(shù)平均）,2019/6/25,11,2 :證明,3 :證明,2019/6/25,12,例1:,噪聲,為零均值,與,不相關(guān),求:,的,2019/6/25,13,例2:,為常數(shù),證明 聯(lián)合平穩(wěn)性.,和,平穩(wěn),2019/6/25,14,2019/6/25,15,2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜,從這里開始都講平穩(wěn)過程。且進(jìn)行頻域分析. 采用變換的方法使其信息在頻域顯露出來。,2019/6/25,16,本小節(jié)要解決的問題,隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?,傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？,相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系,功率譜的應(yīng)用,白噪聲的定義,2019/6/25,17,2.1 隨機(jī)過程的譜分析,一 預(yù)備知識(shí),1 付氏變換,設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t) 滿足,在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件,絕對(duì)可積，即,信號(hào)的總能量有限，即,有限個(gè)極值 有限個(gè)斷點(diǎn) 斷點(diǎn)為有限值,2019/6/25,18,則 的傅里葉變換為：,其反變換為：,稱 為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。,包含：振幅譜 相位譜,2019/6/25,19,2 帕塞瓦等式,即,能量譜密度,功率,2019/6/25,20,二 隨機(jī)過程的功率譜密度,隨機(jī)過程頻譜分析的特殊性 1.隨機(jī)過程為非能量有限信號(hào)，不滿足狄氏條件，不能直接對(duì)隨機(jī)信號(hào)的表達(dá)式求傅里葉變換； 2.隨機(jī)信號(hào)頻域特性也要求統(tǒng)計(jì)平均。 辦法：借用傅里葉變換理論，按隨機(jī)信號(hào)性 質(zhì)進(jìn)行修正，使之符合隨機(jī)信號(hào)的特性,2019/6/25,21,二 隨機(jī)過程的功率譜密度,應(yīng)用截取函數(shù),1.對(duì)隨機(jī)信號(hào)的任一個(gè)樣本取截?cái)嗪瘮?shù) （特點(diǎn)：確定性，可進(jìn)行傅里葉變換）,2019/6/25,22,當(dāng) 為有限值時(shí)， 的傅里葉變換存在,應(yīng)用帕塞瓦等式,除以2T,取集合平均,有限時(shí)間的平均功率,有限時(shí)間總功率,統(tǒng)計(jì)平均功率,2019/6/25,23,令 取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序,功率Q,非負(fù),存在,（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量,（2） 為確定性實(shí)函數(shù)。,功率譜密度喲！,整個(gè)樣本平均,功率的密度,2019/6/25,24,兩個(gè)結(jié)論：,1,表示時(shí)間平均,若平穩(wěn),2,總功率,一般情況 非平穩(wěn),以上表明可以分別從時(shí)域和頻域角度求功率,2019/6/25,25,功率譜密度： 描述了隨機(jī)過程X(t)的 功率在各個(gè)不同頻率上的分布 稱為隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度。,對(duì) 在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。,對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有：,功率譜 的物理意義,2019/6/25,26,例：設(shè)隨機(jī)過程 ，其中 皆是實(shí)常數(shù)， 是服從 上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過程 的平均功率。,解：,不是寬平穩(wěn)的,2019/6/25,27,2019/6/25,28,三 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,確定信號(hào)：,1 維納辛欽定理,若隨機(jī)過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：,平穩(wěn)隨機(jī)過程：自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度,傅立葉變換對(duì),2019/6/25,29,2. 證明：,2019/6/25,30,設(shè),則,所以：,2019/6/25,31,則,(注意 ， 且 ， 。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為0),2019/6/25,32,推論：對(duì)于一般的隨機(jī)過程X(t)，有：,平均功率為：,利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成：,2019/6/25,33,3單邊功率譜,由于實(shí)平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù) 是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。,2019/6/25,34,例：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為 ，A0， ，求過程的功率譜密度。,解：應(yīng)將積分按 和 分成兩部分進(jìn)行,2019/6/25,35,例：設(shè) 為隨機(jī)相位隨機(jī)過程 其中， 為實(shí)常數(shù) 為隨機(jī)相位，在 均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個(gè)過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為 求 的功率譜密度,2019/6/25,36,解：注意此時(shí) 不是有限值，即不可積，因此 的付氏變換不存在，需要引入 函數(shù)。,2019/6/25,37,例：設(shè)隨機(jī)過程 其中 皆為常數(shù)， 為具有功率譜密度 的平穩(wěn)隨機(jī)過程。求過程 的功率譜密度。,解：,2019/6/25,38,四 平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì),一 功率譜密度的性質(zhì),1 功率譜密度為非負(fù)的,即,證明：,2 功率譜密度是 的實(shí)函數(shù),2019/6/25,39,3 對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)，,即,又,2019/6/25,40,4 功率譜密度可積，即,證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有：,平穩(wěn)隨機(jī)過程的均方值有限,2019/6/25,41,二 譜分解定理,1 譜分解,在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為 的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近 。這時(shí) 可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即,2019/6/25,42,（1） 為實(shí)數(shù)。 (2)分母不能進(jìn)行因式分解，分母不能有實(shí)根。,（3） MN。,2019/6/25,43,2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度,一、互譜密度,考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)， 它們的樣本函數(shù)分別為 和 ，定義兩個(gè)截取函數(shù) 、 為：,2019/6/25,44,因?yàn)?、 都滿足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍 (-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)過程的互功率 為:（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）,由于 、 的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:,2019/6/25,45,注意到上式中， 和 是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令 得：,2019/6/25,46,定義互功率譜密度為：,則,2019/6/25,47,同理，有：,且,2019/6/25,48,二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,定義：對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)，其互譜密度 與互相關(guān)函數(shù) 之間的關(guān)系為,即,2019/6/25,49,若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有,即,結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。,2019/6/25,50,三、互譜密度的性質(zhì),性質(zhì)1：,證明：,（令 ）,2019/6/25,51,性質(zhì)2：,證明：,（令 ）,同理可證,2019/6/25,52,性質(zhì)3：,證明：類似性質(zhì)2證明。,性質(zhì)4：,若X(t)與Y(t)正交，則有,證明：若X(t)與Y(t)正交，則,所以,2019/6/25,53,性質(zhì)5：,若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值 和 ，則,證明：,因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以,（ ）,2019/6/25,54,性質(zhì)6：,2019/6/25,55,解：,2019/6/25,56,2.4 高斯過程和白噪聲,2.4.1 高斯過程（正態(tài)過程） 定義：若隨機(jī)過程X(t)的任意n維（n=1, 2, ）概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。,一維高斯：,2019/6/25,57,二維高斯分布,例：P90 2.10,2019/6/25,58,N維高斯分布,2019/6/25,59,高斯分布隨機(jī)信號(hào)性質(zhì),廣義平穩(wěn)和嚴(yán)格平穩(wěn)等價(jià)； 不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)； 高斯過程通過線性變換后仍然是高斯分布； 相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過程（變量）之和仍為高斯分布。,2019/6/25,60,2.4 白噪聲,一、理想白噪聲,高斯白噪聲:白噪聲+高斯。,2019/6/25,61,自相關(guān)函數(shù)為,自相關(guān)系數(shù)為,2019/6/25,62,總結(jié)：,（1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。,（3）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便等優(yōu)點(diǎn)。,2019/6/25,63,二、限帶白噪聲,1低通型,2019/6/25,64,低通型限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為,2019/6/25,65,圖3.11示出了低通型限帶白噪聲的 和 的圖形，注意，時(shí)間間隔 為整數(shù)倍的那些隨機(jī)變量，彼此是不相關(guān)的（均值為0，相關(guān)函數(shù)值為0）。,2019/6/25,66,2. 帶通型,帶通型限帶白噪聲的功率譜密度為,由維納辛欽定理，得到相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為,2019/6/25,67,帶