數學思想方法及其應用畢業(yè)論文.doc

數學思想方法及其應用 數學學院10級3班 張瑜蝶摘要：數學思想是對數學事實、概念及理論與方法的本質認識，是體現基礎科學中具有奠基性、總結性的內容。它含有傳統(tǒng)數學的精華和現代數學中的基本觀點，并且將繼續(xù)發(fā)展和完善。通過對數學思想的歸納，接受以及舉例說明，讓我們能更加深刻的學習好數學思想，并且能熟練的應用到具體的問題中。關鍵字：數學思想 數學方法正文：數學科學在本世紀得到了空前的發(fā)展，這不僅標志著在基礎理論研究的廣泛深入，論文爆炸；更表現在數學內部各學科之間以及數學與其他科學的學科之間相互滲透的空前加強，除了我們熟知的自然科學之外，還有科學技術，人文，社會科學，哲學，文藝等方面。數學在其它各個學科中的廣泛應用不僅形成了一大批新的應用數學學科，而且在與計算機結合過程中，又形成了數學技術。因此，數學不僅發(fā)揮著基礎理論和基礎應用的強大作用，而且成為現代社會中一種不可替代的技術，成為各個國家綜合實力的一個重要組成部分。因此，數學學習作為學習中的一個重要組成部分，在發(fā)展人，發(fā)展社會意識等方面有著非常重要的作用。有文章精辟的指出了數學學習的價值和目標：“數學的貢獻在于對整個科學技術尤其是高新技術水平的推進和提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤和對經濟建設的繁榮還有對全體人民科學思維的提高與文化素質的哺育”?？傊?，數學儼然已經成為我們這個時代的一種文化，各種數學理念在眾多不同的層次上深深地影響著我們的生活方式和工作方式，而數學思想作為數學知識內容的精髓，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學的精神與態(tài)度，數學的觀點與文化。人們重視數學思想方法的提煉、概括和應用也就是順理成章的事了?！皵祵W思想”一詞無論在數學還是在數學教育范圍內，或者是在其他科學中，都已被廣泛使用。中學數學教育大綱中已經明確指出數學基礎知識是指：數學概念，數學的性質，法則，公式，公理還有定理以及由其內容反映出來的數學思想。思想從詞義解釋來看是指客觀存在的反映在人的意識中經過思維活動而產生的一種結果。從哲學角度看，思想的涵義有二：一個是與“觀念”同義的詞語，二是指相對于感性認識的理性認識的一種成果。興許，人們就是從不同的起點出發(fā)，使數學思想的涵義有著多種多樣的說法。既然數學思想是一種理性認識的成果，那么，作為對數學認識的一種反映，可以認為數學思想是數學歷史長河中各個階段上相對真理性的認識的總和，是人類對數學及其對象，數學概念和命題還有數學結論以及數學方法的本質性的認識。也有人把數學思想闡述為是人們對數學研究對象統(tǒng)一的、本質的認識，它不僅包括對數學本質的理解，還對數學基本特性、數學對象及數學與其他科學，數學與客觀世界關系的認識，以及在數學中所創(chuàng)立的新概念，新理論以及新模型和新方法的認識。通過對上述各種說法的研究，我們不難發(fā)現它們的共同之處。首先，我們可以肯定的是數學思想是一種理性認識，因而它必然是在長期的數學認識活動中，經過實踐與認識的多次循環(huán)往復和不斷的深化。它不斷的從數學概念和數學命題以及數學方法等理性認識中得到概括和提煉，成為了一種對數學本質及其中存在的規(guī)律的深刻認識，慢慢形成了解決數學問題的一般性觀點。同時，數學思想作為人們對數學認識的一種反映，又直接支配著數學的一切實踐活動。我們對于任何數學事實的理解，數學概念的掌握，還有數學方法的運用以及數學理論的建立，無一不是數學思想的體現和運用。因此，數學思想是對數學概念，還有方法和理論的本質認識。于是，我們可以對數學思想的涵義作出一個簡要的概括：數學思想是在一切數學活動中解決問題的基本觀點和根本想法，是對數學概念，命題，規(guī)律還有數學方法和技巧的本質認識，是數學中的智慧和靈魂。這時肯定有人會提出疑問，數學思想和數學方法有什么聯系和區(qū)別？或者什么是數學思想方法？在這里，我們不能像數學中的概念那樣明確地給出它們的定義，只能給出一種解釋或者是界定。首先，數學思想和數學方法都是以一定的數學知識，比如數學符號、概念、命題、算法等為基礎的，反過來它們又促進者數學知識的深化以及向數學能力的轉化。其次，它們兩者都具有抽象概括程度的不同，表現出了互為表里的特殊關系。一方面，數學方法應該受到數學思想的指引，是數學思想在數學活動中的具體反映和體現，表現形式外顯；另一方面，數學思想還是相應數學方法的結晶和升華，表現形式為內隱。也就是說，數學思想往往都帶有理論性方面的特征，而數學方法卻具有實踐性的傾向。由于人們在數學系學生和研究活動中，很難把思想和方法嚴格區(qū)分開來，所以又常將兩者統(tǒng)稱為“數學思想方法”。同一個數學成就，當用它去解決別的問題時，我們就常稱之為方法；當評價它在數學體系中的自身價值和意義時，我們就稱之為思想。數學思想方法與數學基礎知識相比較時，我們通常認為前者更為重要，它不僅是是學習者探索解題途徑的一盞盞明燈，而且還是我們所必須具備的一個數學素養(yǎng)，一位著名的教育家曾經說過，真正教育的旨趣在于即使學生把教給他所有的知識都忘記了，但是還是有能使他獲得受用終生的東西，那樣的教育才是最高最好的教育。這里“受用終生的東西”在數學中就是指“數學思想方法”。所以本論文就來探討一些常見地數學思想。一、 函數與方程思想 函數思想，是指用函數的概念和其性質去分析、轉化和解決問題。方程思想，就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的已知條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題得到解決。有時，還可以實現函數與方程的互相轉化與接軌，從而達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題數學問題代數問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。接下來我們通過一道高考題來具體認識一下：例：f(x)=lg,其中y為正實數，如果當x取值范圍小于等于1時，f(x)有意義，求y的取值范圍。求解過程如下：解：可知1+2+4y0，即y-()+()，當x(-,1時恒成立，而()、()都是減函數，則g(x)= -()+()在(-,1是增函數，故x=1時，g(x)取得最大值是g(1)=-(+)=-，從而得到y(tǒng)的取值范圍是y-。在這一道題中，主要是采用分離參數的方法，通過函數再造，把不等式恒成立的問題進行轉化，轉變?yōu)榍蠛瘮档淖钪祮栴}進行求解。例題11若拋物線yx+mx1和兩端點a(0, 3)，b(3, 0)的線段ab有兩個不同的交點，求m的取值范圍 故m的取值范圍是(3, 解：函數與方程思想是中學數學中十分重要的思想和方法之一，涉及的知識點很多，涉及面也比較廣，是歷年高考中考查的重點，所以我們要高度重視運用這一思想方法分析和解決數學問題，使這種思想在解題中的應用成為我們基本技能的重要組成部分。 二、數形結合思想“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何最常用。例如求+的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉化成一個點到(1,1) 、(0,1)、(1,0)、(0,0)四點的距離，就可以求出它的最小值。下面我們也根據幾個具體的題來認識數形結合思想的應用： 例1：方程6x+5=4實根的個數。 分析：直接解方程有一定難度，可以轉化成函數Y=6x-4，Y=-5的交集，即考慮兩個函數圖像的交點個數。YY0yxPQ例2. 設對于任意實數，函數總有意義，求實數a的取值范圍。解法1：函數有意義，則，即在上總成立。設，即當時，總成立。依拋物線的特征，將其定位，有，如圖1所示。圖1總結：在這道題中我們要抓住了拋物線的特征，由實數a的不等式組，將拋物線定位，再求解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數形結合的機會。例2. 已知 x +4y=4 表示的兩曲線有公共點，求半徑r的最小值和最大值。 (x-4)+ y=r解：將方程x +4y=4化為標準形式為：。它表示中心在O(0，0)，長半軸在x軸上且為2，短半軸為1的橢圓。而方程(x-4)+ y=r表示圓心在A(4,0)的同心圓系。如下圖所示，易見當時兩曲線有公共點，即。420-2總結：通過例2，我們可以清楚地看到利用數形結合的方法來解二次曲線的交點問題可以擺脫用判別式的困惑，從而減少運算方面的麻煩。三、化歸思想化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B達到解決問題A的方法?；瘹w的原則有化未知為已知、化繁為簡、化難為易、降維降次、標準化等。中學中主要用到的化歸思想有三種：一是數與數之間的轉化，二是數與形之間的轉化，三是形與形之間的轉化。1、數與數之間的轉化 數與數之間的轉化是中學數學中最常用的一種化歸形式，通過轉化可以使得原問題簡單化、具體化、熟悉化，從而使問題迎刃而解。在中學數學中很多化歸都是數與數之間的轉化，例如變形所給出的方程求解，數學解法在于不斷將高層次的解法化歸為較低層次的解法，這就是我們常說的把問題“初等化”。 例：關于x的方程cosx+sinx+a=0在（0，）內有解，求a的取值范圍。 分析：假設由題意把x看作未知數，那么那就是一個復合的方程，很難下手，但若考慮以sinx為未知數，再由1-cosx=sinx，則問題轉化為常見的一元二次方程了，原問題即可解決。所以由1-cosx=sinx，原式可化為：a=sinx-sinx-1即a=（sinx-）-。因為x（0，），所以04的時候，就要分類討論a的取值情況。1. 分類討論思想是中學數學的基本方法之一，是高考的重難點。分類討論的思想具有明顯的邏輯特點；分類討論問題一般涵蓋知識點較多，有利于對學生知識面的考察；解決分類討論問題，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧；分類討論的思想與生產實踐和高等數學都緊密相關2. 分類討論的思想本質分類討論思想的本質上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設條件的解題策略3.運用分類思想的基本解題步驟確定討論對象和確定研究的區(qū)域；對所討論的問題進行合理的分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級）；逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；歸納總結，整合得出結論4.明確分類討論的想的原因，有利于掌握分類討論的思想方法解決問題，其主要原因有：由數學概念引起的分類討論：如絕對值定義、等比數列的前n項和公式等等；由數學運算要求引起的分類討論：如偶次方根非負、對數中的底數和真數的要求、不等式兩邊同乘以實數對不等號方向的影響等等；由函數的性質、定理、公式的限制引起的分類討論；由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論；由參數的變化引起的分類討論：某些含參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或由于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法；其他根據實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，實際應用題等5.分類討論思想的類型問題中的變量或含有需討論的參數的，要進行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的如例1：解不等式. 分析：不等式含的絕對值中各代數式的零點分別為：-2、1、-1、3.因而可將實數分為，這五個小區(qū)間，分別討論、分類求解。 解：（1）當x-2時，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋?，x1.考慮到大前提 x-2 x-4. x1 (2) 當-2x-1時，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋海?x1，考慮到大前提 -2x-1 無解. 0x1 (3) 當-10，x-30，原不等式變?yōu)椋海瑹o解. (4) 當10，x-30，原不等式變?yōu)椋海?，x2，考慮到大前提 1x32x3.， x2 （5）當x3時，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋海瑇1，考慮到大前提 x3 x3. x1，綜上，原不等式的解為.五、方程思想當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。在中學數學中，我們常用的就是把現實生活中的一些問題抽象為方程問題；能根據實際情況檢驗計算結果，并且通過創(chuàng)設實際問題請教，引導學生主動參與探索解決現實生活中應用題的方法；激發(fā)學生學習數學的興趣，并向學生滲透方程建模的數學思想；培養(yǎng)學生數學應用意識和實踐能力。下面我們就用一個實際例子來了解如何應用方程思想來解決問題：例：某通訊器材商場，計劃用60000元從廠家購進若干部新型手機，以滿足市場需求、已知該廠家生產三種不同型號的手機，出廠價分別為：甲種型號手機每部1800元，乙種型號手機每部600元，丙種型號手機每部1200元。若商場同時購進其中兩種不同型號的手機共40部，并將60000元恰好用完，請你幫助商場計算一下如何購買？解：設購買甲種型號手機x部，乙種手機y部，丙種手機z部，根據題意得：x+y=40 解得：x=30 1800x+600y=60000 y=10 y+z=40 解得： y=-20 （舍去） 600y+1200z=60000 z=60 z+x=40 解得： x=20 1200z+1800x=60000 y=20答：該商場有兩種購買方法：第一種是買甲種手機30部，乙種手機10部。第二種是買甲種手機20部，丙種手機20部。點評：在遇到這種題時，我們首先要簡化背景材料，其次是把現實生活中的一些問題轉化為方程來解，最后是要注意求得的結果應檢驗其符合實際。六、類比思想把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發(fā)現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。類比是從特殊到特殊的思考方法，類比得到的結論僅僅是一種猜想，可能正確也可能不正確。類比的關鍵是尋找合適的類比對象。類比在數學中應用較廣泛、如：數與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間、相等于不等之間、有限與無限之間等各個方面都能應用類比的思想。數學學習與研究通常包括三個部分，一是通過觀察、實驗、比較、分析與綜合提出符合現實情景的數學模型，二是由于數學的相對獨立性，數學模型可以提供大量的數學命題，遇上設定各種數學猜想，然后加以證明或否定，以尋求數學基本規(guī)律，三是將數學理論用于現實問題，求得進一步發(fā)展，且一般而言，問題的提出與解決常常是簡歷在已有的知識體系和前人的工作基礎上，之后，通過不斷的探索和研究，進一步的豐富和發(fā)展了人類的知識體系，促使社會不斷進步，而在探索和研究的過程中，人們在自覺和不自覺的使用者類比思想，因此強調類比的學習是有意義的。下面我們通過一些例子來探討類比在數學學習中的應用。平面與空間的類比：把立體幾何知識與相關的平面幾何知識類比，是實現知識遷移的有效方法，同時也有利于化難為易，啟迪思維。如，關于勾股定理，可有幾個類比：（1）長、寬、高分別為p,q,r，對角線長為d的長方體中，有p+q+r=d，（2）長方體中過一頂點的三個長方形的對角線長分別為p,q,r,長方體對角線為d，則有p+q+r=2d，（3）四面體交于一個頂點0三條棱兩兩互相垂直，與0相鄰的三個面的面積分別為A,B,C,與0相對的面的面積為D，則有：A+B+C=D上述類比結論都是正確，通過